各位同學好 這個第七單元
我們要介紹機械手臂的速度關係的運動學
那主要就是要介紹怎麼推導Jacobian矩陣
Jacobian矩陣在這個機器人裡面是非常重要的
那我們接下來就要介紹怎麼來推導
那我們看一下這個單元的課程大綱
那主要第一部份會介紹順向與反向運動學
先從前面的方法跟目前利用Jacobian的方法來加以比較
那第二個部份就是要推導順向運動學它的速度關係
那第三個部份呢
就是我們會講這個反向運動學它的速度關係
那接著呢 就介紹如何推導這個解析的Jacobian矩陣
那藉由這個Jacobian矩陣呢
我們可以來求取機器手臂手端它的線速度以及角速度
那最後呢 我們會有幾個範例來加以說明
那接著我們就來看第一個部份
第一個部份我們要介紹的是順向與反向運動學
那什麼是順向運動學呢
簡單的來講就是我們已知機器手臂它的連桿長度
以及關節的角度
那我們要求解它手端的座標
舉一個簡單的例子來講
我們一個單一桿的機器手臂
那它的順向運動學我們要怎麼來推導呢
我們可以看這個圖
那在這個圖裡面呢
假設我們一個單桿的機械臂
那我們已知這個機械臂它的角度
那我們利用三角涵數的關係
我們可以求出它的y呢 會等於它的長度
去乘上這個sin θ
那x呢 會等於長度乘上cos θ
那我們可以把它表示成這個式子
好 各位同學我們來看這個順向運動學的第二個例子
它是一個平面二桿機械臂
我們要來求它的順向運動學
那這是一個平面的二桿機械臂
那首先呢 我們定義第一桿跟x座標
它的一個角度呢 是q1
那第二桿跟第一桿的夾角是q2
那其中第一桿的桿長是l1 第二桿桿長是l2
所以我們可以知道第二桿跟x軸的夾角會等於q1加q2
所以呢 這個首端的坐標x,y我們可以由這個圖形
它的幾何關係
求出如下面的這個順向運動學的式子
也就是xy會等於l1 cos q1加l2 cos(q1+q2)
那y的部份是等於 l1 sin q1 加上l2 sin(q1+q2)
那什麼是反向運動學呢
簡單的來講
順向運動學就是已知關節的角度
那我們利用前面的三角涵數關係
去算出機械臂手端的位置跟方位
那反向運動學呢
就是由已知的手臂手端的位置跟方位
我們要反算它的關節角度
那這個在機器手臂裡面是非常重要的一個推導
那反向運動學我們可以再簡單用口語話來描述
就是已知機械臂手端的位置
那我們要求解關節的角度
例如假設順向運動學是這個方程式
那我們要怎麼去求出它的反向關係
就是這個式子 那這個要怎麼求解呢
那反向運動學的求解 一般有兩個方法
第一個是幾何關係法
幾何關係法就是利用幾何關係
透過三角涵數來求解
廣義逆轉換法呢
就是我們這個單元要來介紹的
它是利用運動學之速度關係式
也就是Jacobian矩陣 那透過疊代法來求解
那首先我們這邊會先複習一下前面的幾何關係法
然後再介紹如何求解Jacobian矩陣
利用Jacobian矩陣呢
來求解反向運動學
那我們舉一個前面的一個例子
就是一個平面二連桿的機械臂 它的反向運動學問題
這個是一個平面二連桿的機械臂
那我們已知這個機械臂
以它的兩個長度分別為l1跟l2
那它的角度呢 是θ1跟θ2
那假設我們已知手端的位置x跟y
那我們由前面的順向運動學可以知道下面這個式子
那接著呢
我們介紹怎麼利用幾何關係法來求解它的反向運動學
首先我們可將這兩個式子平方後相加
可以得到下面這個式子
那接著呢 在這個式子裡面
我們主要要求解的是θ1跟θ2
所以我們把上面這個式子呢 利用和角關係加以化簡
可以得到下面這個式子
那由這個式子呢
我們把右邊l1平方加l2平方移項到左邊
那我們就可以得到cos θ2會等於右邊這個式子
因此呢 我們可以藉由三角涵數的關係
可以得到θ 2就等於arc cos這個式子
那求出θ 2之後呢 接下來我們要求θ 1
那θ 1要怎麼求解呢
那我們可以利用這個幾何的關係圖
如右邊這個圖 那在這個圖裡面呢
我們觀察一下 可以知道θ 1呢
會等於β減α 所以我們要先求出β跟α
就可以得到θ 1
那β要怎麼求呢 首先我們可以先看這個三角形
那在這個三角形裡面 我們可以發現cos的α呢
會等於右邊這個式子
那在這個式子裡面呢
我們可以由前面的θ2把它代進來求解
那就可以得到α
那再利用右邊的這個三角形 我們可以求出β
因此呢 我們可以利用α跟β的關係來求出θ 1
那θ 1就可以利用這個式子來加以求解
好 在幾何關係法
我們前面已經找出它的關係
但是在θ 2裡面
我們還要注意這個反向運動學它會有兩個姿態
如右邊這個圖所示
它會有一個上姿態跟下姿態 我們要來解決
第一個情況就是當θ2如果大於0的話
那θ1它會等於β減α
那如果θ2小於0的話呢
那θ1它會等於α加β
所以在幾何關係法 我們要注意它有這兩個情況
好 各位同學 我們在第一個部份複習了
前面幾何關係法來求解反向運動學
那接下來我們要介紹如何利用Jacobian矩陣
來求解順向運動學