欢迎在第二周讲课2 我们对复杂类型的课程分析
在这个讲座中，我们将研究序列 和复数的限制
这些都是必要的主题 我们要了解朱莉娅的集合和
Mandelbrot设定让我们开始吧 考虑复数的序列
例如以下序列 复数这是 每 本 上市
周一1/2 1/3 1/4 1/5 等等，这 是 复杂的数字序列什么
随着这些数字的进一步发展而发生 如果你去的话，进一步向右走
图表这些我们可以绘制复杂的图表 平面这么说的一个是这里 一半是 这里和三分之一在这里1/4 1/5所以这些
积分似乎在附近积聚 来源让我们来看另一个例子 II
超过2 我 超过 2我超过4 等等 这些数字在哪里好好盯着看
在这里我/牙齿在这里i / 3我超过 4 i / 5 所以这些点要去 上
想象轴但它们似乎又是 得到非常接近 起源
我们越走越向右 顺序让我们看看另一个
序列I减去 1/2减去I超过3和 所以我再说这一点是正确的 这里 减去1/2似乎在这里
减去我超过3 在这里1/4 我超过5 减去1/6减去 iOS 7所以这些点
原点周围有一种螺旋形 但是 他们又越来越近了
我们说这三个 原点 序列非正式地 汇聚到 0我们
假设序列SN收敛到极限s 如果序列 均匀
Angele躺在任何如此小的磁盘中 以s为中心，这意味着无论如何 迪斯科在原点周围画得多么小
在这个例子中， 例如 最终 每一个都远远不够
我的序列的 元素 将是 在这个小磁盘的某个地方，如果我
我只是选择一个较小的 磁盘 必须等待一点点 长 ，
最终将找到序列 在那个磁盘里面你怎么做到这一点
在数学上精确我们不是真的 需要有 一个数学上精确的
概念，但我想告诉你如何 使数学在数学上精确
你感兴趣所以这里是实际的 定义复杂 的序列SN
数字收敛于另一个复杂的数字 如果数量为每小量 这 是
要描述那半径 我们谈论的小盘
有一个索引，所以有一个点 s 和minus s的顺序
小于的Epsilon究竟什么是 S N 减去s 与n的距离 是 多少
所以，如果我要画一幅画 假设s 不是必然的起源
什么假设这是我的极限，我画画 我的半径epsilon圈
点，则s 是 此 中心 圆圈，如果我想要SN 减去s
低于epsilon，这意味着SN必须 在这个圆圈内， 所以这个定义
简单地在数学上精确到底是什么 我们想成为1 SN
半径epsilon的磁盘足够远 在这种情况下我们也沿着这个 顺序
使用符号限制李M限制 SN等于X ，我们把n放到
无穷 在该限制标志下方指示
我们想要达到的目的是什么 无穷大这里是一个例子
从上一页 的 限制为n n等于 1的 无穷大 等于
0我们如何表明 这一点 我们必须 表明，
限制为零 ，这意味着无论如何 小半径的epsilon 圆盘
鞋子的起源 最终是我的 顺序将在其中，所以我
最终 必须表明 1 超过n减去0 你真的不需要
写下来，但我只是 去 写 下来 表示完整性较少
比epsilon 给定的 epsilon所以我们 会选择一些数字Epsilon
顺便说一下， 这个epsilon又是一个 那些希腊符号和 数学家经常使用希腊语
符号epsilon 表示真的 如果你真的想 少
混淆数学家使epsilon a 大数字，这是什么意思 1
N超过Epsilon这个 实际上简单地简化为1到n
不到Epsilon ，我可以解决这个问题 n的值是这个的等式
当n大于时，为真 因为我给定的epsilon I，所以在Epsilon上 1
在epsilon上计算1 然后 我就是 选择一个索引n 比 这 更大
在 Epsilon上面有一个，我保证 整个序列的索引会
位于此磁盘内
另一个例子是 亮片 一个 N到某个功率P峰值可以
什么它可以是 两个 三四呢 P可能是一半，例如P. 等于我们的两个 亮片
看着1比 1平方1 超过2平方1超过3平方等
这样一个1/4 1/9的 序列片段 收敛到0但也是当P 相等时
提高一个是什么意思 号到 功率1/2就意味着取
这个数字的 平方根 如此 在这种情况下，序列将是1
1的平方根超过2的平方根 1 平方根3以上 等等
那个序列 也会变成 0而 我们 可以显示 非常相似 ，我们怎么样
显示 N上 的 序列1 收敛 对于 任何功率 PE ，通常为0
那个力量和一个序列将会发生 0它会把它不再去 0
当 P 非常小时， 它会变慢 数字， 当P是a时 它会更快
此外，我还可以放一个 我可以 在分子中保持不变 将整个序列乘以a
复杂的数字，它仍然会去 0因为任何事情都是0我可以
将它乘以2但它只需要两次 只要到 0，它仍然会变为0
另一个例子是序列 数字Q到幂为n ，其中 Q 是a
数字介于 0 和1 之间 ，例如if Q 等于 让我们说1/3然后是
我们要看的序列是1/3 2 到1 1/3的平方，即1/9
1/3立方仅1比27 1/3到 第四，这是一个超过81 等等
只要Q是小于1的数字 每当你把它提高到更高的时候
数字会获得更高的功率 越来越小，越来越小
如果Q是，他们再次接近零 第一个自我，你会提高一个
对权力而言，这将是不断的 等于一个不会 转换为
零，如果他比 这些 大 一个 数字会爆炸，绝对不会
如果是，则更普遍地收敛到零 而不是零 之间 的实数 Q. 我们在这里插入一个复数
其长度小于1 将从 还是收敛于零，因此 让我们来看看
这是为什么会发生这种情况的图片 假设这里是 半径为 1 的圆
如果我是 Square ，我的 Z 就是一些数字 这个数字Z发生的事情是我们的方格 到原点的距离
这个数字因为距离较小 从起源不到1开始
和我们 加倍的争论可能是Z. 平方将 在这里Z立方 或
我们的争论甚至是三倍 更接近原点 Z到4号 左右
所以这些 数字会有所不同 螺旋在原点越来越近
并且更接近 原点因为 离原点的 距离刚刚开始
0另一个 例子，假设我们是 看着10的结束根
所以序列开始于存在 10的第一个根是第一个
10的根，那是第二根的10 10是10 的平方根 ，所以那是 3点 然后是立方根
10这是多维数据集所在的数字 等于10，因此介于 2 和3 之间
然后是10 的 第4个根，所以这是一个 数字， 以便 当我们提高权力
4等于10你可以 看到这些 数字 变得越来越 小和
他们实际上接近1号 足够大 的N 值 ， 最后 是
n的根，这是 一个有趣的 顺序，在这里，我们不太 确定是什么 真的发生了让我们看看是什么
发生在n等于1的情况 下 第一根
一个所以它只是一个看跌n 等于 我们得到 两个 平方根
知道那是一点点 我们得到三个立方根
四个第五根第四根 五是因为不太清楚 数字表示根正在接受或 正在接受
越来越大但 也越来越大 这些数字和更大的根源
这需要更多的思考， 但需要一个 可以证明该序列收敛
到1
这里有一些规则和事实 限制一个事实是收敛 序列是有界的，记得它是什么
意味着有界意味着 序列包含在一些大 磁盘中
围绕起源，为什么这是真的 这里是我们的坐标 轴和
假设我们有一个序列 收敛于某些意义上的点
任何磁盘都会选择这一点 最终是整个剩下的
序列将位于磁盘内 半径s所以只有少数元素
序列可以 在磁盘 之外 半径s， 最后只有很多 这是最大的一个，你可以
只需选择一个 足够 大的磁盘 最后包含所有这些
元素加上围绕点的磁盘 然后那个磁盘向我们展示了那个
序列是有限的另一个事实是 如果你有两个收敛序列之一
称为SN ，它收敛于s和one 叫T， 假设限制是T然后我
可以将这两个序列添加到每个序列 其他和总和收敛到S Plus T.
让我们来看一个我们 知道的例子 SN 等于 1 在n个那么
序列收敛到零，我们也知道 如果TN等于 对 N 说1 3
那么T n 现在 也收敛到 零 根据这个事实，我可以添加这些
两件事 我可以看看SN加TN 这是1比n加 1 加 3的功率
n 和它们在一起仍然会收敛 另一个事实是SN乘以TN
会收敛到 时间T所以我可以 已经乘以这两个 序列或
任何其他两个收敛序列 他们的产品将收敛于
产品的限制特别是我 可以将收敛序列乘以 一些数字和新序列将
收敛到旧的极限时间 我 也形成两个序列的商
它会收敛于 商的商 显然我不能分开限制
零， 所以 我不能这样做 的例子 我们看着 三分之一以上的N.
没有好处它会收敛到零等等 分母中的零不是 什么
我们想要的就是这里我们 需要的 另一个收敛的 例子
以运行为例，让我们 应用这些 我们刚刚学到并找到一些事实
限制让我们看看序列n结束 n加一个井本身就不是一个 收敛序列我只 得到扬声器 1
2 3 4 5 序列n加1也得到 越来越大，所以看着 它
这没用， 但我们可以拉 N. 分子和分母之外 如果我们这样做 ，分子就变成了
1， 分母变为1加1 超过N， 我们 突然 发现 我们自己的恒定序列
明显收敛的分子 为1，因为 它是恒定的 和
分母的序列为1 我们知道它会收敛到0
数字 1是一个常数 收敛到 1的 序列
分母收敛到1 1除以 1是一旦整个序列收敛
为1，所以我们知道这个分母 收敛到1，分子是常数 所以收敛到1所以限制了
商等于 1这是 另一个 再举一个例子， 如果我们看一下 它
原始形式3n平方加5分 通过I n 平方加2i n减去1它
很难看出限制是什么，因为 分子和分母 似乎
走向无限，他们没有界限 他们不是有趣的单词和序列
转换序列是有界的，但如果 我把它 从 分子中拉出N平方
分母我需要正确地做到这一点 你需要把它从 每个术语中 拉出来
分子在 n上变为3 加5 平方，分母成为 我
加2我除以n 它只有 1 in 在这里， 所以 当你只是拉一个教派 和 在这里减去1 比N平方
现在我知道1平方以上 会聚到 0所以 之五ñ平方收敛于 零 ，因此
整个分子汇聚了三个 在分母里， 我让我超过N. 平方到零 我必须在n
归零，所以 分母 去我，所以整个限制是 三 我不是我们写的复杂
我们不喜欢的数字有想象力 分母中的数字是这样的
等于负3i 所以限制了 序列是负3i 这里是另一个
示例n 再次 平方加n加一 分子和分母都去了
无限，所以我们试图拉出一个N by pod one n 我还 剩下 一个 n
分子和分母是1 加 N超过1，因此分母表现出来
真的很好，它收敛到1所以 分母可以被视为差不多
但是， 对于 足够 大 的末端， 等于 1 分子变得越来越大
越来越大 ，如果我分开 一个 真的很大数字的数字 差不多 1个真正的大数字没有
改变了很多 所以这个序列不受限制
只是越来越大了 分子比简单强
分母序列不受限制 所以它不会因我们的事实而收敛
收敛序列是有限的 因为这个不受限制所以不能
收敛，最后让我们看看这个 例子3n加5除以n平方
加上2 YN减1再次 让我们把它 ñ 从分子和分子中取出 分母然后分子变成3
超过n加5超过N平方 分母变为I加2i而 不是n 在分子中 减去 N 超过 N平方
在 N平方上 ， n 超过0到5 在N分数的分母1中为0
变为0到我在 N变为0 I是 恒定等于我，所以 分母 到I分子2 0 0除以I是0
所以最后一个序列收敛到0 n走向无限
现在让我们考虑以下内容 顺序到M除以n所以我
在第一动力只是 我除以 一个双胞胎等于两个我们减去
1/2因为 我的平方 在n时 为负 1 等于 3我们得到的是立方体
减去我超过3为N等于 4我们得到 我 到第四为1以上4 等
第四，所以我们想 我们的应用 事实， 但我的力量n倍
序列1超过序列 1 我们知道0到了序列我
n次幂只是啤酒花约1 我 减去1减I 1减去1减去我
它周围的啤酒花从不接近 一个 点总是在不同的地方
即使顺序也不会收敛 它是有界的，它永远不会停留在一个
只有一点的小盘因为 你继续前进 ， 它会在外面 该磁盘 的 那么我们如何看待这个
产品是我们的序列 因为你，印象会收敛到零
知道我们从I开始，我们减去1/2 减去我超过 3 1/4等等
序列似乎在朝着自己的方向发展 零，所以似乎收敛到 零但是
我们如何表明这是一个额外的 事实是一系列 复数
当且仅当时，收敛到0 绝对值序列收敛于 0， 如果你可以采取绝对值
在这里，我们是金色的 我对N超过N的绝对值
我到了N desist 1所以它变成了 序列1超过N，我们知道
收敛到0 ，这是展示的一种方式 该序列收敛 于0 这
但是只能用于收敛到0 应用程序序列的值
收敛不足以收敛 序列到其他一些数字吧
只适用于0的另一个事实是 复数序列收敛于
如果它们是真实的部分，那就是限制 序列收敛
极限和真实的部分 虚部融合到想象中 部分限制所以真正的部分需要
收敛和想象的部分需要 削减方法，这使整体
序列汇聚到这里真的是另一个 你可能听说过这个事实 在微积分中，它被称为挤压
定理 假设你有三个 序列是n
SN和TN 并假设他们都很好 一字排开所以RN 始终是一个在
bottom小于或等于s 和 这是中间的那个，少了
大于或等于 T 和一个向 如果你画一个数字线就对了
我们会有N然后是SN然后 TN现在 假设两者 都是N 和T
收敛好，所以我们的收敛到一些 极限和TN收敛到某个极限和
想这是假设相同数量 他们都收敛到限制L 以及 随后
陷入困境的 SN 别无选择 但也要收敛到L
什么挤压定理然后说 这里是最后的事实 排序的
相当于一个运行的序列 墙上假设你有一个序列
多数民众赞成界和单调 有界 意味着它不会在任何地方消失
单调意味着它不断得到 更大 或它继续 变小 但是
你可以选择这 两个中的 一个 是关于一个实数的序列所以a
不断变大的序列但是 你不能超越它必须
在积累的某个地方积累 在那堵墙上， 也许你就是那堵墙 太大也不会 积累
在墙前的某个地方，它是 确定你无法跑到无限远
但它必须收敛有界 单调的实数序列
收敛
所以让我们将这两个事实应用于 顺序我到 最后我已经
告诉你如何 应用 我 的第一个事实 到最后结束， 绝对值
那是1，结果是0和 所以第一个定理告诉我们，我
N over N也必须到0 但现在 让我们来看看实部和虚部
我对N 的真实部分是什么？ N依赖于我对N的记忆是什么
这个我当n等于1时 减去1 当n 等于 2时其减去I 1，n是 等于3，它的100等于4 和
我再减去1减I 1等等 所以实部可以 是0 1或-1
在i - i情况下 ，实部是0 它是1 或减 1 而另外两个
案件， 你知道 我把它分开了 当为1分钟减去1时为0
你可以检查， 同样的 虚部它是1或-1
或0， 我写下来就在这里 等等 因此，真实的部分 总是如此
介于-1和1之间，然后是n 因为两者都是虚构的 超过N和n减去1 收敛到0
挤压定理则意味着 真实的部分和虚部
收敛到0因此迫使我去 N超过N收敛到 0我们也需要
谈谈复杂的局限性 功能我们说复杂的价值 函数f有一个极限L是
如果f的值为0，则接近0 在l SZ附近变为0， 这意味着是否
这是一个点出和 f 的值 必须在L附近，这意味着 如果我画一个
小盘围绕出 的盘 半径epsilon然后最终所有的F
如果是Z ， 则 Z值在该 盘中 值足够接近Z 0所以我可以
找到C 0 周围的另一张光盘 如果我的Z值来自 该 光盘内
并且FFC值将在磁盘中 半径小量的，所以如果你想
准确地说你会说你知道 对于这个磁盘的每个epsilon
在这个限制附近存在一个三角洲 这是 C周围磁盘 的大小
零，这样每当Z减去e0时 小于三角洲的疾病都在 Delta T的C减去L的 F 更小
比 Epsilon 当然，你知道的Fž 必须
对于此定义，定义接近于零 有任何意义，但我们没有
必须要求 在C处定义F. 零这里是一个例子，假设C的F是
函数Z平方 减去 Z上的 一个 减去一个 未定义 函数的函数
在Z等于1 因为我将分裂 零，但我们可以问 Z的f
当C接近1时接近你的极限 让我们看看 它有点不清楚
我们 将 Z 的 f 的极限 视为 Z. 接近1，我们注意到分子
实际因素为Z减 1倍Z 加1，我们可以取消其中一个
这些Z减1因子，我们就离开了 限制为Z加1 se为1
但Z接近1时Z加1 基本上1加1，其 是2-所以 这
函数 的限制 为 2 ，因此确实如此 即使 功能有限制 本身未定义为Z等于1
让我们看另一个假设F的例子 C 是 C 的函数参数
人是大写的论点 记住 的大写论证
C是Z形式的角度 正实轴，我们 必须选择
减去 PI和 之间的角度 pi 让我们看看 Z 的论点
方法II就在这里 ，因为 我不管从哪里来的方法
接近我，所以我 可以画一个整体 我 周围的小磁盘 和 所有那些 ž
这里的值有一个 参数 非常接近PI超过 2和
较小的进入 磁盘越接近所有 那些论点
我们做PI超过两个， 所以 我们说限制 Z 的参数为Z接近 我
等于PI 超过 两个 如何将Z作为Z的论证
接近一个一个是 在这里 和 我可以 在一个周围 画一个小 圆盘 和实轴上方的参数
比...要大一点 零和低于实轴的越少 比零，但他们都非常接近
在这里零点我画得越小 我的磁盘越接近这些参数
要零，所以参数的限制 是零，但现在让我们看 减一
输入我们的小磁盘减去一个 上层的 点会发生什么
这个磁盘的一半是参数 接近PI它稍微少一些
而不是PI，但 它的论点非常接近 另一方面，PI获得积分 我们测量的磁盘的下半部分
否定论点几乎是负数 pi 所以这里的 论点真的是
接近 减去pi以便制作我的磁盘 小和下面小
参数想要的x轴 接近减去y但高于x轴
这个论点想要接近PI 不同意，所以没有 这个 限制
限制不存在
关于限制的先前事实 序列暗示类似的事实
我要去的功能限制 很快列出这些，我会提醒
如果我们需要他们那些事实 F在 C 0 处有一个极限， 那么 f 是 有界的
让我们就像一个序列 如果a，收敛需要有界限
函数f接近极限L和a 函数G接近极限 M 为Z.
接近C 0然后 是两者 的总和 函数接近L 加M或 功能的产品接近
商数限制的乘积 接近极限的商
只要你实际上是在允许 除以分母 你可以
除以0最后一个函数是 如果Z的F接近C的f，则连续 是 0为Z接近 0那
C 0 这个定义的连续性 隐含地暗示 了许多事情
我们说F需要定义 在C 0，因为否则我们不能
写下 F c的0这里 我们 还说， 随着Z的流逝 ， F有一个限制
到Z 0， 因为我们说的是Z的F. Z 转到Z 0时收敛到某个东西
最后我们说这两个需要 是平等的，因为我们说的是C的C.
不DIS 收敛到一些限制 L，但 该限制实际上需要为 C 0的F
所以f需要在它需要的C 0处定义 当Z进入Z 0 和时 ，有一个限制
这个限制需要等于C 0的F 我 可能看到连续性的定义
从 R到R 的 功能之前 经常被描述为你可以画一个
没有拿起你的针脚功能 这有些不太准确
其他连续的功能但是 这 对我们的理解 来说已经 足够了 你不能有一个功能，使
跳转，例如该功能不会 是连续的，因为它没有
限制等等功能 是 在C 0处需要连续
定义那里 有一个限制 限制需要等于C 0示例的F
连续函数是不变的 函数Z 的函数f 等于 C.
C的多项式F 等于绝对值 C 的Z和F的值是多项式
通过一些其他的多项式除以但 你只能看看那里的点 分母不为零 ，因为
否则你会被 零除将与 那么你不会有 这样 的限制 这足以让今天 下一个
讲座我们终于 准备开始了 谈论 朱莉娅的二次方集
我们刚学过的多项式 连续功能