QQ群标题
这次 我想说一个烧脑的话题
这期视频可能会让大家产生争议
原视频源于Youtube
我知道Youtube有着理性的讨论环境
所以我很期待
格兰迪级数
汤姆逊灯
我们想知道 某个数列的和
这个数列形式很简单
它从1开始
然后减掉1
然后再加1 然后再减1 然后再加1
然后再减1 然后再加1 然后再减1
按照规律 无止境地交替写下去
你懂的
所以 这个级数(数列求和)等于多少?
一种尝试方法是
如果我先将这些项相加
这里 这里...
可以发现 每个括号都是(1-1)
加上(1-1)
每个括号都等于0
所以你会得到每项都是0
所以这会等于0 对吧?
这是一种尝试得出的答案
问题是 还存在另一种答案
我们重新合并 这次换一种方法
像这样
插进加号
所以我让1加上(-1+1)=0
加上 (-1+1)=0
等等等等...
每一个括号都是0
所以每个括号加起来也等于0
但在最前面有个1
所以这会等于1
现在我有两种不同的答案了
一种方式两两结合 会得出答案是0
另一种方式 得出答案是1
然而 还有第三种答案
并且这是一个非常奇怪的答案
我们假设一个未知数S 并且我们要
尝试去找出S等于多少
这就是我们想知道的答案
我们来计算1-S
所以这等于1减掉这个无穷级数
我们来试试
我们将它写下来
加一 减一...
去掉括号
所有的正负颠倒 所以我们会得到...
1 减掉1 加1...
去掉括号就变成这样了
1-S的结果居然是S自己
就是那个加1减1交错的数列
所以我又得到了S
现在我得到1-S=S
这下就容易了
大家都可以解出来
将S移过去
得到2S=1 然后你就可以发现
S=1/2
这是一个奇怪的答案
我得到了1/2
无止境的1与-1的和 结果居然是1/2
它可能等于1
可能等于0
但也可能是1/2
第一个想出这个的人，是一个意大利人
他是个数学家，叫做Grandi
他在1703年发现这个
他是个和尚
也是个数学家
你知道，就是那类的人
然后，他将这个发表出来
他说，这个太奇怪了
它是0、它是1、它是1/2
这是怎么一回事？
接着，数学社群看了看
并说，这不可能是1/2吧，是吧？
你就是1跟0去组合
这实在太疯狂了
这不可能..
噢
等等
这似乎有点道理
它有可能是1/2
所以，这展开了一场长久的辩论
持续了差不多150年
直到19世纪，无穷级数的概念发展起来的时候
许多人认为，最佳的答案是1/2
我想要尝试去说明，为什么他们觉得
最佳的答案是1/2
而在那之后，我会展示另外一样
让你完全颠覆想象的东西
如果我们拿一些"好"的无穷和 - 因为有些好的
无穷和，也有一些"坏"的无穷和
其中一个好的是这个
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
而计算这个和的方式是 --
事实上，我要说明一种适当的计算方式
这种适当的方式就是，去计算"部分和"
我们会去依项次计算这些和
我们来写下这个数列
我从1开始
我将它写下来
如果我将前两项加起来，等于什么？
这等于1 + 1/2
等于 3/2
也可以说是1.5
现在我们将前三项加起来
1 + 1/2 + 1/4
计算一下
7/4
也就是1.75
如果我将前四项加起来
15/8，也就是1.875
继续下一组，你会得到63/32
1.96875
你可能会发现，它们越来越靠近2
如果我将它写成一般项，会得到
2 - 1/n
而你可以发现，当n越来越大，这项会越来越小
最后消失不见，所以你只会留下2
而数学家证实了
这个无穷级数等于2
但此方法并不适用于计算Grandi's级数
我们来看看”部分和“
第一个是1
然后你将前两项加起来
会得到0
将前三项加起来，又得到1
将前四项加起来，又回到0
就这样不停地在1与0之间交替
它们没有越来越接近某个值
所以这方法不适用于Grandi's级数
所以，我现在要说明第二个
计算和的方式
现在我要将这些部分和去做平均
就一直取平均下去
基本上是一样的
我现在先用这数列来作说明
将第一项写下
1
现在将前两项"部分和"加起来
1 + 1.5，并且取平均
将它们除以2
也就是1 + 3/2，并除以2来取平均
也就等于5/4
接下来，将前三项"部分和"平均起来
1 + 3/2 + 7/4，并且除以3
会得到，17/12
到这边，希望你了解这个想法
这个数列又再次地趋近于2
这只是另一个得到相同结果的方法
我又得到2了
事实上，这个一般项是，2减掉一团..
一团不重要的东西
看
就这样一团
但这团东西会越来越小
越来越小、越来越小
所以你又得到2了
这只是得到相同答案的另一个方法
但这个方法，却可以使用在Grandi's级数上面
我们来试试
我们一样来取”部分和“的平均
这一串是Grandi's级数的“部分和”
从1开始
如果我们将前两项平均，你会得到1+0
除以2，等于1/2
前三项，除以3，得到2/3
前四项
1+0+1+0
除以4
又是另一个1/2
前五项
你应该发现了
除以5
等于3/5
而如果你一直做下去
你会得到1/2，接着是1/2 + 1/2n
同样的，后面这团东西会越来越小
越来越小、越来越小
这数列会趋向1/2
所以，你在将这个数列往1/2去趋近
相较于第一个方法，这个方法比较有技术性
但这是另一种我们求"和"的方法
将”部分和“去平均
但这个却适用于Grandi's级数
它给我1/2
所以，发生了什么事？
这两种方法有什么区别？
第二个方法，会求出”和“，当“和“存在时。
所谓极限是，当你会趋近于某个值
Grandi's级数并不存在极限，因为它不会
越来越趋近某个值
但这个第二个方法所求出来的和
它几乎就是极限，但它不是
它是一个假极限
一个冒牌的极限
它拥有极限的所有特性
与极限的表现一样
它极度相似于极限， 以至于我们去计算它来当作极限就在这
但不同的是，你并不会趋近它
现在，脑力激荡来了
我们想象在现实生活中的场景
想象一盏灯
我们去开开关关这盏灯
你开灯
你关灯
现在，如果我照着Grandi's级数
看到1，我就开灯
看到-1，我就关灯
所以你开灯、关灯
实际上这个部分和，就是在告诉你，灯是开的还是关的
如果你得到1，就代表你的灯是开的
如果你得到0，就代表你的灯是关的
接下来，进行这个实验
开始计时1分钟后，你开灯
再经过半分钟，你关灯
再经过1/4分钟，你又开灯
再经过1/8分钟，你又关灯
你就这样开灯关灯交替，但你会越做越快
就这样交替了无穷次
但如果，我们将这些时间加起来
1分钟 + 1/2分钟 + 1/4分钟 + 1/8分钟 --
一直加下去
最后会得到，2分钟
这个刚刚有说明过
如果你记得那部有关Zero's悖论的影片
那并不只是趋近于2分钟
你可以完成并达到2分钟
所以在这两分钟内，你一直开灯、关灯
无穷多次，并且你可以完成。
在这两分钟过后，灯是开的还是关的？
如果Grandi's级数是0，这代表灯是关的
如果Grandi's级数是1，这代表灯是关的
如果Grandi's级数是1/2，这代表什么呢？
是代表一半开、一半关？
还是同时开、也同时关？
你觉得呢？
牠先出发了
牠先前进了100公尺
然后他们开始了竞赛
阿基里斯冲刺完这100公尺，赶上乌龟的所在地
但在这段时间内，乌龟已经往前进