所以首先，大家早上好，我不能问你也许要来
更近，这样您就不会在房间周围那么分散了，这是我的荣幸
对我来说，开始学习课程的人数比55名要多得多。
参加练习的人，所以我想有人正在做您正在谈论的事情
后来我很高兴欢迎并介绍彼得教授
来自材料科学与工程系的
西北大学彼得（Peter）是以下地区的全球领导者之一
物理冶金学和相关的事物，例如响应形成等，以及
这次旅行将是忠实的方法，基础知识和应用
好的，向观众的专家们道歉，这是为了
研究生级别的材料，所以我首先我想介绍一下
面对人的想法面对场方程是什么，并且非常
两个非常著名的方程式的最简单上下文，即Kahn Hilliard和alençon方程
然后我想要做的是我想我无法涵盖所有​​内容，所以
在那之后我想做的就是以此为基础向您展示
尸体被埋葬在面部建筑社区中，我的意思是我
想要向您显示您何时需要了解的信息
您看一期相纸，关于是否要问什么问题
计算是正确的，以及此人的工作是否做得很好
确保他们得到的答案是真实的，而事实证明这是一个
Facebook社区中的一个主要问题，对此并没有很好的理解，所以还可以
所以在文献中有很多评论这是两个著名的
那个主要集中在固化上，因为标题暗示了这一点
一种主要集中在物理冶金方面，这些面场方法在不断发展。
几乎独立地进入这两个社区，而他们的方式
社区对这些模型的了解因此有所不同，因此
有趣的是，有一本教科书，由一位提供给我们的长者
在我们的计算材料课程和Alex的西北航空中使用过
阿曼·塞布（Aman Seb）在Facebook和
正如我所说，我想向您介绍一下
您可以想到的便宜的基础最简单的相场模型，以及如何
你在那堆东西吗，然后再谈一点
挑战和局限性，以及基本上您如何知道自己
得到正确的答案，所以这里的想法是发展有效的
允许您跟踪接口演变的计算方法等
您想要做的是预测纳米的结构
材料界面的形状是什么成分是什么
组合物的不均匀性或均匀性，可以来自
可以是薄膜的任何东西，可以是铁电的东西，可以是
磁性材料关于相场法的好处是
将新的物理场添加到方程式中非常容易
模拟其他情况，这里的目标当然是使用这些
模型作为材料设计工作的一个阶段，材料设计工作等等
尝试解决问题，让我向您展示我们在阶段之前所面临的挑战
现场方法到处都是，这是枝晶生长的照片
变成液体，如果您想描述这种枝晶的演变
换句话说，预测该点的局部法向速度是多少
您需要做的是确定求解扩散方程的经典扩散
固体和液体中的热扩散率均很差
我的意思是，例如，如果您查找数字配方，它们将具有一种方法
用这些解决命运的问题的融合方程
接口或这些相位转换问题是
您知道接口的边界条件，在这种情况下，
界面上某一点的温度取决于熔点-a
与界面能乘以平均值有关的毛细管长度
曲率，以及为什么这样一个具有挑战性的问题很好，如果您认为
有关设置此问题的信息，如果您拔出数字配方，它们将显示
您如何求解该方程式，他们会说您要在哪里放置
边界条件好吧，如果我有条，我将边界条件设为零，我会
在L处设置一个边界条件，我可以解决这个问题，好吧，您考虑一下
您如何很好地解决此问题，这是
你的脸，但是这个界面随着时间的流逝而发展，所以随着边界的变化
您将电池条件用于解决方案的条件
扩散方程随时间而变化，问题是你如何
确定该接口的位置，然后确定该接口的位置
通过说该点处的速度乘以潜热
换句话说，随着界面移动而释放的热量将是相关的
到固体和液体中的温度梯度
这只是告诉您速度，而没有告诉您位置和
问题，因此您所拥有的是这个提示问题，其中
您需要一个边界条件，您需要一个放置边界条件的地方，但是
您不知道将边界条件放在哪里，因为您没有
知道你必须解决这个方程，但是这个术语的效果取决于
梯度和由该方程式得出的温度，但您不能
解决这个问题，因为您不知道不知道将其放置在哪里
这些被称为自由界问题，在这种情况下，
它们很热，它们是高度非线性的，因为这里的曲率是
形状的非线性函数，因此人们在面对之前尝试做的事情
场方法是，他们会像这样树突，他们试图
网格化尝试尝试在树枝状结构的表面上实际放置网格
然后根据这种定律来移动网格点
说我有一个烂摊子，我在一定时间内移动了一定距离，
然后我再次求解这个方程，那基本上是没有希望的
基本上将这些问题限制在一个维度上
枝晶的过程当然是曲率随位置而变化
说喜平均曲率低平均曲率，所以它甚至更多
在某种意义上说，现在您必须应用边界条件
界面上的空间会有所不同，所以您不仅不知道位置
但是边界条件的实际值在很大程度上取决于形状
您也不知道这是一个非常困难的问题，让我给您一个
更相关的示例例如，两种聚合物或其他
通过连续的类似结构获得的其他材料，因此
看起来像海绵和水，真的是一个阶段的解决方案
内部和外部都有扩散的变换问题
相，外相是空心齿轮，所以你可以看到它，所以你又有了
扩散在这种情况下是化学扩散，这是一个浓度
界面处的浓度就像平均曲率一样
我们之前看到的温度是在平坦界面上的成分
由相图再次给出的是界面能和质量
界面上的平衡，表示浓度的跃迁乘以
速度将被流走的通量平衡，这就是
渐变和合成，再一次想象您有这个问题要解决
而且您必须虚拟地将这些复杂的接口网格化
不可能做到的是这些界面之一
光标的放大倍数很高，所以这只是其中的一小部分
大图对，那么您如何实际测量像这样的东西呢？
这几乎是不可能的，所以这是两个阶段之间的接口
所以我们可以做的是相场法
看起来像这样的结构，这就是为什么它变得如此强大
数值技术和相场法可以追溯到范德
华尔兹早在1800年代便是著名的地名
有了Landau Ginzburg和超导率场
这里的想法很简单，您有两个阶段，并且有一个订单参数
或成分取决于您要如何查看它，我将其称为“订单”
参数，您也可以将它们用作X的函数，并且您
具有分散的界面或成分或顺序参数的平滑变化
当您浏览界面时，如果考虑到这一点，这是一件很不错的事情
这就是现在如果您可以为该方程的演化写方程式的话
您不必在其他参数中跟踪此接口的位置的order参数
单词，您在空间中的所有位置上都具有等式
不必担心接口实际位于何处，从而避免了
明确跟踪接口，可以遵循这些拓扑复杂的问题
我将向您展示的结构以及随后的拓扑转换
很自然，我所说的编译过渡是什么，这很简单
彼此相邻的两个粒子的二维相场计算
随着时间的流逝，您可以看到此时两个粒子会聚在一起发生的情况
这是拓扑转换，因为您从球体到身体再到
如果您使用清晰的界面方法来执行此操作，那么您将拥有一个单一的主体
要做的是，您必须对此处描述每个网格的网格进行某些操作
当这些接触相场建模时，这些形状就自然地完成了
因此我们可以遵循这些拓扑转换，这就是为什么您可以这样做
形态和拓扑如此复杂的事物
这是我对非常简单的相场模型的看法，我将
为您派生两个，因为它们构成了每个充满信仰的基础
现在存在的模型，想法是您拥有一双免费的井
能量，所以这是一个自由能量密度，分别是alpha和beta两相，并且有一个
这两个之间的势垒高度，您在系统中有两个阶段alpha和
beta，您想计算该系统的总自由能
您可以通过在此盒子上积分此自由能密度来做到这一点，
每次当您成为Alpha时，您都会转到此处，并挑选出自由能
alpha的alpha值，在这种情况下，我将其放在一起的方式为零
在这里进行Beta测试，每次Beta测试时，您都会选择免费能源使用
您将整个事情整合了起来，我认为很明显
整个系统的积分将为零，因此
系统为零，但是这就是您要做的方式，基本上
系统中要与order参数的值一起转动的特定点是
在那个地方，将其放入自由能中，计算自由能，
那么这就是您要做的一种方式
非自由能量密度的非均匀系统，所以说你
希望让他们描述Alpha和Beta之间的界面
阶段就可以了，所以您要描述Alpha和Beta之间的接口
阶段，那么您将如何做，并希望它可以最大程度地减少能量消耗
该系统的您想最小化F并想描述一个接口
在两个阶段之间，因此您的操作方式非常简单，所以在
Beta阶段的成分或顺序参数是统一的，因此您可以坐在
很好，然后当您进入Alpha阶段时，您会跳过界面
跳过alpha阶段中的界面，现在您将拥有
统一到界面，然后坐在那里，该系统的能量仍然
零对，因为您在Beta阶段中的每个位置都在alpha中的每个位置
阶段，您在界面上有这种不连续的跳转，这就是我当时的情况
调用Sharp接口方法，这就是所有边界
我之前向您展示的温度成分等条件
您在Beta阶段有这个构图，这里是构图
如果您使用此功能，则alpha阶段将在alpha beta界面中为您提供帮助
再次描述，您必须遵循界面的演变
困难这里的问题之一是显而易见的事情之一是
自由能不仅是像这里的成分的函数
但这也是构图中的渐变的函数，我的意思是
就是说我将手指放在水晶上的某个特定点
晶体中的那一点我确定了阶次参数是什么，并且从
我可以得到密度自由端的大量自由能
这还不足以使系统的能量井然有序
为了获得系统的能量，我还必须知道
构图，这是一个奇怪的主意，因为我的意思是
如果我将手指放在晶体中的这一点，我不知道自由能
直到您告诉我成分或阶数参数中的梯度是多少
在那时，从物理上说意大利是什么在物理上告诉你为什么
可能是这样，假设您在这一点上有原子，并且存在一定范围
在那些原子上的相互作用一定的相互作用距离，所以这个原子
如果您对系统中的成分求平均，则系统统一时
在此互动距离范围内的帮助与此时相同
但是，如果您有一个黄色的渐变色，则您以相同的平均值得到一个
与您在统一系统中实际拥有的价值不同
在这里，因此，由于原子的相互作用范围有限，
系统知道这里的能量梯度会影响梯度
成分会影响系统的能量，因此
系统的能量取决于梯度，该论点告诉您
已经有非常重要的事情说，这些梯度效应随
原子的相互作用距离，因此它们的尺度效应很小
如果您只有最近的邻居互动，您将不会有很大的收获
能源系数镜头，我们在第二年第二年邻居
换句话说，您这样做，因此，如果您向系统添加梯度，则自由能
现在取决于梯度，这里的想法可以追溯到范德
瓦尔斯实际上对发生的事情有重要影响
界面，因此，如果您退回到我们之前所拥有的版本，则可以进行Beta版测试
阿尔法，这是系统的自由能量，现在是问题所在
让我们用这个新项最小化F，现在您遇到了问题，所以您有了
到这里的beta复制命令参数beta到这里以及什么
参数alpha到达此处，发生的情况在此处的接口处
这个术语，所以Heaviside阶跃函数的梯度是一个增量
运行，所以您有问题，所以系统说的一切都很好
我必须最小化这个术语，我要做好的第一件事是
你可以做的很好，我知道如何最小化这个术语，这没有布雷迪的权利，但是
您不能这样做，因为您必须在一侧设置beta，而在
其他，因此系统中不允许有零梯度，因此您可以达到
一个折衷方案是您拥有一个分散的界面并返回
在这里梯度为零的情况下，体能在这里赢得了，如果您去过
在这个互动距离内接近界面这是一个Gotama尺度
相互作用距离梯度开始变得重要起来，那是什么
所做的是，自由能随物料的散装自由能的增加而增加。
从这里到这里实际上越过了这个障碍，然后又回到了这里
因此它遍历了相图之间的不稳定区域
这里有两个主轴，所以当您从一个主轴转到另一个主轴时
W变得越来越重要，这就是为什么我把它放在这里，因为
这个W基本上与接口的属性有关
到这里，所以接口的属性和与epsilon有关
这与交互距离有关，并且将与W有关
这是这两者之间的障碍物的高度，因为您实际上
当您从一个地方到另一个地方时，请对该障碍进行采样，因此
这种能量的实际最小值与您的能量有些不同
通常会在标准演算问题中看到，所以我们正在寻找
在正常的K和正常的微积分问题中，我给了我一个
函数，我说找到最小值或最大值，这是一个经典的演算
问题，您只取一阶导数并将其设置为零，这是什么
我们感兴趣的不是中间位置的功能值
maxximum我们对函数本身感兴趣，换句话说，这棵树
安娜这个成分是距离或水参数的函数
使F最小的函数距离，因此我们对函数和
而不是功能的价值，所以您必须要做的是思考
为了弄清楚什么是最小值，您必须
该方程的函数导数，而不是正则导数，它是一个
变分导数函数导数取决于社区
您来自哪里，让我向您展示这是如何工作的，对不起，如果您
有一个自由能，看起来像这是一维，这是defi DX，所以
我们假设通过界面的一维轮廓，而您采用了
变分导数和我对观众中的数学家的道歉
这不是很严格，但是可以迅速为您提供正确的答案，因此，如果您选择
Delta的音符的变分导数，因此您采用了方向性
您可以将Delta穿过该积分的导数，并以此为基础进行运算
术语在这里它作用于导数，所以功能导数
F的变分导数，它只是F相对于v倍的部分
在这种情况下，Phi的变化有点像微分算子
这种方法就是为什么数学家不喜欢它的原因，等等。
那你就必须在这个导数词上做一遍又一遍
像微分运算符一样操作，所以您得到2 D Phi DX乘以变化量
内部变体2 Phi DX的东西就是这样，这就是我们
以前有过，所以你必须弄清楚该怎么做，如何
您是否很好地接受了导数的变化，您所做的就是
将Delta和D互换，因此您将其写为DX，然后将Delta移到
像这样的内部，现在您可以做的就是按零件集成
所以如果把导数丢到这里，就把它取走
基本上，当您按部分进行积分时，在这里的导数就可以
与零件相关的一些术语，如果您通过零件进行集成，并且
现在，因为您将导数放在这里，所以得到了二阶导数
如果您说该函数的值
导数为零，带边界，换句话说，我们没有任何自由
正负无穷大的曲面可以通过拉动获得变化
这个名词与此一起，你会得到这个括号乘以delta v等于
我在这里向您展示的这种方法将始终有效，它将始终为您提供
正确的答案无论是张量还是向量都无关紧要
总是得到正确的答案来解决这个问题
所以这东西是那个函数的变分导数
涉及F的前两个相对于Phi的梯度的导数，以及
自由能和成分渐变成分还可以，所以现在
你说好，我必须将第一个第一个变化设置为零，我们想额外
将其混合成一个最小或最大的Mises，所以您必须
将其设置为零，现在您将面临如何将该积分设置为
零，有两种发送方法是不可或缺的，其中一种是
选择变化并找到正确的方法，以便说设置该积分
为零，您当然可以做到这一点，但这取决于非常具体的
如果您想得到答案，则选择构图是位置的函数
通常，您只需将括号中的值设置为零，就可以得到
这就是所谓的变分导数或功能导数
这些在数学界也被称为欧拉车库方程
所以F关于Phi的一阶变分导数是
就是这个，所以现在我们在这里等于零，这告诉你
如果您有一个关于界面的构图简介的信息，
像这样的双壁自由能函数
事实证明，您可以获得封闭式解决方案
该方程式，因此，如果将其设置为零，则插入的值
5 f是Phi的函数，您有一个常微分方程
将Phi作为X的函数，您可以将其与lo集成，然后看得到
双曲正切解，这是所有相场方法的基础，因此
现在我们有一个Alpha和Beta之间的扩散接口
相是一个双曲正切，它是的宽度的长度比例
界面将变得极为重要，由
势垒高度的平方根乘以界面内部乘以
梯度能源联盟，就像我开始的那样，如果您
如果您有一个带有保守参数的系统，则必须放置
在守恒中，您使用拉格朗日乘数来做到这一点，我们重复
过程，现在您可以得到DFT Phi的功能导数的结果。
等于lambda，基本上现在是lambda，有时被称为广义
化学势等于右手边，所以如果您要描述
扩散，您说通量将由梯度的n倍给出，
化学势或应存在的n应在该时间出现梯度
变分导数的导数，您会看到这样写
很多文献，所以这就是通量的表达式，所以这
这里的第一项看起来像第二项中的经典扩散方程
这是对界面能浓度的修正
保守，你把它放到这里，所以这是一个保守的数量，我会
我们一直在使用保守的和非保守的定单参数，所以这
是一个保守的案例，所以它说通量是保守的，你把它放到这里
这就是所谓的连续性方程
这是组成所有面部场模型的两个基本方程之一
连续性方程基本上是变分的拉普拉斯算子
F关于精细的导数，这是关键，这里是物理
laplacian和laplacian来自其中之一梯度之一
来自守恒，另一个来自化学物质的梯度
势与前面的速度有关，所以每当您看到相场时
等式写成，您不仅可以查看，还可以判断它是否保守
这里是否有拉普拉斯人放在方括号前面，
所以这种方程式是由对
spinozzi的成分，这里的想法是您从某些材料中淬灭一种材料
高温至低温相分离和相分离
这个方程描述了过程，如果你写一个有限的，这个方程
实际上，您基本上可以找到与该方程式不同的解
倍前向欧拉空间有限差分，该等式需要约
在我的相变课程中，用25行MATLAB代码编写每个人的动力学知识
研究生班，他们都写了一个方程程序来解决这个问题
等式这几天做起来非常容易，我将向您展示一些
我们已经对具有1024立方的大型系统进行了处理
货币是非常大的计算，但我只想向您展示
如果您以系统的大约50％的体积分数开始，则会发生
进行紧身胸衣，这只是这些数据的一小部分
如果您仍然以其他方式进行操作，那将是完全不可能的
方法中还有一个重要的方程，这两个方程中的一个可能
另一个是alençon方程，它就是
与连续性方程相同，但有一个重要区别，即
重要的区别是它是非保守的，这是由以下因素引起的
艾伦（Allen）和汗（Khan）在有序毛衣转型方面的工作也来自
金斯伯格·朗道（Ginsburg Landau）理论在超导领域，所以这是
有原子的有序无序变换的图片
生活在子晶格和反相域边界上，所以如果这些可以
容易被磁性旋转自旋你会一直在磁性中看到这一点
材料文献中的这类Alencon方程完全相同
能量函数，您可以通过完全相同的变分导数来
确定系统的平衡状态，但由于它不守恒
在他们之后，不是一个伟大的，而不是一个拉普拉斯式的
什么也没有，基本上这是说order参数只是移动
取决于梯度和大量自由能，所以没有长距离
扩散，所以它只是能量的梯度，所以如果可以的话，让我给
你对它是如何工作的一个想法，所以这里的F是我开始的一个函数
在这里关闭系统，让我们看看是否可以正常运行，我开始
在这里，相对于Phi的梯度F为正，有一个
减号在这里，这表示Phi相对于时间的变化率
to time是负数，因此order参数沿该方向向下移动
因此，如果您放置一个
在此自由能表面上放置大理石，然后在此处放置大理石
向下滚动到井的底部，它可以向下滚动到
井底，因为它是非保守的，只是没有
不得不担心其余所有东西在结构中正在做什么
因为在本地我可以翻转旋转或可以翻转
组成并没有关系，不会改变自由能
系统中的其他任何地方都不同于保守的情况，因此
是alençon和con的两个基本的两个基本的人脸构建方程，如果
您进行仿真，您可以获得的结构略有不同
是艾伦·汗（Alan Khan），这是骗局，你可以看到他们看上去有点
与我们在这里所做的不同的是，我们选择了两相的50/50混合物
所以这意味着我们坐在这里，系统
不知道是朝那个方向滚动还是朝那个方向滚动
你是numerix很好，它会坐在那儿，你会变得与众不同
高斯曲率作为位置的函数的结构，这是
确实是一个完全不同的结构，所以现在您回到问题
我们有兴趣，所以您有这种枝晶生长到液体中
你有扩散界面能，温度会像
界面处释放的数百吨平均曲率潜热
通过温度梯度扩散的界面，您需要一个
在相场模型中对此的描述，看起来像这样，您
只需取热量的守恒方程和非守恒方程
界面能量，让我向您展示这两件事的工作原理
看起来像是经典的扩散方程，所以您要做的是
在与时间率相关的扩散方程式中添加源项
阶数参数P的变化是多项式，那么怎么办
这个方程起作用，所以这是X的五个函数，当你在这里时
假设界面正朝这个方向移动，您正坐在这里
pi是t2 Phi DT的函数，在这里它几乎为零
距离接口很远（如果此处为零），则不存在此术语
当你接近界面时，你会得到
假设您坐在这里，坐在界面旁的观察者正在移动
过去很明显，随着五个维迪安主义者的改变，五个人开始改变
这个学期打开，这会给你潜热，所以这个方程式在这里
当你离你很远的时候会给你扩散
您离接口很近，因此它捕获了潜热的释放
捕获了这个，所以您从这里得到的这个术语在哪里？
每当您想到的是epsilon时，这就是epsilon
面部能量，这是界面能量，这是顺序
参数项，这又是阶数参数中的一个多项式
取决于温度，所以这两个东西都有数字
回到这个模型再来做一些工作，并实际上将Langer固定在86
写下这些方程式，当我是一名博士后时，我去了研究所
因为理论物理学和吉姆躺在这里对我说我有这些
关于此固化模型的注意事项您是否会感兴趣
在看着他们时，我说这是一个错误，实际上是他身上最酷的事情
笔记实际上在他笔记的最后一页的最底部，他说
模型太非线性，太复杂而无法使用，当然您
当我是一名博士后时告诉我了
无论如何，发生的事情是计算机变得越来越强大，并且
结果这些东西实际上很有用，所以这里的想法让我们回到
在这里好吧，所以我的想法是我给你界面能量我给你
扩散系数我给你光，热和热导率
然后我进入这个相场模型，然后选择epsilon
已经知道该怎么做，知道如何连接界面
能量Tao和多项式，使得这些方程的解相关
那些方程式的解法，好吧，我告诉你这里的含义是
暗示，这是一个蕾妮·麦克格拉斯（Renee McGrath），他是比利时的超现实主义者
这实际上是坐在芝加哥艺术学院的画家，所以对于所有那些
谁还没有去过芝加哥，你应该去芝加哥艺术学院参观
实际上是最近，它实际上是该博物馆中排名第一的博物馆
世界，对于你们中的那些人来说，他们不会读法语，它说这不是烟斗，所以
这里的问题是，这与相场模型和
相场模型的问题在于，您可以获得类似
烟斗，但实际上它们不像烟斗，我想向您展示我
意思是说，所以他们是两个两个学派，这基本上是
这些相场模型在其中长大的一种方式反映了这一点。
凝固文学在我们女性中的一面在物理上看
冶金社区其中之一是这是一个计算引擎，我有点
向您展示了凝固的情况，另一个是
某种程度上与第一原理方法有关，这来自物理学
和物理冶金社区我想谈谈这两所学校
想给你一些问题的角度，这是什么
是我进入尸体掩埋在方法面孔中的地方，所以我
向您展示了如果您具有自由能函数，您将拥有
漫射界面，您具有特征长度标度，即
向您展示了类似epsilon的双曲正切函数
在有关epsilon W的相关界面能量上，epsilon感到惊讶，并且
广场，这是经典的船坞
Vanderwaal的流体理论如果您认为这是这里的问题
第一种原则方法是，如果您沿着大厅走到友善的地方
统计物理学家，您向他展示或听到了这种自由能函数，并且
您说得好，我想根据力原理计算W我想计算W
她会告诉你的是，没有自由能函数看起来没有
像这样，问题是这种自由能
自由能函数的这一部分位于Prieta的不稳定区域
换句话说，如果我提出一些构成材料
在这两个旋节线之间，它通常会旋转分解，这就是
我给那些照片展示的内容我刚刚给你显示的内容我淬火到50％，我结束了
拥有这种美丽的尖晶石结构，这意味着它是
无法测量自由能，因为一旦您安装了系统
假设您要尽快对系统进行分子动力学历史记录
你把那个系统放在一起，你将允许原子开始移动
而您想测量
熵你需要一起做的自由能将面临分离
会变成通常分解的东西，所以答案确实是
这就是自由能的样子，实际上，
统计力学感觉甚至可以从这里进入亚稳态
并越来越靠近这些面板，因为随着您越来越近
靠近这些照片，您正在使用的系统是什么
变得越来越不稳定，所以这里的问题是你需要知道
在不稳定区域之后，界面能取决于W，所以
很难或不可能首先获得这些自由能功能
原则我所知道的人们所做的最接近的事情是
Donnellan年轻的Lavoie做得很好，他们做了什么
是从散装中的散装开始，然后
以非常聪明的方式粗略地获得非常接近的效果，并试图
在此基础上修补一个不稳定的自由能函数
基本以某种方式缩放波动的想法，但这是一个
这是一个非常困难的问题，这是之前唯一要做的问题，因此
你看这个，你说好吧，我们这里有一个问题，我不能得到W
人们说的好吧，等等，我知道扩散的答案
系数界面能和界面的厚度，如果我
给你这三个参数我可以回到相场法
只是想知道如果我给你界面的能量和厚度
厚度和界面能的实验测量量
您可以去戴维·西蒙（David Simon）的实验室，然后测量界面的厚度
或者您确实要等一下接口的动力学计算，然后
测量界面的宽度，您可以做的很好
问题，所以我得到了这个，我得到了这个，我有两个方程和两个未知数，
我得到了我无法计算出第一个原理音乐的epsilon和W
然后你去，你会发现这里真正的问题是什么好吧好吧
因此，我将要确定我们的界面厚度并进行
计算我必须解决这个弥散界面，这意味着
我必须在此扩散界面中的计算中放置网格点
必须在该混淆界面中至少放置6到10个网格点
为了解决好，所以让我们看看它的含义
所以接口选择一个数字有多厚
解剖学好吧，感谢纳米，这是一个100微米的比例尺，所以您需要
100微米到一纳米的范围，这是我必须输入的十到五分之一
其中的10个匹配点，因此意味着10到6
做这个的3d盒子，这是从10到6的立方，但我想
假设是10乘10，我需要一个10到7的网格
可爱，所以朗格可能是对的，你不能
如果您正在执行纳米级结构，则使用此方法可以执行任何操作
稍微简单一点，就可以减少一百倍
您可能可以使用真实的界面厚度来摆脱它，但是在
总的来说你做不到，这实际上是Facebook肺部的问题，那就是
实际上，基本模型存在问题，有人说，如果
我们发现如果我们从基础场模型开始，
很高兴弄清楚如何进行精确的干扰计算，所以在这里
我以前给你的方程式，我们正处于这个难题中
您如何选择这些参数来重现实际问题，我们知道
选择真正的界面厚度是没有希望的
可能想尝试做的就是说我要去做的是
选择参数，使界面的厚度乘以
曲率远小于1我的意思是，所以换句话说
而不是根据实际界面的厚度缩放网格
在此根据对象的曲率半径缩放网格间距
这将是一件大事，因为现在我在这里，如果曲率半径是
是10微米我的规模我的网格现在是微米级的，而不是
纳米级的数量，这就是大多数人在计算上所做的工作
易处理，所以这里的想法是看方程的极限
界面厚度乘以平均曲率远小于1
希望大约是0.1左右，并且您想看一下，所以现在这是一个参数，
您必须要完成的脸部场方程的渐近展开式
担心它
如果您正确地进行数学渐近，那很有趣，我不是
可以关闭Skype，所以如果这样做，您基本上可以
计算这里发生的事情，这是人们现在做得比这更好的，但是
但并不太好，因此这是非常典型的3D计算
使用这种思想进行枝晶化，其中您编写的方程式要比厚度的厚度大
界面乘以平均曲率远小于1
好的
因此，通过Matteson教授的扩展，有两种方法可以做到这一点：
他们是说很好，我想让这个界面的厚度非常小，
您可以通过将epsilon设置为0来实现，如果您将epsilon设置为0，则可以实现
希望这是有限的，您让W同时达到无穷大，所以当
您看一下文学作品，会发现两种渐近展开式
与使接口的宽度变为0相关联，结果是
在计算上不是很有帮助，但它为您提供了它，仍然为您提供了帮助
使您可以将这些方程式连接到尖锐的界面方程式
另一个在计算上更有用，在这里您只说单位
在平均曲率的尺度上，冰的厚度很小，超过平均水平
曲率好吧，让我们回到这个方程，所以这里有一个模型
相互扩散，所以您现在有一个枝晶或任何人，我们可以说
文字分解过程，其中有液体和固体
液体中的扩散系数比扩散系数高10到五分之一
固体中的扩散系数，所以您从液体变为固体
与您所解决的知名度相比，扩散系数有了很大的提高
扩散方程，然后在液体和固体中扩散
界面上的质量平衡，表示速度乘以
如果界面被浓度梯度扩散掉，则材料被拒绝
您的注意力集中在平坦的界面时间
界面能乘以我的曲率，然后扩散
方程，所以这又是一个树枝状晶体，但如果
您正在做沉淀物成长为过饱和溶液，这将是
您将使用Evolution电影的模型它是相同类型的
交易，我想指出的关键是，这就是你拥有的
扩散系数发生了巨大变化，所以您会怎么做呢？
整个界面的扩散系数从DL到D s
对，因此您很想做的事情就是说好
我们只是让扩散系数随着阶跃参数而变化
像这样的界面，您会一直看到它
也是如此，所以您开始时将其设为0和1，而您要做的是
您将利用系统的自由能，现在是
这些液体的自由能和固体的自由能
参数pi +1-很好，所以如果您在液体中，另一个参数为零
如果您处于固体中，并且获得订单，您将获得液体的自由能
参数为1，这消失了，您得到的溶剂的自由能相同
当您在液体中时，扩散系数
在解决该特定系数方面打败了合作社
本身，这似乎是很自然的事情，并且注意到它在说什么
就是说在这里的界面中，散装物料的自由能
界面是固体和固体之间的某种线性组合
液体，您会发现您已经开始摆脱困境
真的是在这里，你在说，好吧，这是一个
现在的计算方法与
真实界面发生的物理现象，因为我只是在做一个
自由能的线性组合体相描述了界面
对，所以它现在是一种计算方法，而不是发生了什么
现实中的扩散系数是正确的，所以说
界面的扩散系数是介于
液体和固体，这可能是合理的，但说的是
通过界面的特定种类的变化，所以这种类型的
假设结果对当时的情况产生了很大的影响
界面，稍后我将向您展示，使用此方法，吉姆·沃伦（Jim Warren）
比尔·贝廷格（Bill Bettinger）进行了合金的第一个充满信心的计算之一
这样树突中的强化，所以这是固体的液体
显然，您在这里看到的是成分是
位置上升了低成分成分蓝色很高您可以看到
溶质在界面处被排斥，因为内部的溶解度
树枝状组织比外面少，树枝中的成分不均匀
枝晶随位置变化的函数恰恰是如果您观察任何微观
树状凝固过程的结构您可以精确地看到这一点
看到这些条纹沿着中间向下流动，叫做氯，你看到了所有
这些东西被隔离在这些小东西之间的第二个之间
二级警报与您看到的完全一样，因此看起来非常好，并且这项业务
如果您看过ACTA这篇论文，它有500篇被引用的内容，是的，好的，好的
所以现在考虑一下管道，这个计算不是定量的
纠正它看起来像树枝状，闻起来像树枝状，但不是
晚饭，实际上我认为乔丹·约翰·沃伦会承认这不是
与正确的协调，因此您得到的固体偏析量
这是不正确的，在这里得到的溶质偏析量不是
是正确的，所以这是相场方法的挑战，
这是一个非常微妙的问题
不知道他们何时使用这种模型是合理的
假设您如何在通过过程中从固体插值到液体
界面是给您虚假术语以及实际上是如何进行插值的
从一个人到另一个人时的界面
在人脸构建模型中仍然是一个悬而未决的问题，但外卖消息是
希望您知道的是，每当看到面部生成方程式出现时
这可能是铁电薄膜这可能是磁性材料
具有跨接口的结构，您可以进行插值
跨界面，您将在依赖于界面的界面上获得物理学
这些插值函数有时可能会是一个问题，在这种情况下
一个特别的问题是，如果采用我刚才所说的那些方程式，将会发生什么
显示了您，并且您在此Delta参数Delta中进行了这些渐近展开
其中L除以R远小于1，这是您的等式
希望速度乘以材料被剔除的速度
浓度梯度，您得到的是这个方程式和这个
等式说，你有一个而不是浓度的跳跃，你有一个
参数乘以界面厚度乘以H，那么那是什么
这实际上是一个非常简单的物理解释，所以如果您用长矛思考
关于这里的球体和这里的球体的各个区域
因此，随着球体的增长，如果
厚的界面以及与界面相关的许多材料
增长，您将不得不在界面中喂入材料，这很糟
从本应散装的东西中得到的，所以您会得到一个与此相关的术语
到厚度乘以扩散处的平均曲率
侧面而不是大量扩散，这个界面是如此的厚，你得到
表面扩散，并且它们是完全正确的，如果您让
界面L的厚度为零，这些项消失了
因此，如果您使用实际的界面尺寸，则这些术语不会出现
但是您无法获得这些虚假的字词，所以-
摆脱这些术语，您必须做一些非常非常聪明，非常非常重要的事情
非直觉和合理的复杂性，这可以追溯到一些工作，这些
人们要摆脱这些方程式摆脱这些方程式
大卫提出了四重各向异性的问题，那就是事实证明
这些方程式不是问题，但事实证明这是一个问题
在面对法律的早期阶段发生了什么，您会注意到
该枝晶的取向不沿着网格的XY方向还可以
因此，人们在做的第一阶段现场模型中就有一家公司
那是妈妈，我不是，那是一家销售基本域代码的公司
可以买到的东西，当他们第一次与他的toga一起出现时，
树突，当它们沿着网格生长时，你会得到漂亮的树突
前妻是按照网格的，因为这里发生的是
网格的各向异性会在网格中引入足够的各向异性
界面能量使您获得美丽的树枝状晶体，并沿着这些晶体生长
方向，一旦他们完善了网格，我想要第二件事
消失了，所以吉姆和比尔非常了解
为什么相对于计算框以奇怪的角度倾斜，所以他们
没有这个问题，但是他们有一个更微妙的问题，那就是
基本上是因为他们没有做数学渐近展开式
他们的计算，所以这里的想法，我想我会得出结论，我想我会
这条线是什么厚度允许您做所有
换句话说，这奇妙的东西拓扑转换非常复杂
您可以非常轻松地跟随它们的形态随之而来
扩散方程中的额外项你必须要注意的另一种情况
出来，这是一个普遍的效果，他们总是会在那里的，谢谢
非常高兴能够回答更多问题，所以为什么这么难
是的，所以主要的问题是我没有
问题是，即使在欧拉方程中，这些方程也是高度非线性的
非线性的车库方程，所以关键是要找到加油机的解决方案
车库方程，所以如果你看这个方程，如果你发现T像
M四分之一四分之一的Phi的四阶导数这仅仅是一个标准
谐波线性常数系数就可以了，那就没问题了
问题是这个词是这个复杂词的派生词
多项式函数，所以它是非线性的，并且是非线性的
位于它的内部，并由l平方Y进行运算，因此非线性
正如我向您展示的那样，这使他们难以解决您可以在一个维度上做到这一点
在这里获取接口，所以在一个维度上，这就是这个
在最简单的情况下，多项式看起来像导数，您可以得到一个
解决方案，但总的来说，您无法求解方程式，因此您可以将其写为
您所指出的是一个很好的选择，两者之间有很强的联系
回到自由能源的方式，是的，有一个非常强大的
这个与这个与和与演化方程之间的联系以及什么
这意味着所有这些方程式都会降低
系统，因此您拥有这个通用的能源框架，可让您
写他们，所以如果你在做磁性，你可以增加很多的磁能，如果
你在做静电你可以在做静电的时候加静电
所有的弹性只会增加更多，因此很容易将其概括化，但是
这就是为什么它如此困难以至于只是非线性而最终导致
凝固的情况他们是两个耦合的非线性的，这是这个，这是这个
是一个很好的问题，是的，因为好吧，所以，如果我看一下这个东西，
很好的友善功能是我只是使用5平方1减去5平方
对对对，一般来说，您将拥有这些对数项，
实际上，如果您正在制作模型的真实面孔，则可以将对数
对数项的问题在于它使numerix大大增加了
更难，它使numerix变得困难得多的原因是
例如，如果您有日志X，那么如果您有免费功能，则如下所示
像这样的权利，如果你有这就是你的，这是另外加上一些其他条款
想一想当Y趋于零时发散权会发生什么
这不会转移，而是化学势
这是1的一阶导数，还好，所以您的通话条件像1
超过5，如果您查看自由能函数，这就是为什么当您
绘制自由能函数，它实际上是斜率，您可以拟合下降的中位数
像这样的无穷大1到无穷大的斜率
无穷大是Phi趋于0使得这些方程式的隐式数值方法
非常困难，这是一个尚未解决的问题，尽管如此，人们
会一直说，您只写占主导地位的PD，尤其是如果
他们对隐性非常熟悉的持续机制的选民
基本上很容易进行时间步进的方法，说得很好
采取这些面场方程，并采取我最喜欢的有限元代码，写一个
隐式求解器，一旦您放入此东西，它就不会起作用，并且
这是一个未解决的问题，是一个未解决的问题，所以现实的自由能
如果您想连接热力学数据库，则绝对可以正常运行
您必须处理这些问题，而您只是希望
系统中的浓度
我们在参数合并的原子尺度上所做的工作
随着时间的变化，我们认为物理机制是
职位空缺大部分时间都在沉淀中，因为
原子相互作用正在消失，最近的邻居控制
是的是的，不，我认为这是完全不同的，不，那是对的
真正有趣的想法之一是在合并期间
你要做的就是为那些不知道你花两个时间的人准备两个粒子
粒子将它们放在一起，然后思考发生的事情
知道这里有扩散接口
在这里，您开始将一个粒子带到一起
它开始融合在一起，这一点最终消失了
两个粒子合并，所以这是作为X的函数的阶数参数
因此，当您将这两个粒子靠近时，这就是聚结区域
在一起，所以当粒子聚结时您在这里做什么
在1到0之间的区域内采样自由能，所以您在
在这些区域中，所以当这些粒子合并在一起时，您正在做的是
在这个不稳定的区域中采样自由能，因此原则上
您可以使用这些方程式对合并建模，实际上可以选择
正确的W和epsilon来描述合并过程的重叠
这些浓度曲线，因此系统中局部的自由能很高
与当它们将两个粒子连接在一起的情况相比，是的，是的，我
这样思考，因此原则上您可以实际上可以对其进行仔细建模
是的
是的，是的，我是说对的，我认为联系
机场具有人们测量的这些宏观变量，因此如果
我没有这些价值观我有点沉迷于这只鹦鹉
我要说的是那个真正的样子，是不是
人们所做的与实际获得一些想法最接近的事情
看起来像是聚合物系统，我们就像这些大长链
结构，但这是一个主要的机制，是对的，并且
他们是关键，在这种情况下，关键是要建立一个模型，
准确反映真实系统中的界面，如果
您以正确的方式选择参数