物理方程的强大之处在于
在于其可以预测
一些未知的量
不幸的是
并不是所有的物理方程
都是如此简单
我们通常会遇到这样的情况：
虽然所有的方程都已经得出
但是我们没有直接求解它们的方法
有限元法是一种解决这类问题的方法
工程师设计桥梁时
需要知道荷载在这种结构下
会有什么样的影响
描述结构压力分布的方程是已知的
但是对于桥梁这么复杂的形状
分布方程无法直接求解
然而对于简单形状
如三角形或四边形
方式是可解的
有限元方法正是利用了这一点
我们利用若干简单形状形成的网格
替换单个复杂的形状
这样的网络被称为有限元网格
并且不同问题有不同的网格剖分方式
第一步是设计网格
为了设计网格
首先要确定需要用何种单元
一维的杆
还是二维的三角形
或者四边形
三维块体都是
不同单元的组合
计算的精度
取决于网格中单元的个数
单元越多
各个单元的体积越小
并且结果越精确
不幸的是
更多的单元意味着更多的计算
由于经济的原因
我们需要寻找折中点
在合理的计算时间内
构建刚好满足计算精度的网格
在我们的桥梁例子中
我们选择由8个点组成的单元
这些点被称为节点
一般来说
我们将各个节点看做
既可以水平移动
也可以垂直移动
但是外边界上的节点例外
边界上的节点被视为固定不动的
为了完成对问题的描述
必须包含边界条件
这样得到的结果才会是唯一的
最后一步是指定材料的塑形参数
和指定需要加载的荷载
在这个例子中
我们在桥的中间加载大的点状负荷
这样的数学描述
是为了保证所建立的方程可以描述整个系统
我们从最基本的关系开始
将节点的位移表示为
坐标x和y的函数
在这个例子中
单元有8个节点
对于每个节点
我们列出一个方程描述节点的位移
作为坐标的函数
这样对于单个单元
可以得到8个方程
这些方程可以组成一个矩阵
这个矩阵是如下一系列步骤的起点
这些步骤基于力学的基本规律
第一步：
将位移与应力联系起来
利用应力可以计算应变能
从而计算势能
最终，利用最小势能原理
我们对每一个单元得到一对系统方程
类比简单弹簧的方程
这个新矩阵被称为单元的单元刚度矩阵
矩阵的变量是向量X
而不是简单的位移x
向量X表示整个单元的位移
对于网格中的每个单元
我们重复上述步骤
这样对于每个单元都可以得到一个刚度矩阵
下一个重要步骤是
将单个单元刚度矩阵结合为一个大的矩阵
大的矩阵表示整个系统的刚度
每个相邻的单元都有共同节点
所以共同节点会出现在两个单元刚度矩阵中
可以利用简单的配对操作组合两个矩阵
实际应用中
解系统方程的过程是和
组合单元矩阵一起进行的
这个过程为称为简化
我们可以利用标准化的方法
来消除矩阵的某些部分
矩阵的行代表一系列方程
我们先解第一方程
然后将其结果代入其后的方程
重复上述步骤
直到可以继续计算下一个单元刚度矩阵
最终，最后一个矩阵解完之后
我们只剩下一个节点的解
我们可以将这个结果代入到所有方程中
直到计算出所有节点的位移
从这些结果中
我们可以快速计算相应的应力
在这个例子中
我们将应力表示为等值线图
图中最大压力用红色表示
最大张力用深蓝色表示
我们所说的整个过程
需要做大量的独立计算
因此只能利用计算机计算
此外，计算经常涉及大型矩阵
因此需要昂贵的强力计算机
计算机的最大优点在于
我们完成对一点的应力计算之后
重复计算下一个节点就会很简单
如果我们重复这些步骤
将其应用到一系列节点
我们可以最终得到连续变化的等值线图
这些等值线图可以描述当
荷载过桥时，应力的变化
图示例子是用PC上的有限元程序计算得到的
这一程序由诺丁汉大学计息工程系提供
动画是Atlas计算机实验室
用XX（没听清）动画制作软件制作
很多科学工作者致力于有限元方法的应用
Southampton大学土木工程系在开发
描述流体行为的软件
完成开发后
此程序可以在设计海岸结构时
起到重要用途，如设计海边石油钻井
在这个例子中，我们模拟了一个
包含矩形阻挡物的隧道
有限元网格是基于三角形单元建立的
我们在隧道中加入稳定流动的液体
流速，粘滞系数和隧道的大小都是指定的
上面的图显示了流体所流经的路径
和流线的分布
下图显示了固定流线
其包含了与上图一样的信息
但是去除了无阻碍的自由流
为了突显我们想要研究的变化部分
此时，我们改变了当前条件
也就是加速了流体的流动
流线改变直到其再次稳定
如果继续增加流速
将不能形成稳定流
会形成紊流
最终形成一个动态平衡系统
最后一个例子同样来自Southampton
这个程序用来研究潮汐水中污染物的扩散
有限元网格从东边的XX（地名，没听清）
扩展到了Portsmouth
网格的厚度与水的厚度有关
我们同时考虑了潮汐的起落
并且制定了一个污染源
计算机程序清楚的显示出
污染物是被带出这片海域呢
还是因为潮汐作用留在海滩上
同样的，对于这个例子我们也可深入研究
同样的程序可用在海洋的其他区域
并且可以模拟任意一种指定的污染物
我们可以研究如何改变排污方式
以配合潮汐的起落
我们可以考虑微生物降解作用
我们也可以个改变河流的污染背景值
有限元方法的主要优点在于
处理任意的形状
这克服了很多老的数值方法的缺点
即利用了物理模型的灵活适应性
又克服了其限制性
比如，可以通过指定不同的材料属性
来研究不同材料
这种属性变化很难在物理模型中体现
我们可以在计算机上模拟实物大小的结构
同时可以在大范围内利用小范围的模型
现今的工程学研究已经越来越复杂
其经常用到大型计算机
来求解描述复杂情况的复杂模型
利用现代强大的计算机
可以利用有限元法寻找不同实例的最优参数
从而可以优化整个系统
有限元方法可以应用到很广的范围内
毫无疑问，它可以说是引领了现代工程计算的潮流
End！撒花！
字幕制作：silver
时间轴调整：silver