수학을 쉽고 즐겁게. 펀펀 수학에 이보영 선생님입니다. 반갑습니다. 여러분 혹시 그런 말 들어보셨나요? 수학은 차별할수록 성적이 올라간다는 말이요. 누가 한 말이냐고요? 선생님이 한 말입니다.
여러분, 수학은요. 모두 다 공평하게 문제마다 똑같은 시간을 투자하거나 똑같은 노력을 투자하면요. 오히려 수학 실력이 떨어질 수 있습니다. 내가 조금 힘든 부분이나 약한 부분에다가 조금 더 많이 애정을 듬뿍 담아주시면요.
바로 그 부분들이 여러분들의 수학 실력을 높여가는 방법입니다. 오늘처럼요. 레벨3와 같은 발전문제들이 들어 있는 경우들이 그렇죠. 레벨1과 레벨3에 똑같은 시간을 투자하는 게 아니라요.
레벨3에 조금 더 많은 시간을 투자하고 조금 더 노력을 들여 주셔야지 여러분 성적이 더 높아진다는 사실 기억하시기 바랍니다.
오늘은요. 선생님과 수준별 문제 함께 하도록 할게요. 그러면 칠판으로 자리 옮겨볼까요? 하나, 둘, 셋 뿅!
선생님과는요. 레벨2에 있는 여러분이 질문을 많이 하는 중요 문제들, 그리고 레벨3 문제들 같이 살펴보도록 할 겁니다.
레벨1에 있는 문제들은 앞에 대표유형이라든가 중간점검 등을 통해서 여러 번 많이 반복했던 문제이기도 하고요. 또 여러분이 한번쯤 도전해볼만한 문제이기도 하니까요. 직접 한번 풀어보시고요.
모르는 부분은 질문하시기 바랍니다. 그러면 레벨2에서 선생님이 선정한 문제는 11번부터 시작합니다. 11번에서는요. 모든 x에 대해서 항상 참일 때 그랬어요. 'x값 뭐든 참이고 좌우 똑같은 등식 항등식!' 이라고 했었죠.
x값에 상관없이 항상 참인 등식. 바로 항등식입니다. 항등식은 좌변과 우변의 모양이 완전 똑같아야 하죠. 그러려면요. 일단 왼쪽에 있는 것들을 한번 정리를 해볼게요. ax+b에서 3x를 빼겠다.
그럼 ax와 bx는 동류항이 되죠. 동류항은요. 바로 이렇게 계수들끼리 계산할 수 있도록 쓸 수 있고요. 상수는 그대로 둘게요. 그리고 우변은요. 2x+2b+1이 됐습니다.
좌우 똑같은 모양이 되기 위해서는 바로 여기 보이는 x의 계수인 a-3이 2가 되면 됩니다. 그렇죠? 그러면 a-3이 2이려면 a는 5면 되겠다. 그렇죠? 이번에는요. 상수 b와 우변에 있는 상수 2b+1이 같으면 되겠죠.
b는 2b+1과 같다. 그럼 -b가 1과 같으니까 결국에 b는 -1과 같습니다. 문제에서 원하는 것은 뭐죠? a+b의 값을 구하라고 그랬으니까 정답은 4. 우리 번호로는 1번이 정답이 되겠죠. 항등식에 대한 문제였어요.
이번에는요. 우리 두 번째 12번 문제 보세요. 등식의 성질과 관련된 문제였습니다. '등식의 양변 같은 수 더해, 빼도, 곱해 성립해.' 라고 했죠. '등식의 양변 0 아닌 같은 수 나눠도 성립해.'
바로 이 등식의 성질을 이용한 문제인데요. 먼저 보세요. 지금 4분의 x, 5분의 y가 같으면 5x와 4y가 같다고 했는데 정말 그럴까요? 양변에 똑같은 20을 곱해주면요. 똑같은 수를 곱했기 때문에 등식은 성립합니다.
1번은 맞았습니다. 그렇죠? 그런데 2번 보세요. 2번은요. -a가 되기 위해서는, 3a가 -a가 되기 위해서는 양변에 똑같이 -3으로 나눠줄 수 있습니다. -3으로 나누면요. 우변은 -4b였어야죠.
그렇죠? 다음 3번은요. 2분의 a와 b가 같습니다. 그럼 2분의 a+4를 만들고 싶다. 즉 2분의 a와 2분의 4. 즉 좌변은요. 정확하게 이야기한다면 2분의 a+. 2분의 4를 약분해서 2라고 쓸 수 있죠.
양변에 똑같이 2를 더해주면 만들 수 있는데 오른쪽이 4가 됐으니까 틀렸죠. 다음에 4번 보세요. 지금 왼쪽은 -a+6을 만들어놓은 거고요. 오른쪽은 2b+6을 만들어놓은 거예요. 그러면 -a는 2b와 같다는 등식에다가요.
양변에 똑같이 6을 더하면 바로 이런 등식을 만들 수 있죠. 성립하는 등식 4번입니다. 5번은 어때요? 5번에서 봤더니요. 지금 왼쪽은 -2x+4고요. 오른쪽은 -3y+9입니다.
그러면 -2x가 -2x+4가 되기 위해서 등식의 양변에 똑같이 4를 더해주면 되는데 오른쪽은 얘만 혼자 9를 더했죠. 그래서 이 등식은 성립하지 않는다는 거예요. 그래서 옳은 것을 모두 고르면 1번과 4번이 정답이 되겠습니다.
다음 문제 또 이어보도록 하죠. 다음 문제는 15번 문제예요. 방정식을 풀어줄 건데요. 우리 계수가 좀 복잡할 때 방정식 어떻게 풀었죠? 계수를 정수로 만드는 게 목표였습니다.
그래서 이번에는요. 방정식 양변에다가 10을 한번 곱해보려고 해요. 그러면 4x-21은. 항마다 다 10을 곱해줘야 되겠죠. 3x-16이 됐습니다. 그러면 방정식을 풀어주면요.
x는 좌변, 상수는 우변으로 이항하면서 부호가 +였던 것은 -, -는 +로 바뀌어줍니다. 그랬더니 x는 얼마가 됐죠? 5가 됐죠. 그래서 정답은 3번이 되겠습니다.
계수가 소수인 경우 각 항마다 10이나 100이나 1000 등을 곱해서 계수를 정수로 만들어주세요. 다음 문제는 16번 봅니다. 이번에는 어때요? 분수가 여기저기 들어 있죠. 분모들의 최소공배수로 양변을 곱해볼게요.
그러면 양변에 2, 3, 6의 최소공배수인 6을 한번 곱해볼까요? 첫 번째에다 6 곱하면 2와 6 약분하면 3이죠. 분자는 3(x+3). 여기다 6을 곱하면요. 분모하고 약분되어서 2(2x-3). 그렇죠. 다음에 빼기.
뒤의 식 전체 다 뺄 거예요. 이것 하나만 빼는 게 아니에요. 그래서 반드시 이 전체의 식을 뺄 거라고 해서 괄호는 반드시 들어가야 되고요. 여기다 6을 곱하면 분모는 약분이 되어서 분모는 1이 될 테니까 -x+1.
오른쪽도 당연히 6을 곱해야 되겠죠. 그러면 10이 됐습니다. 이제 분배법칙 한번 사용해볼까요? 분배법칙 사용하면 3x+9. 2를 분배하면 4x-6. -를 분배하면 +x-1. 이렇게 되죠. 이것이 10입니다.
좌변에 있는 x들은 얼마인가요? 바로 8x가 되고요. 좌변에 있는 상수는 일단은 계산해보면 얼마예요? 3이죠. 3인가요? 9+(-6). 3이죠. 3에다가 -1하니까 2가 되네요. 그렇죠? 그러면 2를 우변으로 이항해서 8x가 8이 됐습니다.
따라서 x는 1이면 되겠구나. 16번의 정답은 얼마죠? 바로 1번에 있는 x는 1이다. 이렇게 해서 계수가 분수일 때에도 우리는 계수를 정수로 만들었었다. 그렇죠? 기억이 다시 한 번 새록새록 되짚어서 나셔야 되겠죠.
다음 문제는요. 17번 문제 보세요. 방정식을요. 바로 주지를 않고 비례식으로 줬어요. 그러면 비례식의 성질을 이용하는 겁니다. 어떻게요? 내항의 곱은 외항의 곱과 같다. 바로 이런 비례식의 성질을 이용하는 거죠.
내항의 곱은 2(3x-1)이고 외항의 곱은요. 3(2-4x)와 같습니다. 어때요? 식 안에 괄호가 들어 있는 경우니까 분배법칙만 잘 해서 x값을 구할 수가 있겠죠. 분배법칙을 써줬더니 좌변은 6x-2, 우변은 6-12x.
x를 좌변으로 이항했더니 18x가 됐고요. 다음에 상수를 우변으로 이항했더니 8이 됐습니다. 그러면 이 안에서 x는 얼마인가요? 양변을 18로 나눴어요. 18로 나눴더니 x는 바로 18분의 8이다.
간단히 2로 약분하니까요. 9분의 4가 됐습니다. 됐죠? x, 즉 이것이 a의 값과 같은 건데요. 이때 문제에서 원하는 것은 3a-2가 되죠. 그러면 3×. a는 9분의 4예요. 여기서 2를 빼겠습니다. 약분했더니요.
3분의 4에서 2를 빼는 것과 같아서 결과는 -3분의 2와 같네요. 17번의 정답은 몇 번에 있습니까? 바로 2번에 있습니다. 이렇게 해서 일단 내가 x값을 구해놓고 그다음에 다시 한 번 대입해서 식의 값까지 알아보는 문제였습니다.
이번에는요. 이제 17번까지 레벨2에 있는 문제들을 쭉 봤으니까요. 그 안에서 일차방정식의 활용 파트에 있는 문제들을 보도록 할게요. 문제 번호 21번입니다. 가로, 세로의 길이가요.
12, 6인 직사각형에서 가로 길이를 x, 세로 길이를 3cm만큼 늘였습니다. 그랬더니 넓이가 63만큼 처음보다는 늘어났다는 거죠. 이때 늘어난 가로의 길이가 얼마냐? 라고 했어요.
그러면 늘어난 가로의 길이를 우리 x라고 했으니까. 보세요. 12에서 x만큼 늘어났습니다. 이번에는요. 세로는 어땠습니까? 가로의 길이를 x, 세로의 길이도 6만큼 늘였습니다. 그러면 세로의 길이는 9가 되겠죠.
가로×세로. 이게 바로 새로 생긴 직사각형의 넓이인데요. 이 직사각형의 넓이는 처음보다 63만큼 늘어났다는 거거든요. 처음이 얼마였는데요? 가로×세로하면 처음에는 72였죠. 72보다 63만큼 늘어야 됩니다.
바로 이렇게 식을 세웠네요. 그러면 이제 9를 분배해봤더니 108+9x. 우변은요. 계산했더니 135가 됐죠. 그럼 9x는 얼마가 됩니까? 27이 되고요. 따라서 x는 3이 됐습니다.
우리가 늘어난 가로의 길이를 x로 뒀으니까 정답은 5번 3cm가 되는 겁니다. 이렇게 해서 21번 문제 풀어봤어요. 도형과 관련된 문제였고요. 이번에는 다음에 있는 22번 문제 같이 봅니다. 22번에서는요.
어떤 물통에 물을 가득 채우는데요. A 호스로 채우려니까 40분이 걸려요. A 호스로 혼자 채우면. 아니야, 아니야. B 호스로 채워볼까? B를 혼자 틀었더니요. 30분이 걸립니다. 그래서 먼저 8분 동안 A를 틀어놨어요.
그러고 나서 멈추고 나머지는 B로만 물을 받았다고 했을 때 꽉 찰 때까지 B 호스로 몇 분 동안 물을 채워야 하느냐 라는 거예요. 그러면 우리 이것은 일과 관련된 문제예요. 만약에 이 통을요. A 호스로만 채우겠다.
A 호스로는 40분 걸려야 채워진다고 그랬죠. 40분 동안 이 통을 다 채우겠다고 하면요. 총 40으로 나눠서 1분에 1칸씩을 채운다고 생각하면 돼요. 그렇죠? 총 40칸으로 나눠놨구나.
그러면 1분 동안 채워야 되는 양은 40분의 1이 됩니다. 그래서 먼저 이것을 한번 정리해볼게요. A 호스로 1분 동안에는요. 전체의 얼마만큼이 채워집니까? 40분의 1만큼 채워집니다.
그럼 B 호스로 만약에 물을 채운다면 1분 동안에 얼마만큼 물이 차겠어요? 30분 동안 다 채울 거니까 전체를 30칸으로 나눠서 1분에 1칸씩 물을 채운다고 보면 되죠. 1분에 30분의 1만큼 물을 채워줍니다.
그러면 이때 B 호스로 물을 받아야 되는 시간은 x분 걸렸다고 하면요. 식은 A 호스로 일단은 8분 동안 받았어요. 40분의 1씩 8분 동안 받았습니다. 40분의 8. 그리고 우리 B 호스로요. 1분에 30분의 1씩 받을 건데요.
이 안에서 x분 동안 받았다고 했어요. 그리고 물통이 꽉 찼습니다. 1이라고 놓으면 되겠죠. 우리가 일과 관련된 문제에서는 일의 전체의 양을 하나로 봤다는 것. 그러면 일단 8하고 40하고 약분해볼까요? 5분의 1이 됐습니다.
분모가 5와 30 있으니까 양변에 30을 곱해서 우리 계수를 정수로 다 만들어볼게요. 30 곱하면 6이 됐죠. 30 곱하면 x 됐고요. 우변도 30 곱하니까 30 됐어요. 이래서 6만 오른쪽으로 이항하면 되겠네요.
6 이항해서 24가 됐습니다. 즉 B 호스로 물을 받는 시간이 몇 분이 걸린다는 거다? 24분이 걸린다는 거다. 그래서 정답은 3번이 됐습니다. 되겠죠? 일과 관련된 문제는 전체를 하나로 놓자.
그래서 x분 걸렸다고 하면 1분 동안에 x분의 일. 그렇죠? 이렇게 일을 하게 된다고 생각하시면 돼요. 이번에는 23번으로 가겠습니다. 우리 거리, 속력, 시간과 관련된 문제가 나왔죠. 형과 동생이요.
둘레가 640미터짜리 트랙입니다. 둥그런 트랙을 돌고 있어요. 서로 같은 방향으로 걷고 있습니다. 그랬을 때 형은 분속 90으로 걷고 동생이 분속 50으로 걸을 때 출발한 후 다시 만나게 될 때까지 걸린 시간을 물어봤습니다.
동시에 같이 출발했는데 형이 앞서 나가기 시작했습니다. 그리고 돌다 돌다 돌다 돌다 돌아와서 동생하고 다시 안녕? 하고 만났어요. 그러면 형은 나를 앞질러가면서 나보다 얼마만큼 더 돌아온 거죠?
바로 한 바퀴만큼 나보다 더 돌아온 겁니다. 따라서 둘의 거리의 차가 한 바퀴 둘레와 같다는 식을 세워볼 거예요. 우리의 목표는 그거예요. 그러면 둘이 동시에 달리기 시작했을 때 걸린 시간을요. x분 걸렸다고 하죠.
그러면 형이 움직인 거리는 속력×시간으로 나타내면 되니까 형이 간 속력은 90이고요. x분 동안 갔습니다. 동생은 어땠어요? 속력이 50이었고요. x분 동안 갔죠. 둘의 거리의 차가 한 바퀴 640미터와 같습니다.
그렇죠? 여기서 차이를 잘 구별하셔야 돼요. 같은 방향으로 돌았을 때는 나보다 앞질러가다가 처음으로 다시 만났을 때 둘의 거리의 차가 한 바퀴라는 거고요. 반대 방향으로 돌았을 때는 바로 둘의 거리의 합이 한 바퀴와 같다.
합, 차의 차이가 있다는 것 알아두셔야 됩니다. 방향에 따라서. 그러면 이것을 한번 풀어볼까요? 40x는 640이에요. 양변을 40으로 나눠보니까 얼마가 돼요? 바로 16이 됐습니다.
그렇죠? 그래서 다시 만날 때까지 걸린 시간이 몇 분이다? 바로 16분이다. 이렇게 식이 세워지겠죠. 이번에는 우리 23번 넘어가서 농도와 관련된 24번 문제 보겠습니다. 24번은요. 지금 2개의 소금물을.
5% 소금물과요. 11% 소금물을 섞어서 9% 소금물 400g을 만들려고 합니다. 그랬을 때 각각 소금물을 얼마나 섞어야 하느냐고 했어요. 소금 넣을 때나 소금물을 넣을 때 소금의 양 늘어난대요. 그렇죠.
소금의 양은 늘어납니다. 각각의 소금의 양을 더해야 한다는 거죠. 그러면 먼저 우리 5%의 소금물의 양을요. xg이라고 한번 해볼게요. 그러면 9%의. 11%군요.
11%의 소금물은 몇g이라고 둬야 할까요? 전체 둘이 합해서 400g이 되는 거니까 400-xg이다. 이렇게 두면 되겠죠. 그리고 일단 각각에 들어 있던 소금의 양을 더할 겁니다.
먼저 5% 소금물 안에 들어 있는 소금의 양은 100분의 5×x. 이번에는요. 11% 안에 들어 있는 소금의 양은요. 100분의 11×(400-x). 됐죠? 그러면 이것도 지우고 써볼게요. 그래서 결론적으로 두 소금의 양을 더하고 나면요.
9% 소금물 400g이 만들어졌다는 이야기예요. 양변에 모두 다 분모 100이 있으니까요. 100을 곱해서 약분해봤어요. 그럼 5x+. 11을 분배하니까 4400-11x. 그리고 우변은 3600이 됐습니다.
됐죠? 그러면 우리 x는 먼저 계산하니까 -6x가 됐고요. 다음에 우변으로 가서 4400을 이항하니까요. -800이 됐습니다. 그러면 이 안에서 x는 얼마예요? -6으로 나눠서 6분의 800 되죠.
약분하니까 3분의 400 됐습니다. 그런데 지금은 각각 2가지 모두 다 구하라고 했거든요. 그래서 선생님은요. 일단 5%의 소금물은 3분의 400g이다. 이렇게 쓰는 거고요. 다음에 11%의 소금물의 양도 써야 되겠죠.
전체 다 해서 400g이라고 그랬으니까 400에서 3분의 400을 빼주면 알 수 있습니다. 3분의 800g이다. 이렇게 해서 2가지 모두 다 구해주셔야 됩니다. 이럴 때는요.
소금물의 양이 정수로 떨어지지 않고 분수로 나와서 '나 틀린 것 아닌가?' 이런 생각 든 학생들도 있었을 텐데요. 항상 모든 답이 정수로 나오는 것은 아닐 수 있어요. 다음 문제는 25번 문제입니다.
지금 현진이네 동아리 학생들이요. 야영하는데 텐트 하나당 5명씩 들어가 봤어요. 그랬더니 4명이 남아요. 4명이 못 들어가고 서 있어요. 그래서 '다시 나와, 나와.' 라고 하고 이번에는 텐트마다 6명씩 한번 넣어봤습니다.
그랬더니 텐트의 수는 하나 줄고요. 대신에 마지막 텐트에는 2명만 들어가게 되더라고요. 학생 수가 a명, 텐트의 수를 b개라고 할 때 a+b의 값을 구하라고 그랬죠.
이때는 우리가 구하고자 하는 미지수는 제일 먼저 텐트의 수로 놔줘야 한다는 거예요. 만약에 이 텐트 b개에다가요. 5명씩 들어간다고 생각하면 총 들어갈 수 있는 인원은 5b명이 되겠죠.
5b명에다가 아직 못 들어간 학생 4명 있습니다. 이것 뭐죠? 학생 수에 대한 식을 세운 거예요. 그런데 보세요. b개의 텐트가 있습니다. 각각의 텐트가 b개가 있는데 이번에는요. 6명씩 들어가라고 했어요.
6명, 6명, 6명, 6명 들어가라고 했더니 마지막 텐트는 하나 남고요. 그다음에 여기는 어떻게 되나요? 바로 여기에는요. 마지막 텐트에는 2명이 들어갔습니다. 남는 것 말고 마지막에는.
그 전까지는 다 6명씩 들어갔다는 이야기죠. 그러면 6명씩 들어간 텐트가 몇 개인가요? 전체 b개 중에서 하나는 아무도 안 들어갔고요. 하나는 2명이 들어갔으니까 6명씩 들어간 텐트는 b-2개가 된다는 이야기예요.
그래서 우리가 이 학생 수를 식으로 나타내보면요. 6명씩 들어간 텐트는 b-2개가 있고요. 그리고 그다음 텐트에는 2명이 있습니다. 바로 이렇게 식을 세울 수가 있겠죠.
그렇죠? 그래서 결론은 이렇게 세우나 저렇게 세우나 학생 수는 일정한 겁니다. 그러면 5b+4는 6을 분배해서 6b-12+2가 되겠죠. b를 왼쪽으로 이항했습니다. 그러면 여기는 얼마가 되나요? 바로 -10 됐고요.
-10에서 4까지 이항해오니까 -14. 즉 텐트의 수가 14가 된 겁니다. 됐죠? 그러면 우리 학생 수에 대해서도 알아봐야 되겠죠. 학생 수는요. 5b+4라고 했어요. 5b+4하면 74가 됩니다.
그럼 문제에서 원하는 대로 a+b는 74와 14를 더해주면 되니까 88이다. 이렇게 이야기하면 되겠죠. 이렇게 해서요. 우리 레벨2에 있는 문제들 좀 부지런히 여러분이 가장 많은 질문 하는 문제들 위주로 풀어봤습니다.
레벨3 들어가기 전에 우리 잠깐 쉬어가도록 할게요. 우리 펀펀 친구들이 가지고 있는 칭찬사연 함께 봅니다.
오늘의 '칭찬해주세요.' 칭찬 주인공은 바로 이동은 학생입니다. '선생님, 제 꿈이요. 디자이너인데요. 그래서 미술을 많이 준비하곤 합니다. 미술 대회에 나가서 이번에는 은상을 탔습니다.
다음번에는 꼭 도전해서 금상도 탈 겁니다. 칭찬해주세요.' 라고 했네요. 선생님이 진짜 못하는 게 미술인데 동은이는 선생님이 정말 부럽네요. 다음번에 꼭 금상 탈 수 있도록 응원할게요.
선생님은요. 동은이한테 너무 높이 평가했던 게 은상을 탔다는 사실보다 그래, 이번에는 은상 탔지. 만족하지 않게 다음번에 또 도전해서 금상도 한번 타보겠다고 생각하는 도전의식을 더 높게 평가했거든요.
우리 동은이처럼요. 여러분이 가지고 있는 칭찬사연 모두 다 올려주시기 바랍니다. EBS TV 중학 수학 1학년 강좌 들어오셔서요. 수강후기 게시판에 '칭찬해주세요.' 라는 사연으로 글 남겨주세요.
그러면 이제 레벨3에 도전합니다. 레벨3 문제는 난이도가 조금 있죠. 일단은 여러분 받아 적지 마시고요. 선생님 설명을 들으면서 이해하는데 모든 신경을 한번 세워보도록 하세요.
먼저 레벨3 첫 번째 문제는 바로 26번입니다. 보세요. x에 대한 방정식의 해가 자연수일 때 한 자리 자연수 a의 개수 그랬죠. 일단은 방정식이니까 x에 대한 방정식이니까 해는 x값, x가 주인공이란 말이에요.
그래서 일단 분배법칙을 사용할 거고요. x를 구할 거예요. 그러면 x는 좌변에 놔두고 상수는 오른쪽으로 이항해줄 겁니다. 이제 양변을 뭐로 나눠야 되나요? 4로 나눠주면 되겠죠. 4로 나눴더니 4분의 a+14. 이렇게 되겠죠.
그러면 이것이 해가 자연수일 때 한 자리 자연수 a의 개수는? 그랬어요. 자연수가 되려면요. 분자는 4의 배수여야만 합니다. 그래야지 자연수가 되잖아요.
그렇죠? 그러면 14에다 더하는 자연수니까 14보다 큰 4의 배수를 한번 따져볼까요? a+14가 16이 된다거나 또는 20이 된다거나 24가 된다거나 등등 이렇게 찾아볼 수 있는데요.
24가 되는 순간부터는 a가 한 자리 자연수가 아니죠. 10이니까 두 자리 자연수가 된단 말이에요. 그래서 16이나 20이 되어 줘야 합니다. 16 되려면 a는 2고요. 20 되려면 6이다. 따라서 자연수 a의 개수는 2개.
정답은 1번이 되겠습니다. 됐죠? 이렇게 해서 첫 번째 자연수에 대한, 해에 대한 조건을 준 문제를 알아봤습니다. 이번에는요. 27번 문제 보세요. 첫 번째 방정식의 해는 우리가 구할 수 있을 것 같아요.
그런데 그 해의 역수가 다음 방정식의 해랍니다. 그럼 방정식을 구해서 역수를 취해서 대입해야 되겠구나. 그럼 첫 번째 방정식은요. 소수 한 자릿수도 보이고 그래서 양변에 10을 한번 곱해보려고 해요.
10을 곱해서 한번 불러볼까요? 6x+12는. 2에다가 10 곱하면 20이 되죠. 20에다가 1-0.5x. 그러면 우변은 분배법칙 사용해주면 20-10x 이렇게 되겠죠. 여기서 해 구해볼게요. x는 좌변에 16x.
그리고 상수는 우변에 8. 따라서 x는 16분의 8. 약분하니 2분의 1이 되었습니다. 이렇게 해서요. 지금 첫 번째 방정식의 해는 구했잖아요.
두 번째 방정식으로 가야 되는데 두 번째 방정식의 해는 첫 번째 방정식 해의 역수와 같다고 했어요. 그래서 2분의 1의 역수인 2를 대입해야 되는 겁니다.
그럼 이번에는요. x에다가 2를 한번 대입해볼까요? 2를 대입해서 써보면 2분의 2-a. 그렇죠. 다음에 3분의 3x 했죠. 3×2에다가 2 더해주면 됩니다. 이제 분모에 2와 3이 있으니까요. 양변에 6을 곱해서 분모를 약분해볼게요.
그랬더니 분자에다가 3 곱해주게 되겠죠. 약분하고 나면. a죠. a. 다음에 3하고 6하고 약분하면 2잖아요. 분자가 8이니까 8×2=16 이렇게 됐습니다. 이제 3을 분배해보면 2×3=6. 6-3x가 16이 됐습니다.
-3x가 16이니까요. 왜 자꾸 x라고 쓰죠? a라고 써야 하는데. 우리가 구하고자 하는 것은 a죠. -3a가 10입니다. 따라서 a값은 -3분의 10이다.
이렇게 해서 결국에는 2개의 방정식을 모두 다 풀어야 우리가 a값을 구할 수 있다는 거예요. 되겠죠? 이렇게 해서 조금 더 복잡해진 방정식을 한번 풀어봤고요. 다음 문제는 28번입니다. 28번 문제 보세요.
이번에는 새로운 약속을 줬죠. 어떤 약속인지 보세요. a▲b. 바로 이 약속은요. 앞뒤를 곱해라. 앞을 더해라. 뒤를 빼라. 바로 이겁니다. 그러면 우리가 첫 번째로요. x▲2는 앞뒤를 곱해라. 앞을 더해라.
뒤를 빼라고 하면 3x-2가 되는 거예요. 됐죠? 그리고 두 번째로 x▲2랑 3이랑 바로 이 연산을 한번 적용해보면요. 앞에 있는 괄호는 3x-2가 되잖아요. 여기다가 3을 ▲하라는 것은 앞뒤를 곱해라. 3(3x-2). 앞뒤 곱했죠.
그다음에 앞을 더해라. 그리고 뒤를 빼라. 바로 이런 명령어대로 가주면 되겠습니다. 이렇게 하면 9x 있고요. 여기 또 3x 있어서 12x 됐고요. 다음에 상수는 -6 있죠. -2도 있고요. -3도 있습니다.
그래서 결국에는 -11이 됐습니다. 지금 좌변을 정리한 게 이래요. 그러면 이제 우변도 정리해야 되겠죠. 우변은 -2▲1을 한번 해봐야 되는데 앞뒤를 곱해라. -2. 그리고 앞을 더해라. -2. 뒤를 빼라. 1. 하니까 -5가 됐습니다.
됐죠? 그러면 이번에는 5하고. -5죠. -5하고 ▲를 해라. 지금 이 괄호가 -5니까요. -5와 ▲를 다시 한 번 연산해라. 그러면 앞뒤를 곱해라. 그리고 앞을 더해라. 뒤를 빼라고 하면 -6x-5가 됐습니다.
그래서 결론은 여기 보이는 두 결과가 서로 같다는 것으로 식을 세우면 된다는 거예요. 그러면 계산해볼까요? 12x-11은 -6x-5와 같다. x는 좌변으로 이항해서 18x. 상수는 우변으로 이항했더니 6이 됐죠.
따라서 x는 3분의 1이 되었습니다. 그래서 28번의 정답은 3번이 된 거예요. 되겠죠? 이번에는 레벨3 다음 문제 29번 문제 보겠습니다. 29번에서는요. 재밌는 문제가 하나 나왔어요. 다음은 탐정과 상인의 대화입니다.
상인이 목걸이 몇g에 은을 섞었는지 알아내라고 했거든요. 분명히 300g을 가지고 목걸이를 만들었어요. 그런데 탐정이 '거짓말 마! 당신은 은을 섞었어.' '그래요? 얼마나 섞었다는 겁니까?' 라고 했죠.
일단 300g 가지고 이야기를 한 거예요. 다음 이야기 보겠습니다. '이 용액 속에 금의 무게는 18분의 1만큼 가벼워지고요. 은의 무게는 6분의 1만큼 가벼워지지. 봐. 지금 용액 속에 무게가 275g이잖아.' 라고 했습니다.
아, 그렇구나. 그러면 원래 300g보다는 뭔가 좀 더 줄어들었다는 이야기죠. 얼마나 줄어들었습니까? 지금 25g이나 줄어들었다는 이야기예요. 원래는 300g인데. 그렇죠? 그런데 이 안에 금이 얼마나 들었고 은이 얼마나 들었나.
원래는 다 순금으로 만들고자 했으나 살짝 이 사람이 은을 섞었단 말이에요. 은의 무게가 몇g인지 은의 무게를 xg이라고 하겠습니다. 그리고 금의 무게를 300-xg이라고 하겠습니다.
됐죠? 그러면 얼마나 줄어들은 걸까요? 줄어든 것만 가지고 선생님이 식을 세워볼게요. 줄어든 것 가지고 식을 세우면요. 숫자가 좀 작아져서 여러분이 계산하기가 편해지거든요.
지금 금의 무게는 18분의 1만큼 가벼워진다고 했으니까요. 가벼워진 무게가 18분의 1×(300-x)가 된 거예요. 다음에 은도 6분의 1만큼 가벼워졌습니다. 그러면 가벼워진 무게가 6분의 1x인데요.
원래 300보다 25g이 가벼워졌으니까 가벼워진 무게만 가지고 이야기하면 이렇게 25라고 이야기할 수 있는 거죠. 그러면 우리 양변에 18을 곱해서 분모를 약분해볼까요? 그러면 300-x가 되고요.
18을 곱하니까 3x 되죠. 여기다가도요. 18을 곱해주니까 25에다가 18을 곱해주게 되니까요. 450이 됐습니다. 그러면 좌변은 2x가 됐고요. 우변은 150이 됐어요. 따라서 x는 75.
이 안에 섞은 은의 무게가 75g이라고 이야기할 수 있죠. 그렇죠? 선생님은 여기서요. 줄어든 무게만 가지고 식을 세웠어요. 그래야 식이 좀 간단해지고 계산 과정이 조금 간단해지거든요.
다음 문제는 우리 30번 문제 살펴보겠습니다. 30번 문제 보세요. 지수네 학교는 1학년 학생들한테 방과 후 스포츠 클럽 활동 선호도를 조사했습니다. 그랬더니 전체 중에서요. 4분의 3의 학생이 축구를 선택했고요.
또 농구는 2분의 1의 학생이 선택을 했습니다. 그런데 '2가지 모두 다 해야지.' 라고 선택한 학생이 전체 8분의 3이고요. '나 운동 안 해. 아무 것도 안 해.' 라고 한 학생이 18명이었습니다.
이때 지수네 학교의 1학년 전체 학생 수를 구하라고 했죠. 그러면 선생님이 이것을 간단하게 그림으로 한번 표현해볼게요. 지수네 학교 학생 이만큼 있습니다. 이 안에서요. 축구를 선택한 학생이 있을 거고요.
농구를 선택한 학생이 있을 거예요. 아무 것도 선택하지 않은 학생들도 있을 겁니다. 그렇죠? 1번 있고 2번 있고 3번 있고 4번 있고. 그러면 1, 2, 3, 4 영역 안에 있는 학생들을 다 더해줘야 된다는 건데 잘 보세요.
1번 영역에 있는 학생들, 3번 영역 안에 있는 학생들 생각해보면요. 둘 다 선택한 학생들이 여기서도 세어졌고 저기서도 세어졌으니까 어떻게 해줘야 돼요? 한번은 빼줘야 한다는 이야기입니다.
그리고 바깥에 아무 것도 신청하지 않은 학생들은 또 함께 합해야 전체 학생 수를 알 수가 있겠죠. 1학년 전체 학생 수를요. x명이라고 하겠습니다. 그러면 우리 축구를 선택한 학생이 4분의 3x인 거고요.
다음에 농구를 선택한 학생이 2분의 1x. 그런데 이 안에서 8분의 3. 전체의 8분의 3에 해당하는 학생을 빼야 합니다. 왜죠? 여기서도 셌고 저기서도 셌고 여기저기 동시에 셌기 때문에 그런 거죠.
그래서 한번은 빼주고요. 그리고 아무 것도 선택하지 않은 학생들 더하니까 18명입니다. 이 학생들을 모두 더하면 바로 전체 학생 수 x가 된다는 거죠. 양변에 똑같이 8을 한번 곱해볼게요. 6x+4x.
여기다 8 곱하면 -3x. 여기다가 8 곱하면요. 8×8=64에다가 8 더하니까 144. 그리고 우변에 8 곱하니까 8x. 이렇게 됐죠. 좌변에는 지금 x 계산하니까 7x거든요.
좌변에 x를 다 이항하고 나니까, 8x까지 이항하고 나니까 -x 됐고요. 상수 우변으로 이항하니까 -144. 따라서 학생 수는요. 모두 몇 명이 되는 거다? 전체 학생 수가 144명이 되는 거다. 이렇게 풀어봤습니다.
다음에는요. 우리 한 문제 더 살펴볼게요. 마지막 문제로 31번 문제 봅니다. 프로야구 A팀의 홈구장은요. 전체 관람석이 VIP석, 내야석, 외야석으로 이루어져 있는데요. 각각이 좌석은요.
10%, 60%, 그리고 나머지 외야석이 6000석입니다. 토요일 경기에서 홈구장이 다 찼습니다. 그럴 때. 다음 문제 보세요. A팀 홈구장의 입장료가 다음과 같을 때 지난 주 토요일의 야구장의 입장료의 총액을 구하라고 했죠.
그러면 각각 몇 명씩이 들어왔는지를 알아야 되잖아요. 그리고 이 안에 만원으로 들어왔을 때 전체가 다 찼을 때 몇 명의 사람이 들어올 수 있는지를 알아야 되겠죠. 전체 x명의 사람이 들어올 수 있습니다.
그러면 VIP석에는요. 10%의 사람이 들어올 수 있으니까 VIP석에는 0.1x명, 내야석에는 60%라고 했으니까 0.6x명, 그리고 외야석에 6000명 들어올 수 있습니다. 이렇게 다 해서 전체 x명이 들어올 수 있다는 건데요.
그럼 양변에 10씩 곱해서 간단하게 정리 한번 좀 해볼까요? x+6x+60000은 10 곱했으니까 10x와 같다. 됐죠? x 좌변으로 이항해왔고요. 상수 우변으로 가니까 바로 x는 20000이 되겠습니다.
즉 전체 들어올 수 있는 사람이요. 20000명이라는 이야기예요. 그런데 이 안에서요. 20000명 중에서 VIP석은 10%라고 했으니까 2000명이 들어올 수 있는 거고요. 내야석은요.
이 안에 60%라고 했으니까 12000명이 들어올 수 있는 거고요. 외야석은 그냥 6000명이 딱 들어올 수 있다고 했습니다. 이렇게 꽉 찼을 때 입장료는 어떻게 되겠어요? 바로 VIP석은 2000명 들어오는데 입장료가 25000원이고요.
다음에 내야석은요. 12000원씩 해서요. 12000명이 들어올 수 있습니다. 이게 바로 내야석의 입장료 금액이 되겠고요. 다음에 외야석은 6000명이 들어와요. 그리고 가격은 6000원이 되겠습니다.
이 가격들을 모두 다 합쳐봤더니요. 바로 2억 3천만 원의 입장료 수익이 있었다는 겁니다. 이렇게 해서요. 우리 실생활 탐구 문제까지 같이 살펴봤습니다. 여러분이 풀어본 레벨3 문제들은요.
일단 이해하셨으면 내 손으로 반드시 풀어보셔야 되고요. 실생활 탐구 문제들은 어땠어요? 문제가 좀 길었죠. 문제가 길다고 해서 어렵다고 생각하지 마시고요.
그 안에서 내가 반드시 필요한 조건들과 구하고자 하는 것들을 요약하시면요. 간단하게 풀릴 수 있어요. 그러니까 문제가 긴 것만으로 어려운 것은 아니라는 것. 그런 편견은 버리시기 바랍니다.
그러면 레벨3 반드시 이해하셨으면 내 손으로 풀어봐야 한다고 했죠. 그럼 여러분의 다짐 한번 살펴보겠습니다. 오늘의 게시판 숙제. 아시죠? 발전문제 하는 날은요. 반드시 여러분이 스스로 다짐하셔야 됩니다.
선서! 발전문제 내 손으로 꼭 풀어보겠다는 다짐을 수강후기 게시판에 올려주시면 되겠습니다. 이렇게 해서 선생님과요. 수준별 문제까지 모두 다 마쳤습니다. 이로써 여러분은요.
대단원 2단원 방정식이라는 단원은 거의 끝마쳐 가고 있는 건데요. 그러면 대단원 2단원을 다음 시간에는요. 총정리하면서 우리가 2단원을 한번 마무리하도록 할게요. 다음 시간에도요.
계속해서 유형편 함께 준비해주시고요. 다음 시간에는 대단원 문제로 함께 하도록 하겠습니다. 오늘 수업은 여기까지. 수고하셨습니다.