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Ei malucos.
Na física, falamos muito sobre as leis de Newton.
Muito muito.
Mas eu não usaria a mecânica newtoniana para modelar algo como um pêndulo duplo.
É muito complicado.
Então, hoje, vamos aprender uma alternativa poderosa:
Mecânica Lagrangiana!
Mecânica? Você quer dizer como as pessoas que consertam coisas?
O que eles têm a ver com as leis de Newton?
Na verdade, muito, mas não é disso que estamos falando.
Mecânica é um ramo da física que lida especificamente com o movimento.
É o conjunto de ferramentas matemáticas que usamos para prever o caminho que os objetos descreverão
e há muitas maneiras de fazer isso.
Mecânica newtoniana, mecânica lagrangiana, mecânica hamiltoniana,
e até mecânica quântica.
Não podemos simplesmente escolher uma e esquecer o resto?
Eu não recomendaria isso.
Todos eles têm suas próprias utilidades específicas.
Por exemplo, se você tem um cenário muito simples,
A mecânica newtoniana é definitivamente o caminho a percorrer.
Todas as leis do movimento de Newton são sobre forças.
Não tem força alguma?
A primeira lei de Newton diz: Movimento constante em linha reta.
Existe uma gravidade no sentido descendente?
A segunda lei de Newton diz que você tem uma aceleração.
Apenas queda livre ou talvez um projétil.
Contanto que você possa acompanhar todas as forças que agem em algo
se você sabe algumas condições iniciais, você pode prever o movimento.
Causa e efeito estão implicitos nas leis.
Existe uma bola em uma rampa?
A gravidade a puxa para baixo e o atrito a faz rolar.
Você tem um pêndulo simples?
A tensão faz balançar em arco.
Infelizmente, nem todos os cenários são assim tão simples.
Considere o pêndulo duplo.
Esta coisa é um monstro.
É uma fera!
Existem dois objetos, cada um com suas próprias forças.
O superior tem três forças e o inferior tem duas, para um total de cinco.
Três dessas cinco mudam no tempo.
É, por excelência o exemplo da teoria do caos.
Condições iniciais ligeiramente diferentes podem resultar em caminhos extremamente diferentes.
Entrando na Mecânica Lagrangiana.
Nomeado em homenagem a Giuseppe Luigi Lagrangia
Quero dizer, Joseph-Louis Lagrange, que a publicou em 1788.
Nas leis de Newton, se você sabe onde este pêndulo está e o que está fazendo,
então as forças dizem o que acontece a seguir;
e o que acontece depois disso, e o que acontece depois e assim por diante.
Uma causa leva a um efeito.
Mas Lagrange pensou consigo mesmo:
E se pudéssemos considerar todo o caminho de uma só vez?
Hmm.
Se quisermos fazer isso, precisaremos procurar algum tipo de padrão.
Deve haver algo que todos os caminhos compartilham.
Como a expressão que diz: Ninguém vive no vácuo.
Lagrange não foi a primeira pessoa a pensar nisso.
Para a linha do tempo!
Lagrange pode ter desenvolvido sua mecânica no final dos anos 1700,
mas Fermat já estava mexendo com isso em 1662
e ele construiu suas idéias sobre as obras de ibn al-Haytham de 1021.
Ninguém vive no vácuo!
De qualquer forma, o princípio de Fermat afirma que, de todos os caminhos disponíveis,
a luz sempre toma o caminho que requer menos tempo.
As leis de Newton foram publicadas apenas algumas décadas depois
e ficou claro que a matéria não se move da mesma forma que a luz.
Então, Lagrange tinha um problema:
Se a matéria não segue o caminho mais curto, que caminho segue?
Ele precisava encontrar um padrão que todos os caminhos coincidicem.
Padronizar!
As forças não vão nos ajudar com isso.
Nós vamos precisar de Energia e Trabalho.
Em termos mais simples, Energia é a quantidade de coisas que poderiam acontecer
e Trabalho é a quantidade de coisas que acontecem.
Lembre-se, nós não sabíamos nada disso na época.
No que dizia respeito a Lagrange, era apenas uma grandeza útil sem uma direção,
algo que chamamos de grandeza escalar.
Nós não encontraríamos o sentido disso, nem mesmo chamaríamos de energia até o século XIX.
Como isso pode nos ajudar com a mecânica lagrangiana?
É a base da coisa toda.
Hoje em dia, conhecemosde muitas energias diferentes,
mas eles podem ser organizados em duas categorias principais:
Energia Cinética e Energia Potencial.
A energia cinética está associada ao movimento e a energia potencial com a localização.
Eles são essencialmente as versões escalares dos vetores de velocidade.
Se energia é a quantidade de coisas que poderiam acontecer
e coisas acontecendo geralmente envolvem algum tipo de caminho,
então é lógico que energia e caminho estão relacionados um com o outro.
Lagrange pegou as duas principais categorias de energia, cinética e potencial,
e as combinou em uma quantidade única que hoje chamamos de lagrangeana.
Se mapearmos todos os caminhos lagrangianos possíveis para um objeto no espaço,
Poderemos adicionar os valores ao longo de um caminho possível e ter uma ideia da sua eficiência.
Nós chamamos essa eficiência de "ação" e é realmente uma grande coisa.
A ação é esse padrão que estamos procurando.
Padronização!
Há muitos caminhos possíveis, mas só executa um deles:
O caminho com a menor variação na ação.
Alerta de jargão! Alerta de jargão! Alerta de jargão.
O que? Ok, eu tenho usado um monte de palavras complicadas.
Deixe-me explicar.
Digamos que você tenha um gráfico como este.
O quanto ele está mudando é dado pelo seu ângulo de inclinação.
O ponto onde a inclinação é zero, não há mudança
e há muito pouca variação em torno desse lugar.
Sim, é uma coisa matemática.
Uma posição zero pode ocorrer em um de três locais:
um mínimo, um máximo e um ponto de inflexão.
Nós chamamos todos esses lugares de "pontos estacionários".
Sabendo disso, podemos escrever o Princípio da ação estacionária,
que nos diz que os objetos tomarão o caminho com uma ínfima variação.
Alternativas ao redor do caminho real mostram muito pouca diferença na sua ação total,
portanto, esse é o caminho que o objeto toma.
Espere. Ele verifica todos os diferentes caminhos para ver qual deles tomar?
Não não não. Não seja ridículo.
Só porque podemos usar esse modelo para prever onde o objeto irá,
isso não significa que o objeto pode faze-lo.
Apenas faz o que quer que seja.
Nós somos aqueles que vemos as regras e os padrões.
Isso é apenas uma ferramenta matemática para fazer previsões.
Lembre-se, enquanto a mecânica lagrangiana pode considerar o caminho como um todo,
A mecânica newtoniana não.
E mesmo assim é válido e tem a causalidade embutida.
Mas, se a mecânica lagrangiana funciona tão bem, por que não usamos isso o tempo todo?
Você sempre usa a ferramenta mais poderosa para o trabalho?
Quero dizer, você usaria uma marreta para abrir uma noz?
Não, claro que não!
De qualquer forma, existem maneiras melhores para visualizar essas coisas.
Mecânica newtoniana é feita na posição do espaço tridimensional.
Todos os três eixos representam a posição cotidiana normal medida em metros ou milhas
ou qualquer que seja sua unidade de distância de escolha.
Na mecânica lagrangiana, usamos algo chamado coordenadas generalizadas,
que é um nome terrível, porque eles tendem a ser muito específicos para o cenário.
Eu prefiro chamá-los de graus de liberdade.
Por exemplo, este pêndulo simples tem apenas um grau de liberdade:
o ângulo da corda.
Você poderia muito facilmente mostrar o movimento em um único eixo.
O pêndulo duplo tem dois graus de liberdade:
o ângulo de cada uma das duas cordas.
Seu movimento pode ser rastreado em uma grade bidimensional.
Cada ponto nesta grade representa uma configuração possível do pêndulo,
chamamos isso de espaço de configuração.
Não é um espaço real como o espaço 3D em que vivemos.
É apenas uma representação abstrata.
Você pode até incluir um eixo de velocidade ou momento para ter uma idéia do movimento.
Aqui está o pêndulo simples em algo que chamamos de espaço de fase.
Sim, tecnicamente você está fazendo mecânica hamiltoniana nesse ponto,
mas realmente não há muita diferença.
Então, o que é mecânica lagrangiana?
É apenas outra maneira de olhar para um sistema físico.
Na mecânica newtoniana normal, começamos olhando para um único momento,
depois, avançamos ou retrocedemos de acordo com as regras de causa e efeito.
Na mecânica lagrangiana, olhamos o caminho entre dois eventos como um todo.
De acordo com o princípio da ação estacionária,
o caminho tomado pelo objeto é aquele com muito pouca variação de energia ao longo do tempo.
Se o seu sistema é realmente simples ou se forças complexas como atrito estão envolvidas,
a mecânica newtoniana provavelmente será sua melhor opção.
Se o seu sistema está entre as duas coisas,
talvez deva tentar a mecânica de Lagrange.
Especialmente útil na mecânica quântica,
onde o conceito de força quase perde completamente o sentido.
A mecânica lagrangiana é apenas uma ferramenta.
Se você usa ou não, é com você.
Então, o que você acha da Mecânica Lagrangiana?
Divertido? Esquisito? Ambos?
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Embora, eu recomende começar pelo início do curso.
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O comentário apresentado vem de Dilophi, que disse:
O experimento de escolha atrasada continua misterioso após este vídeo.
Tudo bem!
mas é misterioso apenas porque nenhum de nós realmente o entende.
Basta lembrar que não é misterioso por causa de magia.
De qualquer forma, obrigado por assistir.