各位同學 我們第二個部分接著要來介紹
這個機器手臂順向運動學它的速度關係式
然後來推導這個所謂的Jacobian矩陣
那我們來看一下什麼是順向運動學它的速度關係
那我們從前面知道順向運動學就是已知關節的角度
那來求解呢 手端的位置以及方位
那也就是下面這個式子所示
那順向運動學的速度關係式呢
就是我們要去找出手端速度與角速度以及關節角速度
它們的關係式
也就是下面這個式子
那我們可以由上面順向運動學的關係式
對時間加以微分來求出
所以順向運動學的關係式
就是將順向運動學對時間微分求得
假設我們現在有一個順向運動學的式子
那我們對時間加以微分
那我們可以得到旁邊這個式子
那根據連鎖法則 那我們可以先對f涵數呢
對θ來做偏微 再乘以我們θ對時間的微分
那也就是這個式子
那在這個式子裡面的第一個項
就是那個J 就是我們所謂的Jacobian矩陣
所以Jacobian矩陣
也就是我們順向運動學的f這個涵數呢
對角度的一個偏微
那這個Jacobian矩陣呢
我們可以用來做什麼呢
就是說我們如果知道關節的角度速度
透過這個Jacobian矩陣 我們可以求到手端它的速度
我們舉一個例子來加以說明
那首先呢 假設我們有一個二桿的機械臂
那這個式子是我們剛剛前面推導出來的
順向運動學的關係式
那我們加這個式子對時間加以微分
可以得到旁邊這個式子
那在這個式子裡面呢
我們將它重新整理
那把θ dot 1跟θ dot 2的向量提出來
那就可以到找出這個Jacobian矩陣
所以呢 由前面這個式子呢
我們可以知道它的Jacobian矩陣
就是我們現在框起來的這一個部份
因此我們可以把Jacobian矩陣
將原來的這個順向運動學的式子對θ1跟θ2加以偏微
來找出下面的這一個式子
接著呢 我們要來介紹那這個Jacobian矩陣
在我們順向運動學的速度關係式裡面要如何來應用
那我們同樣利用一個二桿的機械臂來加以說明
那假設我們現在有一個平面二桿的機械臂
那它的桿長呢 分別是10跟8
那關節的角度呢 一開始都是30
那這時候我們假設要來求解它的手端速度
那我們要怎麼來求呢
那這時候我們就可以利用Jacobian矩陣來加以求解
那假設它的關節角速度分別為2跟3
那我們首先先算出目前這個角度它的Jacobian矩陣
把30度代入 可以得到下面這個矩陣
那再利用前面的關係式
我們可以得到手端的速度呢
會等於這個Jacobian矩陣去乘上關節的角速度的向量
那在這個地方呢
我們可以把Jacobian矩陣分成兩個向量
分別是r1跟r2來看
那我們可以把它展開 得到下面這個式子
接著呢 我們可以來看那這個式子裡面
跟它的手臂的關節有什麼關係
好 我們由前面已經求出這個Jacobian矩陣
那我們將這個Jacobian矩陣呢
分成兩個向量 分別是r1 r2
那將Jacobian矩陣與關節角速度的向量加以相乘之後
可以得到這個式子
那這個式子告訴我們什麼物理意義呢
我們可以由這個圖來看
首先這邊你可以看到它這兩個向量呢
r1代表的是原點到手端它的這個向量
那r2呢 代表的呢 是第二個關節到手端的這個向量
那q1的dot呢 指的是關節一的角速度
q2 dot呢 代表的是關節二它的角速度
所以我們把這個式子重新加以整理
把第一式呢 先減掉一個r2
那我們可以得到這個向量r1減r2這個向量呢
代表的是原點到第二個關節的這個向量
那在這個式子裡面的第二項呢
r2呢 乘以q1 dot加q2 dot這代表的是什麼意思呢
就是我們第二個關節它真實相對地面的一個角速度
所以由這個式子裡面我們可以得到第一項
實際上代表的是關節二那個點它的切線速度
也就是在圖中它所表示的這個方向
那第二項代表的是假設關節二不動
它所產生的一個切線速度
也就是圖上它所畫出來的箭頭方向
那這兩個速度相加之後
就可以得到我們手端真正的速度
也就是第三個式子裡面說明的
這個v01指的是第二個關節它的切線速度
V12呢 指的是手端相對第二個關節它切線速度
兩個相加就可以得到我們手端最終的一個速度
好 各位同學我們在第二個部份裡面呢
我們介紹了兩個例子
第一個是要如何利用順向運動學
來求解這個Jacobian矩陣
那第二個例子呢
是介紹如何利用Jacobian矩陣
由關節角速度去求解手端的速度
那我們接下來呢
要介紹如何利用Jacobian矩陣來求解反向運動學
好 那我們接著看第三部份