Met dank aan Briljant.org voor het sponsoren van deze aflevering
Hey mafketels.
Natuurkunde heeft het veel over de wet van Newton.
Echt veel.
Maar Newton is helemaal niet handig om een dubbele slinger te modelleren.
Het is te complex.
Dus vandaag leren we een krachtig alternatief:
Lagrangiaanse mechanica!
Mechanica? Zijn dat mensen die dingen fiksen?
Wat hebben zij met Newton te maken?
Een hoop, maar dat bedoel ik niet.
Mechanica is een onderdeel van natuurkunde dat gaat over beweging.
De wiskunde die nodig is om het pad van een object te voorspellen
en dat kan op veel manieren.
Newtoniaanse, Lagrangiaanse, Hamiltoniaanse mechanica
en zelfs kwantummechanica
Kunnen we niet gewoon een willekeurige pakken?
Zou ik niet doen.
Ze zijn allemaal op hun eigen gebied handig.
Als je een simpel scenario hebt,
is Newtoniaanse mechanica dè manier.
De wet van Newton gaat vooral over krachten.
Heb je geen krachten?
De eerste wet van Newton geeft je beweging in een rechte lijn.
Is er neerwaartse zwaartekracht?
De tweede wet geeft je versnelling.
Bij een vrije val of bij een projectiel.
Zolang je de krachten in de gaten kan houden
en de oorsprong kent, kun je de beweging voorspellen.
Oorzaak en gevolg zijn ingebakken in de wetten.
Is er een bal op een helling?
Zwaartekracht trekt eraan en weerstand laat het rollen.
Heb je een simpele slinger?
De spanning zorgt voor een boogvorm.
Helaas is het niet altijd zo simpel.
Neem een dubbele slinger.
Dit is een lastig beest.
Het is een beest!
Er zijn twee objecten, elk met hun eigen krachten.
De bovenste heeft drie krachten, de onderste twee, vijf in totaal.
Drie van de vijf veranderen steeds.
Het ultieme voorbeeld van chaostheorie.
Een iets andere beginpositie zorgt voor heel andere paden.
Hiervoor heb je Lagrangiaanse Mechanica
Genoemd naar Giuseppe Luigi Lagrangia
Ik bedoel: Joseph-Louis Lagrange die het uitbracht in 1788
Bij Newton weet je met het 'waar' en 'wat' van de slinger
wat er hierna gebeurt door de krachten;
en daarna, en daarna en daarna.
Een oorzaak leidt tot een gevolg.
Maar Lagrange dacht:
wat als we het hele pad ineens bekijken?
Hmm.
Als we dat doen, moeten we een patroon vinden.
Er moet iets zijn, wat voor alle paden geldt.
Niemand leeft in een vacuüm.
Lagrange was niet de eerste die zo dacht.
Naar de tijdlijn!
Lagrange kwam met zijn mechanica eind achttiende eeuw,
Maar Fermat speelde al met de gedachte in 1662
en hij baseerde zich weer op Ibn al-Haytham uit 1021.
Niemand leeft in een vacuüm!
Het principe van Fermat zegt dat uit alle beschikbare paden
licht het pad van de minste tijd neemt.
Newton's wet was een paar decennia later
en maakte duidelijk dat materie anders dan licht beweegt.
Dus had Lagrange een probleem:
Materie volgt niet het pad van de minste tijd, maar welke dan wel?
Hij moest een patroon vinden voor alle paden.
Patroon!
Krachten helpen daar niet bij.
We hebben energie en arbeid nodig.
Energie is de hoeveelheid die kan gebeuren
en arbeid is de hoeveel die gebeurt.
Dat wisten we toen helemaal nog niet.
Voor Lagrange was het een handige hoeveelheid zonder richting,
iets wat we nu een scalaire grootheid noemen.
Pas rond 1800 zouden we het energie gaan noemen.
Hoe helpt dit ons met Lagrangiaanse mechanica?
Het is de basis van het hele ding.
Tegenwoordig kennen we veel soorten energie,
maar ze vallen in twee categorieën:
Kinetische Energie en Potentiële Energie.
Kinetische heeft te maken met beweging en potentiële met locatie.
Het zijn eigenlijk de scalaire versies van de snelheids- en positievectoren.
Als energie de hoeveel is die kan gebeuren
en het pad gaat over hetgeen dat gebeurt,
dan is het logisch dat energie en paden gerelateerd zijn.
Lagrange gebruikte beide categorieën energie: kinetisch en potentieel,
en combineerde ze in een grootheid die we nu de Lagrangiaan noemen.
Als we alle Lagrangianen voor een object in de ruimte uittekenen,
geeft de som van de waarden op een mogelijk pad een idee over de efficiëntie.
Deze efficiëntie noemen we de actie en is heel belangrijk.
De actie is het patroon dat we zoeken.
Patroon!
Veel paden zijn mogelijk, maar eentje is er nodig:
het pad met de kleinste variatie in de actie.
Jargonalarm. Jargonalarm. Jargonalarm.
Wat? Ok, heb een paar dure woorden gebruikt.
Laat me uitleggen.
Stel je hebt deze grafiek.
De verandering wordt bepaald door de helling.
Waar de helling nul is, is er geen verandering
en er is weinig variatie daaromtrent.
Preices, een wiskunde-ding.
Een verandering van nul kan op drie plaatsen gebeuren:
een minimum, een maximum en een zadelpunt.
We noemen ze stationaire punten.
Nu kunnen we het principe van stationaire actie beschrijven,
die zegt dat objecten het pad met de minste variatie nemen.
Paden rondom het echte pad tonen weinig verschil in totale actie.
dus het object gaat langs dat pad.
Bekijkt het object alle paden om het juiste pad te kiezen?
Nee nee, doe niet zo stom.
Alleen omdat het model het pad kan voorspellen,
kan het object dat nog niet.
Hij doet gewoon z'n ding.
Wij hebben regels en patronen verzonnen.
Het is gewoon een wiskundig hulpmiddel.
Terwijl Langrangiaanse mechanica kijkt naar het hele pad
doet Newtoniaanse mechanica dat niet.
Het blijft gewoon geldig met oorzakelijkheid ingebouwd.
Maar waarom dan niet voor alles Lagraniaanse mechanica gebruiken?
Gebruik jij altijd de meest krachtige tool voor een klus?
Maak jij een walnoot open met een smeedhamer?
Nee, natuurlijk niet!
Er zijn betere manieren om dit te laten zien.
Newtoniaanse mechanica gebeurt 3D-ruimte
Alle drie assen zijn voor gewone posities in meters of mijlen
of welke eenheid je ook gebruikt.
In Lagrangiaanse mechanica gebruik we gegeneraliseerde coördinaten
een vreselijke naam, want ze zijn erg specifiek voor het scenario.
Ik zou ze vrijheidsgraden noemen.
Deze slinger heeft bijvoorbeeld één vrijheidsgraad:
de hoek van het touwtje.
Die zou je prima op een enkele as kunnen weergeven.
De dubbele slinger heeft twee vrijheidsgraden:
de hoek van beide touwtjes.
Je kan de beweging in een tweedimensionaal rooster bijhouden.
Elk punt is een configuratie van de slinger,
dus we noemen dit configuratieruimte.
Het is niet zoals de 3D-ruimte waarin we leven.
Gewoon een abstracte weergave.
Met een snelheid-as of een momentum-as erbij krijg je een idee van beweging.
Hier is de simpele slinger in een zogenaamde faseruimte.
Strikt genomen doe je nu Hamiltoniaanse mechanica,
maar er is nauwelijks verschil.
Dus, wat is Lagrangiaanse mechanica?
Gewoon een andere manier van kijken naar een natuurkundig systeem.
In Newtoniaanse mechanica, nemen we een moment,
en gaan voor- of achteruit aan de hand van oorzaak-gevolg.
In Lagrangiaanse mechanica, kijken we naar het pad tussen twee gebeurtenissen.
Volgens het principe van stationaire werking,
neemt het object het pad met de minste energie-variatie over tijd.
Als je een simpel systeem hebt of met wrijving te maken hebt,
ben je met Newtoniaanse mechanica het beste af.
Als je systeem ertussenin zit,
probeer eens Lagrangiaanse mechanica.
Het is vooral handig in de kwantummechanica,
waar het concept van kracht weinigzeggend is.
Lagrangiaanse mechanica is enkel gereedschap.
Of je het gebruikt, bepaal je zelf.
Dus, wat denk jij van Lagrangiaanse mechanica?
Leuk? Gek? Beide?
Laat ons weten in het commentaar.
Dank je voor het liken en delen.
Vergeet niet te abonneren als je bij wilt blijven.
Bijzondere dank voor de Patreons zoals
Wacky?
die de show helpen met hun steun.
Onthoud, het is OK om een beetje gek te zijn.
Goed worden in wiskunde en wetenschap hoeft niet saai te zijn.
Brilliant is een site met raadsels en een hands-on-aanpak.
Meer dan 50 lessen met verhalen, interactieve uitdagingen en raadsels.
Als je deze video gekeken hebt, waardeer je vast ook hun lessen over klassieke mechanica.
Er is zelfs een quiz over Lagrangiaanse mechanica en hoe dat met energie op te lossen.
Ik zou wel aanraden te beginnen bij het begin.
En toewerken naar het moeilijke deel.
Brilliant is gemaakt voor ambitieuze en nieuwsgierige mensen,
die problemen willen oplossen en de wereld willen begrijpen.
Je ontrafelt concepten en ontdekt diepere waarheden op onverwachte plaatsen.
Is dit iets voor jou, ga naar: brilliant.org/ScienceAsylum
De eerste 200 aanmelders krijgen 20% korting op hun jaarabonnement.
Het uitgelichte commentaar komt van dilophi:
Het uitgestelde keuze experiment is nog steeds mysterieus na deze video.
Dat is prima,
maar alleen omdat niemand van ons het eigenlijk begrijpt.
Maar het is niet mysterieus omdat het magie is.
Bedankt voor het kijken.