함수의 역사. 여러분들, 우리가 지금 함수를 공부하고 있는데요. 함수의 역사를 우리가 한 번 정도는 알고 넘어갈 필요가 있지 않을까요?
이 함수는요. 원래 예전 바빌로니아 시절부터 함수라고 하는 것이 사용되기는 했는데 우리 인간이 처음으로 의식을 하면서 사용했던 시기는
바로 14세기 오렘이라고 하는 수학자가 물체의 운동을 곡선으로 나타내면서라고 합니다. 그 후로 우리가 알고 있는 수학자들이 몇 명 등장하는데요.
데카르트라고 하는 수학자가 순서쌍하고 좌표평면을 도입하면서 함수의 그래프를 그릴 수 있게 되었다고 합니다. 바로 중1 때 배웠던 것이고요.
그 뒤로 17세기 후반 수학의 발전과 더불어서 함수의 뜻이 점차 분명해지면서 함수라고 하는 용어를 독일의 수학자 라이프니츠. 들어보셨죠?
이 사람이 처음으로 사용했으며 우리가 사용하고 있는 기호 function. f(x)라고 하는 이 기호는 18세기 스위스의 천재적인 수학자 오일러가 처음으로 사용하였다고 합니다.
안녕하십니까. EBS TV중학수학 2학년의 천태선입니다. 우리가 그래도 함수를 공부하고 있으니까 함수의 역사.
그 유구한 역사를 자랑하고 있는 함수가 과연 어떤 수학자들에 의해서 발전되었는지 한 번 정도는 우리가 알고 넘어가면 좋겠다는 생각에서 알려드렸습니다.
우리가 중1 때 배웠던 데카르트라고 하는 수학자도 나왔고요. 라이프니츠, 그 다음에 오일러라고 하는 수학자도 등장했네요. 아시겠죠?
지난 시간에 대표유형, 그리고 개념 짚어보기 문제를 풀었다면 오늘은 이제 앞 중단원의 마지막 문제풀이 시간. 바로 수준별 문제풀이입니다.
수준별 문제풀이 레벨1은 여러분들에게 맡기고요. 레벨2문제하고 레벨3문제를 우리가 푼다는 것. 알고 계시죠? 준비 되셨으면 곧바로 시작해보도록 할게요.
우리 교재에 있는 문제들 중 상당히 좋은 문제들이 많았습니다. 그래서 문제를 선별하는 게 제가 상당히 힘들었는데요. 뽑고 뽑은 문제.
첫 번째 문제. 13번 문제를 같이 한 번 풀어보도록 할게요. 13번입니다. 그림과 같이 직선 l. 직선 l. 노란색 직선 l은 일차함수 y=-x+6의 그래프와 평행하대요.
깜짝 놀랐습니다. 저는 이게 y=-x+6인줄 알고. 그게 아니라 이 그래프가 y=-x+6인데 이 노란색의 그래프가 이 그래프와 평행하다고 했습니다.
평행하다. 우리 머릿속에 떠오르는 것. 뭐가 똑같다? 기울기가 똑같다는 것. 기억나시죠? 잘 보시면 y=-x+6의 기울기가 얼마입니까? -1이에요.
그러니까 이 노란색. 이 l의 기울기 역시나 얼마가 되어야 된다? -1이다. 왜? 평행하니까. 됐습니까? 그 다음에 x절편이 3이래요.
보시면 알겠지만 x절편이 3이라는 것이 그림 상에 표현되어 있습니다. 됐습니까? 이때 두 직선과 x축. 그 다음에 y축. y축으로 둘러싸인 도형. 바로 이 도형인가요?
이 도형의 넓이를 구하라고 했습니다. 이 도형. 우리가 굳이 이 도형의 이름을 따지자면 무엇입니까? 사다리꼴이죠. 왜? 밑변과 아랫변이 서로 평행하니까. 됐습니까?
그렇다면 사다리꼴의 넓이를 설마 아랫변의 길이와 윗변의 길이, 높이를 이용해서 구하려고 하는 친구가 있을까요? 그렇게 하시면 큰일 나죠. 그죠?
이 빗금 쳐져 있는 이 부분의 넓이는 어떻게 구하시는 거예요? 바로 큰 삼각형. 이 삼각형의 넓이를 먼저 구한 다음에 아래에 있는 작은 삼각형의 넓이를 구해서 어떻게 하시면 돼요?
빼버리면 되죠. 됐습니까? 그렇다면 이 큰 삼각형의 넓이를 구하려면... 잘 보시면 이 그래프가 y축과 만나는 점과 x축과 만나는 점이 상당히 중요하죠.
즉, x절편과 y절편이 중요합니다. 잘 보시면 이미 y절편은 구해졌다고요. 그럼 x절편을 구할까요? x절편을 구하는 방법은 어떻게 한다? 바로 y값 대신에 0을 대입하자.
0을 대입하시면 0=-x+6이죠. 그럼 -x를 이항하시면 x는 얼마가 된다? 6이 되겠죠. 오케이. 그 말은 무슨 말이에요? x절편도 6이라는 거예요. 됐죠?
그렇다면 우리는 큰 삼각형의 넓이를 구해낼 수 있겠죠. 어떻게 구할 수 있습니까? 큰 삼각형의 넓이는 2분의1 곱하기 밑변의 길이. 얼마? 6. 곱하기 높이. 얼마? 6.
이렇게 해서 구해낼 수 있죠. 됐습니까? 그 다음. 우리는 작은 삼각형의 넓이를 구하려면 마찬가지로 이 점하고 이 점. 각각의 x좌표와 y좌표를 알아야 되겠죠.
즉, x절편과 y절편을 알면 됩니다. 그런데 이미 x절편은 나왔다고요. y절편만 구하면 되는데 구할 수 있는 힌트가 있죠. 바로 이 직선과 이 직선이 어떤 관계에 있다?
평행관계에 있다고요. 그런데 잘 보시면 위에 있는 직선. 이게 6이고요. 이게 6이야. 그렇다면 아래에 있는 직선도 이게 3이라면 이것도 얼마일까요? 3이 되어야 되겠죠.
그래야지만 기울기가 -1이 될 거니까. 됐습니까? 오케이. 따라서 우리는 작은 삼각형의 넓이 또한 구해낼 수 있습니다. 어떻게? 2분의1 곱하기 밑변의 길이. 3.
높이는 얼마? 3. 그래서 이 식을 계산한 것이 빗금 친 부분의 넓이다. 됐습니까? 계산할까요? 2분의1. 2분의1이 있으니까 2분의1을 계산하지 말아버릴까요?
2분의1. 6×6=36에서 3×3은 얼마? 9를 빼면 되잖아요. 2분의36-2분의9잖아요. 헷갈려하는 친구들이 있으니까. 2분의36에서 2분의9를 빼자고요. 됐습니까?
그러니까 2분의36-9가 얼마입니까? 27입니다. 제가 왜 계산을 안 하는지 알겠죠? 왜 약분을 안 했냐하면 다시 한 번 분모가 2인 분수 꼴로 나타내야 되기 때문에.
결국은 답이 무엇이다? 2분의27. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다. 첫 번째 문제. 바로 절편과 관련된 문제. 그 다음에 두 직선의 평행관계가 기울기와 똑같다.
이 사실을 이용해서 푸는 문제입니다. 어렵죠. 그죠? 그 다음에 14번으로 가볼게요. 14번입니다. 일차함수 y=4x+a의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면.
그 뒤에 있는 것은 그 다음 문제입니다. 일단 평행이동 나왔으니까 식을 세울 수 있겠죠. y=4x+a라고 하는 식이 있는데 y축의 방향으로 얼마만큼? 3만큼 평행이동했다.
그러면 y=4x+a에다가 3을 어떻게 하면 된다? 더해주면 된다는 겁니다. 기억나십니까? 그러면 이 식은 두 점. (b, -3)과 (1, 5)를 지난다.
과연 a하고 b의 값이 얼마냐는 거죠. 첫 번째. b의 값을 구하려면 이 식에다가 x 대신에 b, y 대신에 -3을 대입해야 되는데 a가 있기 때문에 이걸 먼저 대입해서는 안 되죠. 그죠?
그러니까 일단 이 식에다가 뒤에 있는 이 점에 x좌표, y좌표를 대입해서 어떤 값을 구하자? a값을 구하자. 됐습니까? y=4x+a+3에다가 (1, 5)를 대입한다는 말은
x 대신에 1, y 대신에 5를 대입하자는 뜻이죠. 대입하면. 대입 해볼까요? 그럼 y 대신에 5니까 5는. x 대신에 1이니까 4×1=4죠. 4+a+3이죠. 계산해볼까요?
5는. 4+3은 얼마입니까? 7. 7+a죠. 따라서 a를 구하시면 7을 이항하면 되죠. 5에서 7을 빼면 얼마? -2가 되는 거죠. 됐습니까? a값을 구했기 때문에 이제 식을 좀 정리할까요?
원래 식은 y=4x에 a+3인데 a가 -2래요. 그러면 -2+3이니까 얼마? 1이죠. 이제 이 식에다가 이 점의 좌표. x 대신에 얼마? b. y 대신에 얼마? -3을 대입할 수 있겠죠.
됐습니까? 대입합시다. y 대신에 -3을 대입하면 -3은. x 대신에 b를 대입하면 4b가 되겠죠. 플러스 1이 되겠네요. b에 관한 일차방정식을 풀겠습니다. 1을 이항할까요?
그러면 -3-1이니까 -4인가요? -4가 4b입니다. 양변을 4로 나누면 결국 b의 값이 얼마다? -1이 되겠죠. 따라서 a값 구했고, b값 구했으니까 마지막에 a-b의 값을 구하는 거죠.
a-b=-2-(-1)이니까 마이너스, 마이너스는 플러스가 되죠? -2+1을 해서 얼마가 된다? 결국 답은 -1. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다.
14번 문제는 평행이동한 식을 우리가 구해낼 수 있을 것이냐. 어떤 점을 지난다고 할 때는 x좌표와 y좌표를 각각 주어진 식의 x, y 값에 대입해서
미지수를 방정식을 이용해서 구해낼 수 있을 것인가. 여러 가지를 물어보고 있네요. 그죠? 그 다음에 16번으로 갈게요. 16번은 상당히 재미있는 문제입니다. 볼게요.
많은 친구들이 이 문제를 보면 이 문제가 의도하는 바가 무엇인지를 잘 모를 것 같아요. 그래서 일단 이 문제는 1번, 2번, 3번을 다 같이 봐야 되기 때문에
뒤에 있는 화면을 제가 먼저 써볼게요, 이렇게. 세 개의 식을 동시에 봐야 되기 때문에 이렇게 식을 먼저 써놓고 시작하겠습니다. 잘 보시면요.
일단 좌표평면 위에 직선 세 개가 있습니다. l이 있고요. m이 있고 n이 있어요. 그 다음에 식도 세 개가 주어져있습니다. 하나는 y=ax+b. 하나는 y=ax-b. 하나는 y=-ax+b입니다.
이걸 가지고 이 세 개의 그래프와 이 세 개의 식을 매칭 시키란 말이에요. 매칭을. 과연 어떻게 매칭을 시킬 것이냐. 세 개의 식을 잘 보시면 x의 계수가 다 문자죠.
그 다음에 상수항도 다 문자입니다. 머릿속에 떠오르는 게 있으십니까? x의 계수가 의미하는 바는 무엇이다? 기울기다.
기울기가 양수라면 그래프가 오른쪽 위로 올라가고 기울기가 음수라면 그래프가 오른쪽 아래로 내려간다. 잘 보시면 하나만 오른쪽 위로 올라가죠. l만.
두 개는 오른쪽 아래로 내려가죠. 그런데 식을 보세요. 기울기를 나타내는 x앞에 있는 계수가 1번하고 2번은 a인데요. 3번만 -a에요. 그 말은 무슨 말일까요?
이 세 개 중에 정확하게 어떤 그래프 하나가 딱 우리가 알 수 있는 그래프죠? 둘 다 a인데 하나만 -a야. 둘 다 오른쪽 아래로 내려가는데 하나는 오른쪽 위로 올라가.
그렇다면 3번 그래프가 바로 뭘 의미한다? 직선 l을 의미한다는 사실을 우리가 확인할 수 있습니다. 됐습니까? 왜? 하나만 다르니까. 이렇게 찾는 거예요.
그 다음. 우리가 m과 n을 구분하려면 이제 상수항을 봐야 되는데 상수항이 의미하는 바는 무엇이다? 일차함수 그래프가 y축과 만나는 점의 위치.
즉, y절편이 양수냐, 음수냐. 그런데 3번을 보세요. 3번은 분명히 l이라고 했는데 l의 y절편이 b래요. 그런데 l의 y축과 만나는 점이 여기 있습니다. 양수인가요?
그 말은 무슨 말이에요? b의 값의 부호가 양수라는 뜻이죠. 됐습니까? b의 값의 부호가 양수다. 그 말은 1번과 2번을 보시면 y절편이 b고 -b인데
b의 부호가 양수고 -b의 부호는 반대로 음수가 되어야 되겠죠. 왜? b의 부호가 양수니까 -b의 부호는 음수다. 그렇다면 m과 n을 구분하는 방법.
1번은 양수니까 y축과 양에서 만났을 것이고 2번은 y절편이 음이니까 음의 쪽에서 만나겠죠. 볼까요? m을 보시면 y축과 양에서 만나고요.
n을 보시면 y축과 음에서 만나죠. y절편이 양수야. 그래서 우리는 바로 1번 그래프가 무엇에 해당된다? m에 해당된다. 그 다음에 2번 그래프가 바로 무엇에 해당된다?
n에 해당된다는 사실을 확인할 수 있습니다. 정리하면 1번 그래프가 무엇? m. 그 다음 화면으로 가볼까요? 2번 그래프가 무엇? 바로 n. 그 다음 가볼까요?
3번 그래프가 바로 무엇이다? l이다. 이렇게 짝지어 줄 수가 있겠습니다. 아마 16번 문제를 보고 '도대체 이거 어떻게 짝지으란 말인가.'
이렇게 헷갈린 친구들이 꽤나 있었을 것 같은데 이렇게 푸는 겁니다. 아시겠죠? 재미있죠? 그 다음에 17번으로 가보도록 할게요.
17번은 일차함수 식을 이용해서 일차함수 그래프에 관련된 모든 것들을 다 물어보는 대단히 중요한 문제다. 계속 강조합니다. 이 문제는 아마 시험문제로 꼭 나올 것 같아요.
볼게요. 17번. 이 일차함수 식이 주어졌을 때 이 그래프에 대한 모든 것을 다 우리가 알 수 있을 때만 풀 수 있는 문제다. 이와 같은 문제가 제시된다면 가장 기본적으로 하셔야 될 게 무엇이냐.
이 일차함수 그래프를 일단은 그려놓고 보시는 게 훨씬 더 나아요. 물론 그리지 않고 하나하나 살펴보면서 봐도 되지만 일단 습관적으로 이와 같은 걸 묻는다면
일단 이 일차함수 그래프를 먼저 그려놓은 다음에 보시는 게 훨씬 더 마음이 편합니다. 일차함수 그래프를 그리는 방법은 여러 가지가 있지만 가장 편리한 방법은 절편을 이용하는 것이다.
y절편은 이미 나와 있습니다. y절편은 얼마? -6이다. 그래서 우리는 x절편만 구할게요. x절편을 구하기 위해서 주어진 식에 y 대신에 0을 넣습니다.
0을 대입하면 4분의3x-6=0입니다. 풀어볼게요. -6을 이항합니다. 그러면 4분의3x는 얼마다? 6이 되겠죠. x값을 구할까요? x값을 구하기 위해서 양변에 4분의3의 역수를 곱해요.
즉, 양변에 3분의4를 곱합시다. 4분의3의 역수인 3분의4를 이렇게 곱해야지만 약분이 되어서 없어지죠? 그러니까 똑같이 우변에서도 3분의4를 곱합시다.
그러면 3하고 6이 약분되고 2하고 4를 곱해서 얼마다? 8이 되겠죠. x의 값이 8이래요. 그 말은 무슨 말이다? 이 그래프의 x절편이 얼마다? 8이다. 그죠?
그 다음에 y절편이 얼마다? -6이다. 식에 나와 있으니까. y절편이 -6이다. 이걸 가지고 우리가 그래프를 그릴 수 있더라. 어떻게? y절편이 음수니까. 조금 더 그려드릴까요?
이렇게 그리시면 x축과 만나는 점의 x좌표가 8. y축과 만나는 점의 y좌표가 -6이다. 따라서 이 점과 이 점을 연결하면 이게 바로 무엇이다?
이 일차함수의 그래프라는 것. 그려놓고 1번부터 갑니다. 1번. 기울기는 -4분의3이다. 기울기는 뭘 갖고 알 수 있다? x 앞에 있는 계수. 이것이 바로 기울기인데 4분의3.
언제 부호가 바뀌었습니까? 1번은 틀렸죠. 2번 갈게요. x축과 만나는 점의 좌표는 (8, 0)이다. 이 점은 x절편이 8이니까 x좌표가 8이고 y좌표는 0이다. 2번 맞았습니다.
정답이 두 개니까 일단 2번입니다. 3번 가볼까요? y축과 만나는 점. y축과 만나는 점. 이 점의 x좌표는 0이고요. y좌표는 6이 아니라 무엇이다? -6이라는 것.
y절편. 오케이? 4번 갈까요? 제2사분면을 지나지 않는다. 이걸 풀려면 우리가 바로 그래프를 그려 놓는 것이 훨씬 더 편리하겠죠?
잘 보시면 제1사분면, 3사분면, 4사분면을 지나고 있고 제2사분면은 지나지 않고 있죠? 그래서 4번이 두 번째로 맞는 게 되겠네요. 5번 갈까요?
이와 같은 그래프와 평행하다고 그랬습니다. 또 나왔네요. 평행하다는 말은 기울기가 같다는 건데 기울기라는 것은 x앞에 있는 계수다.
계수가 4분의3인데 이 계수는 3분의4. 함정이죠? 틀립니다. 비슷합니다만. 그래서 틀렸죠? 결국 옳은 것은 몇 번과 몇 번? 바로 2번과 4번. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다.
그 다음 18번으로 가볼게요. 18번이 방금 전에 이 문제 풀기 전에 풀었던 16번과 거의 똑같은 원리를 이용해서 풉니다. 볼게요. 18번. ab가 양수고요. a+b가 음수다.
이걸 가지고 다음 중 일차함수 y=ax+b의 그래프로 알맞은 것은? 보시면 일차함수 식이 주어져있는데 a하고 b 둘 다 문자로 제시되어 있습니다. 이걸 갖고 그래프를 그리시오.
우리 개념 편에서는 단순히 a값이 양수다, b값이 음수다. a, b 자체에 대한 부호가 제시되어 있지만 레벨2이니만큼 a, b에 대해서 부호를 주지 않고 다음과 같은 조건을 두 개의 식으로 줬습니다.
그 말은 무슨 말이냐. 이 두 개의 조건을 이용해서 x 앞에 있는 계수. 기울기를 뜻하는 a하고 y절편을 뜻하는 b의 부호를 찾으라는 거예요.
이렇게 줬으니까 이걸 갖고 그냥 a하고 b의 부호를 찾으라는 겁니다. 왜? 난이도가 있는 문제니까. 난이도가 낮은 문제는 바로 a와 b의 부호를 던져준다.
하지만 난이도가 있기 때문에 이 조건을 이용해서 너희들이 a와 b의 부호를 찾아라. 그럼 찾아야 되겠죠. 봅시다. 첫 번째 조건은 a하고 b를 곱했더니 0보다 크다. 양수라는 겁니다.
우리가 알고 있는 상식에 의해서 어떤 두 수가 있는데요. 두 수를 곱했더니 부호가 양수래요. 그 말은 무슨 말이에요? 첫 번째로 a와 b가 둘 다 양수일 때는 양수가 되겠죠.
이건 누구나 생각해. 하지만 이것 말고도 또 있죠. 무엇? a하고 b가 둘 다 음수일 때도 곱하면 양수가 되겠죠. 즉, a와 b를 곱했을 때 양수가 된다는 말은
a, b의 부호가 서로 같다는 뜻입니다. 됐습니까? 그런데 두 번째 조건을 보시면 a와 b를 더했더니 음수래요. 이걸 만족하는 a, b는 두 가지 경우가 있는데
이 중에서 더했을 때 음수가 되는 경우가 무엇이냐는 거죠. 당연히 무엇입니까? a와 b가 둘 다 음수여야만 이 두 조건을 만족하는 거죠. 됐습니까?
이제 우리는 두 개의 조건을 이용해서 a하고 b의 부호를 찾았습니다. 그래프를 그릴까요? 좌표평면 그리고요. x축, y축이 있습니다.
첫 번째로 a가 0보다 작대요. a가 무엇이냐하면 x 앞에 있는 계수니까 기울기입니다. 기울기가 의미하는 바는 무엇이다? 위로 올라가냐, 아래로 내려가냐.
그런데 0보다 작으니까 오른쪽 아래로 내려가겠죠. 이렇게 그려집니다. 이렇게 그려진다고요. 그런데 b가 음수래요. b가 무엇이냐하면 y절편이야.
y절편이 의미하는 바는 무엇이다? 이 그래프가 y축과 만나는 점의 위치인데 음수니까 여기서 만난다고요. 아래쪽에서. 그러면서 기울기가 음수니까 오른쪽 아래로 내려가면 되겠죠.
그래서 이렇게 그려지면 됩니다. 이와 같이 그려진 걸 찾으시면 바로 몇 번? 4번에 있다. 이렇게 정답을 찾아줄 수가 있겠습니다.
그 다음 껑충 뛰어서 23번으로 넘어갈게요. 일차함수 식을 구하는 문제인데요. 일차함수 식을 구하는 게 이제까지는 다 그냥 문장으로 주어지거나
아니면 조건을 딱 줬는데 이와 같이 그림으로 주어지는 경우는 없었습니다. 그래서 같이 한 번 풀어보려고 합니다. 볼게요.
다음과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수 식을 y=ax+b라고 할 때 a-b의 값을 구하시오. 잘 보시면 조건이 뭐로 주어져있습니까? 그래프로 아예 주어줬죠.
이 그래프를 가지고 그냥 식을 구하라는 겁니다. 그죠? 그런데 이 그래프를 잘 보시면 이걸 아셔야 돼요. 이 그래프가 우리에게 알려주는 바가 무엇이냐.
알려주는 바가 무엇이냐. 바로 이 직선이 지나는 두 점의 좌표를 우리에게 알려주는 겁니다. 두 점의 좌표. 잘 보시면 한 점이 어디있냐하면 여기 있죠.
한 점이 어디있냐하면 여기 있다고요. 이 점을 잘 보시면 좌표가 뭐냐. x좌표가 1이죠. y좌표가 얼마냐하면 3이에요. 이 좌표를 잘 보시면 x좌표가 얼마냐하면 5고요.
y좌표가 얼마냐하면 -2에요. 즉, 이 그래프로 제시되어 있다는 말은 이 직선이 지나고 있는 두 점의 좌표를 우리에게 준 것이라고 보시면 된다는 거예요.
그렇다면 서로 다른 두 점을 지나는 일차함수의 식을 우리가 구해낼 수 있다, 없다? 있죠. 첫 번째 a값. 기울기입니다. 기울기를 구하는 방법은 좌표를 이용해서 구할 수도 있고요.
그림을 이용해서 구할 수도 있더라. 저는 그림을 이용해서 구하겠습니다. 왜? 제가 더 선호하는 방법이니까. 다음과 같이 x값의 증가량과 y값의 증가량을 구합니다.
x값의 증가량은 1에서 5만큼. 얼마만큼 증가했습니까? 4만큼 증가했죠. y값의 증가량은 3에서 -2만큼. 이렇게 내려갔죠. 얼만큼? 5만큼 내려갔습니다.
따라서 기울기는 무엇이다? 4분의-5. x값의 증가량분의 y값의 증가량. 됐죠? 그 다음에 b의 값을 구하겠습니다. b의 값을 구하려면 일단 주어진 식에다가
a값 대신에 -5를 대입하고 나서 b의 값을 구할 수 있죠. 왜? 이 그래프가 이 점 또는 이 점을 지나기 때문에 이 식에다가 두 점 중에 하나의 좌표를 대입하면 됩니다.
어떤 걸 대입할까요? 당연히 작은 수를 대입하는 게 편하겠죠. 따라서 x=1, y=3을 대입하겠습니다. 대입하시면 y값 대신에 3이니까 3=-4분의5. 곱하기 1이니까 안 써도 되죠?
플러스 b가 되겠네요. b의 값을 구하려면 -4분의5를 이항합니다. 그러면 3+4분의5가 될 것이고요. 3은 4분의12가 되기 때문에 계산하시면 4분의17이 되겠죠. 됐습니까?
마지막으로 a-b의 값을 구하래요. a-b는 a가 -4분의5. 마이너스. b가 4분의17이 되겠죠. 계산할까요? 그럼 -4분의5+17이니까 얼마가 됩니까? 22가 되나요? 22. 그죠?
약분되네요. 얼마? 2로. 따라서 정답은 -2분의 얼마다? 11이다. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다. 레벨2 문제 중에서 하나만 더 풀어볼까요?
24번 문제를 같이 한 번 풀어보도록 하겠습니다. 24번 갈까요? 문장이 상당히 깁니다. 잘 볼게요. 문장을 잘 보셔야 돼요. 일차함수 y=-4x+1의 그래프와 평행하대요.
평행하다. 기울기를 우리에게 주고 있구나. 기울기가 얼마인데? -4인데 평행하다고 했기 때문에 이 조건은 기울기가 얼마구나? -4라는 걸 일단 끊어서 봅니다. 평행하고.
일차함수 y=-2x+8의 그래프와 y절편이 같은. y절편이 같대요. y절편이 여기 있습니다. 얼마로? 8이니까 y절편이 8이라는 겁니다. 직선이 있답니다.
그럼 이 직선은 기울기가 얼마고? -4고. y절편이 얼마고? 8인 이와 같은 직선이라는 거죠. 됐습니까? 기울기가 -4고 y절편이 8이니까 식을 세울 수 있다, 없다?
있죠. 어떻게? y는. 기울기가 -4니까 -4x고 y절편이 8이니까 +8이에요. 이게 바로 뭐냐하면 여기서부터 여기까지 만족하는 직선입니다. 됐습니까? 끊었습니다.
근데 이와 같은 직선이. 이 그래프가 뭐래요? x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라고 하더라. x축, y축과 만나는 점이다. 이 말은 우리에게 뭘 구하라는 겁니까?
바로 절편을 구하라는 뜻이겠죠. 됐습니까? 이때 과연 △AOB의 넓이는 무엇인가. 절편을 구합시다. y절편 나왔고요. 8. x절편 구할게요. y 대신에 얼마? 0을 대입합니다.
0을 대입하시면 0=-4x+8인가요? -4x는 이항합니다. 그럼 4x=8인가요? 양변을 4로 나누면 x의 값은 얼마다? 2가 되겠습니다. 즉, x절편은 얼마? 2. y절편은 얼마?
8이 되겠죠. 구해볼까요? x절편이 2니까 이 점을 뭐라고 해야 된다고 했습니까? A라고 한다고 했는데 x값이 2고 y축과 만나는 점을 B라고 한다고 했는데 이 B의 y좌표가 얼마다?
8이다. 왜? x절편과 y절편이 각각 2하고 8이니까. 여기까지 되십니까? 따라서 이 그래프를 그리시면 이렇게 되겠네요. 이때 △AOB. O가 뭐에요?
원점이니까 여기 있는 점인가요? 즉, △AOB. 이 삼각형의 넓이를 구하래요. 이 삼각형은 무슨 삼각형? 직각삼각형. 따라서 넓이를 구하시면 2분의1 곱하기.
밑변의 길이 얼마? 2. 높이 얼마? 8. 약분하시면 넓이가 얼마가 된다? 바로 4가 된다. 이렇게 구해낼 수... 2분의1 곱하기... 아, 4가 아니죠. 약분되어서 얼마가 된다?
바로 8이 된다. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다. 다 구해놓고 선생님이 끝에서 답을 잘못 구할 뻔 했습니다. 이런 실수를 하시면 안 되겠죠.
이 문제는 긴 앞부분을 통해서 기울기하고 y절편을 구해낼 수 있고 그 다음에 절편을 이용해서 그래프를 그려낼 수 있고 마지막으로 삼각형의 넓이를 구해낼 수 있을 것인가.
이와 같은 긴 문제는 반드시 문제를 끊어서 해석하신 다음에 풀어보시면 어렵지 않게 풀 수가 있습니다. 됐습니까? 우리 잠시 쉬었다가 레벨3 문제를 한 번 같이 풀어보겠습니다.
레벨3 첫 번째 문제 25번. 세 문제 밖에 없지만 이 세 문제가 간단치 않은 문제들입니다. 25번부터 갈까요? 25번 보면 왜 이렇게 친구들이 뭔가를 잘못 볼까요.
이런 친구들이 있을 수도 있고 아니면 이와 같은 문제를 만들기 위해서 일부러 이렇게 하는 걸 수도 있고. 그죠? 1학기 때도 이와 같은 문제들이 있었습니다. 그죠?
일차함수 그래프를 그리는데 서현이라고 하는 친구는 x의 계수를 잘못 보아서 두 점을 지나는 직선을 그렸고 지원이라고 하는 친구는 상수항을 잘못 보아서 두 점을 지나는 직선을 그렸다.
이때 올바른 일차함수 식을 구하시오. 이 두 개의 문장을 보시면 서현이는 x의 계수를 잘못 보았다. 이 말은 무엇은 제대로 보았다?
그렇죠. 상수항은 제대로 보았다. 이 말을 우리에게 알려주는 것이죠. 왜냐하면 밑에 있는 것 때문에. 반대로 지원이는 상수항을 잘못 보았다. 이 말은 지원이는 무엇은?
x의 계수는 제대로 보았다는 것을 우리에게 알려준다는 겁니다. 됐습니까? 그러면 위에 있는 이 조건을 이용해서 일차함수 식의 상수항을 구하고
밑에 있는 이 조건을 이용해서 일차함수 식의 x의 계수를 구하면 되겠다는 걸 알 수 있겠죠. 즉, 일차함수 식. 우리가 구하려고 하는 일차함수 식은 y=ax+b인데...
잘 보시면 상수항은 이거예요. x의 계수는 이거예요. x의 계수는 뭡니까? 기울기고요. 상수항은 y절편이에요. 뭐가 더 구하기 쉬울까요? 저는 이게.
즉, x의 계수를 구하기가 더 쉽다고 말씀드리고 싶습니다. 왜? x의 계수는 뭐에요? 기울기는 제대로 구했으니까 서로 다른 두 점을 지나는 기울기는 금방 구할 수 있다, 없다?
있죠. 맞습니까? 이 친구는 기울기는 제대로 구했어요. x의 계수가 기울기니까. 그런데 두 점을 지나는 기울기를 우리가 구해낼 수 있다고요. 구해볼까요?
a값입니다. a값은 x값의 증가량 분의 y값의 증가량이다. -3에서 1을 한 번 빼볼까요? -3에서 1을 뺍시다. 그럼 y값의 증가량도 0에서 1을 빼야 되겠죠.
0에서 1을 빼자고요. 그러면 분모가 얼마입니까? -4고요. 분자도 -2죠. 그럼 마이너스, 마이너스. 플러스고요. 따라서 얼마가 됩니까? 2분의1이 되겠죠. 됐습니까?
아하. a값을 구했다. 얼마? 2분의1. 됐습니까? 그래서 우리는 이렇게 바꿔치기 할게요. x의 계수 구해냈습니다. 왜?
지원이는 x의 계수는 제대로 보았는데 x의 계수가 기울기니까 서로 다른 두 점을 지나는 기울기를 그냥 구해낸 겁니다. 됐습니까? 오케이.
그 다음. 이제 우리는 상수항만 구하면 되겠습니다. 상수항을 구하려면... 서현이가 구한 걸 봅시다. 서현이는 이 두 점을 지나는 직선을 그렸는데 뭐는 제대로 봤어요?
상수항은 제대로 봤는데 뭘 잘못 구했습니까? x의 계수를 잘못 구했어요. 그렇다면 우리는 이 두 점을 지나는 직선을 구해냅시다. 구해낸 다음에 거기서 상수항을 갖고 오자고요.
아시겠습니까? 구해봅시다. 일단 기울기를 먼저 구할까요? 기울기는 똑같이 구합시다. 기울기는 x값의 증가량. -1에서 1을 빼버릴까요? -1에서 1을 뺍시다.
그러면 y값의 증가량도 4에서 3을 빼야 되겠죠. 4에서 3을 빼면... -2분의1인가죠? -2분의1이다. 즉, 서현이가 구하려고 하는 이 일차함수 그래프의 식은 기울기가 -2분의1이니까
-2분의1x+n이라고 쓸 수 있겠죠. 보통은 제가 b라고 놨는데 여기다가 b를 썼기 때문에 저는 n이라고 바꾸겠습니다. 오케이? 우리가 구하려고 하는 식.
이 식에다가 두 점 중에 한 점을 대입할까요? 뒤에 있는 점. x 대신에 1, y 대신에 3을 대입합니다. 대입하면 y 대신에 3, x 대신에 1이니까 -2분의1. +n입니다. n의 값을 구하면...
-2분의1은 이항합시다. 그러면 3+2분의1이 되어서 얼마입니까? 2분의7이 되겠죠. 아하. 결국은 서현이가 구한 일차함수 식은 y=-2분의1x+2분의7이에요.
그런데 이 서현이는 x의 계수를 잘못 봤어. 근데 상수항은 제대로 봤죠? 그러니까 상수항이 얼마라는 뜻입니까? 2분의7이 되겠죠.
결국은 우리가 구하려고 하는 일차함수 식의 상수항도 2분의7. 따라서 우리가 구하려고 하는 일차함수 식은 y=2분의1x+2분의7이다. 이렇게 구해낼 수가 있겠습니다.
이 문제 이해가시죠? 한 친구는 x의 계수를 잘못 보았고 한 친구는 상수항을 잘못 보았으니까 반대의 것을 제대로 보았다. 이걸 이용해서 구하시면 됩니다.
26번. 아마 26번이 여러분들이 가장 구하기 힘든 문제가 아니었을까 싶습니다. 26번 볼게요. 문제는 간단한데요. 푸는 것도 간단합니다.
푸는 것도 간단한데 왜 그렇게 나오는지를 여러분들이 아셨으면 좋겠어요. 보십시오. 어떤 일차함수 그래프 y=ax+1의 그래프가 있는데
이 그래프가 다음과 같은 직사각형의 넓이를 정확하게 둘로 쪼갠다. 과연 상수 a의 값이 무엇이냐. 대충 그리면 이런 겁니다. 어떤 직선이 있는데 이렇게 이걸 죽 지났어요.
그랬더니 이 직사각형이 다음과 같은 이 부분과 그 다음에 아래쪽에 있는 이 부분으로 나뉘죠. 이렇게 두 개로 나뉜다고요. 이때 이 부분의 넓이와 이 부분의 넓이가 같다더라.
그러려면 과연 여기 있는 a값이 무엇이냐는 겁니다. 문제는 간단합니다. 그렇다면 이걸 어떻게 풀 것이냐. 원리를 알려드릴게요.
보세요. 제가 여기다가 직사각형 하나를 그려볼게요. 다음과 같은 질문을 던져봅시다. 어떻게? 여러분들에게 여기다가 직선을 하나 그리게 할 거예요.
직선을 하나 그려서 이 직사각형을 정확하게 2등분 하도록 그려보겠습니다. 그러면 가장 쉽게 그릴 수 있는 방법이 뭐냐. 정확하게 2등분을 하려면...
직선을 아무렇게나 그리면 정확하게 이렇게 가운데로 나눠버리면 되죠. 그럼 이거랑 이게 똑같아요. '에이, 선생님. 그러면 이렇게 그릴수도 있네요? 이렇게 이렇게 같게.'
그렇죠. '에이, 선생님. 그러면 이렇게 그릴 수도 있겠네요?' 그죠. 그러면 이 삼각형과 이 삼각형의 넓이가 같죠. '에이, 그러면 선생님. 이렇게 그릴 수도 있겠네요?'
그렇죠. 그렇게 그리면 이 삼각형과 이 삼각형의 넓이가 같잖아요. 잘 보십시다. 여기서 질문입니다. 방금 전에 우리는 총 네 개의 직선을 그렸는데
이 네 개의 직선은 이 직사각형의 넓이를 이등분합니다. 그런데 공통적으로 한 점을 지나고 있죠. 그 점이 어디입니까? 바로 이 점입니다.
이 점을 지나면 어떻게 직선을 그리든지간에 이 직사각형의 넓이를 이등분할 수 있느냐. 예를 들어서 이 점을 지나면서 이렇게 그리면 이 사각형의 넓이와 이 사각형의 넓이가 같냐는 거죠.
같다는 겁니다. 방금 전에 보셨죠. 마찬가지로 이 점을 지나기만 하면 이렇게 직선이 지났을 때 위에 있는 이 사각형의 넓이와 아래에 있는 이 사각형의 넓이가 같냐는 겁니다.
같다는 겁니다. 그렇다면 도대체 이 점이 무엇이냐. 보시면 알겠죠. 이 점이 뭐에요? 이 대각선과 이 대각선이 만나는 교점입니다. 맞습니까? 똑같은 겁니다.
우리가 찾으려고 하는 게 무엇이다? 이 직사각형의 넓이를 이등분하려고 한다. 그러려면 우리는 대각선을 그어서 대각선의 교점만 찾으면 되죠.
즉, 이렇게 대각선을 긋고 이렇게 대각선을 그었을 때 바로 이 점을 지나도록 그리면 된다는 거예요. 그렇다면 이 점을 어떻게 찾을 것이냐. 잘 보세요.
가로의 길이가 얼마에요? 1하고 9니까 전체가 얼마일까? 8이겠죠. 그렇다면 한 가운데에 있는 이 부분은 얼마가 될까요? 4가 되겠죠. 길이가.
그럼 1에서 4만큼 더해지면 이 점의 x좌표가 얼마일까요? 5가 되겠죠. 마찬가지. 이 점의 y좌표를 구하려면 여기가 2고 여기가 4야.
그렇다면 가운데에 있는 이 점의 y좌표는 얼마가 될까요? 당연히 3이 되겠죠. 아하, 바로 이 점의 좌표가 (5, 3)인데 이걸 지나면 되는구나. 무엇이?
바로 일차함수 y=ax+1이라고 하는 이 그래프. 됐습니까? 따라서 y=ax+1. 이 그래프에다가 x 대신에 얼마? 5. y 대신에 얼마? 3을 대입하시면 된다고요. 그러면 3은.
x 대신에 5니까 5a+1이 되겠죠. 1을 이항합니다. 그러면 3-1이니까 얼마? 2죠. 2가 5a랑 같습니다. 양변을 5로 나누면 a값이 얼마가 된다?
바로 5분의2. 이렇게 답을 찾아줄 수가 있겠습니다. 이 문제. 문제를 풀 때는 너무나 간단한데요. 왜 이 점을 대입해야 되는지.
어떻게 하면 이 점을 찾을 수 있는지를 여러분들이 아시는 게 중요합니다. 됐습니까? 마지막 27번 문제. 힘차게 같이 한 번 풀어볼게요. 27번입니다.
그림과 같이 두 일차함수 y=ax+b하고 y=-3분의1x+2의 그래프가 x축 위의 점 A에서 만난다고 되어 있습니다. 그 다음 갈까요?
이때 두 직선이 y축과 만나는 점을 각각 B, C라고 했습니다. △ABC. 이 삼각형의 넓이가 △ACO. 이 삼각형의 넓이의 정확하게 두 배라는 뜻이죠. 2:1이다.
이 말은 정확하게 큰 삼각형이 작은 삼각형 넓이의 두 배가 된다는 뜻이죠. 이때 과연 a, b의 값이 얼마냐는 것. 이 문제는 아까 우리가 풀었던 삼각형 넓이 구하는 거랑 거의 비슷하죠.
일단 우리가 이 문장을 해석하기 전에 뭘 해야 되느냐. 삼각형의 넓이를 구하려면 뭘 구해야 됩니까? 절편을 구해야 되죠. 그래서 우리가 일단 알고 있는 식. 이 식의 절편을 구해볼까요?
y절편은 2야. 그러니까 이 점의 y좌표가 얼마다? 2라는 것은 알 수 있죠. 그 다음. 점A의 x좌표를 구해볼까요? 어떻게? x절편을 구하면 되겠죠.
이 식에다가 y 대신에 0을 대입할까요? 0을 대입하시면 0=-3분의1x+2가 되겠죠. -3분의1x를 이항하면 3분의1x가 2가 되겠죠. 양변에 3을 곱해버릴까요?
그러면 x는 2×3을 해서 얼마다? 6이라는 거죠. 즉, 점 A의 x좌표가 얼마냐하면 6이에요. 됐죠? 됐습니다. 잘 보세요. 큰 삼각형의 넓이가 작은 삼각형 넓이의 두 배래요.
보시면 이 큰 삼각형의 넓이가 작은 삼각형. 이 삼각형 넓이의 두 배랍니다. 그런데 큰 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이 곱하기 2분의1을 하면 되죠.
작은 삼각형의 넓이는 밑변 곱하기 높이 곱하기 2분의1을 하면 되죠. 그런데 두 삼각형의 이 부분. 높이가 어때요? 똑같죠. 그 말은 무슨 말일까요?
큰 삼각형의 넓이가 작은 삼각형 넓이의 두 배가 된다고 했는데 이 길이가 똑같기 때문에 결국 이 길이가 이 길이의 정확하게 몇 배가 되면 됩니까?
바로 두 배가 되면 되죠. 됐습니까? 아, 문제를 잘못 봤네요. C가 이거죠. 이 삼각형의 넓이가 이 삼각형의 넓이의 두 배가 된다고요.
그 말은 이게 밑변이고 이게 밑변이니까 높이가 똑같다고요. 그렇다면 이 길이가 이 길이의 정확하게 몇 배다? 두 배가 되는 거죠. 됐습니까?
잘 보시면 이 길이가 얼마에요? 2죠. 그렇다면 이 길이가 얼마가 되어야 되겠습니까? 4가 되어야 되겠죠. 4가. 왜? 두 배니까, 밑변이.
그렇다면 2, 4니까 이 점이 얼마가 되겠습니까? 6이 되겠네요. 아하, 다 구했습니다. 다 구했어요. 우리가 구하려고 하는 식이 y=ax+b인데 이 식의 y절편이 6이고 x절편도 6입니다.
그렇다면 기울기하고 y절편을 구할 수 있겠죠. 기울기는 x값의 증가량이 얼마겠어요? 6이죠. y값의 증가량이 얼마입니까? -6이니까 기울기는 얼마? a가 6분의-6이죠.
얼마? -1이 됩니다. 그 다음. y절편이 얼마입니까? 6이 되겠죠. 그래서 우리는 a값이 얼마? -1. 그 다음에 b의 값이 얼마다? 6이라는 것.
다시 한 번 제가 실수했던 것. △ABC가 이게 아니라 이겁니다. 이게 밑변, 이 부분이 높이. 이 삼각형의 밑변과 높이.
높이가 똑같기 때문에 밑변의 길이가 2:1이라는 사실을 이용해서 다시 한 번 여러분들이 꼼꼼하게 구하셨으면 좋겠습니다.
이렇게 해서 우리 일차함수 앞 중단원에 해당되는 모든 내용하고 수준별 문제까지 풀어봤습니다. 이제 우리 다음 시간부터는 두 번째 중단원으로 넘어가겠습니다.
첫 번째 시간으로서 일차함수하고 일차방정식의 관계에 관련된 내용을 같이 한 번 알아보도록 할게요. 오늘 시간, 대단히 수고하셨습니다. 감사합니다.