我们下面来介绍群的一些
简单的概念
比如说有些集合它的个数是有限的
比如说刚才我们说到
对应于G
它的元素就是从0到n减1
一共就只有n个
那么这样的一个群被称为是有限群
但是有些情况下
这个G的个数是无限的
比如说我们对应于在欧氏空间中
这一旋转
它旋转的角度的个数是无限的
我们称之为是无限群
对于有限群
我们就可以记录它的阶数
我们定义有限群G的元素个数
就称为这个群的阶数
那么我们会发现其实既然是群
它就有可能有子群
所以对应于一个大的群G的话
它的若干元素如果拿出来
在它的原运算下仍然构成
一个群的话
我们就称它为是子群
这是一些很常见显而易见的
一些概念
但是有一个问题我们回想一下
我们刚才说到了
群应该是满足结合律的
那么我们在学加法的时候
除了结合律还有什么呢
大家是不想起来还有一个叫做
交换律的东西
也就是说a加b和b加a是相等的
但是在群中
我们并不要求所有的元素
对应的二元运算都满足交换律
只有一些特殊的情况下
它会满足交换律
而满足交换律的群是一类特殊的群
我们称之为是交换群
因为它对应的任何元素两个a和b
它们的二元运算
a运算b等于b运算a
这个群也称为是阿贝尔群
而除了这些特性之外
我们会发现深入地分析群的一些性质
比如说对应于在群中
它能有多少个单位元呢
大家想
在加法中就一个0啊
它就一个单位元
乘法中只有一个1是单位元
所以我们可以猜测
在群中单位元是唯一的
确实我们会发现
如果有两个单位元的话
那么两个单位元它们进行运算
实际上最终还得到一个单位元
那自然它们是相等的呀
同时消去律是存在的
比如说a运算b等于a运算c
那么我两边都去运算a的逆的话
意味着b就等于c
因此消去律是成立的
而同时因为我们对应的单位元
是唯一的
那每一个元素对应的逆元
也是唯一的
而且通过逆元的运算呢
我们可以得到比如说ab一直到c
它们这么多元素
它们的取逆
实际上应该等于把它们的顺序
调过来等于c的逆
一直累乘b的逆a的逆
为什么呢
我们会发现
实际上我们用c逆b逆a逆乘以abc
中间两两进行结合
最终就得到了单位元e
因此他们两个元素实际上构成了
逆元关系
同时我们在研究有限群的时候
会发现一个有限群他中间的
任何一个元素
经过若干次的自己和自己运算
都会得到单位元
也就是对于有些g来说
它有一个元素a的话
那我必然能找到一个正整数小r
使得a的r次方
在这里我们简便来说
实际上a的r次方相当于a运算r次
它的结果就等于单位元
而且a的逆等于什么
a的逆就等于a的r减1次方
为什么呢
实际上我们可以这样想
因为对应于在g里面它的元素个数
一共有小g个
也就是它的阶数是g
那我就可以来设a a平方
一直到a的g次方
这里面呢根据鸽巢原理
我们就知道我们对应的这些
g加1的元素里面
它必然会有两个是相同的
两个相同的话
我们发现哪两个相同呢
我们就可以假设对应于l和m次方
它们是相同的
那这里我可以假设对应于m小于l
它们在1到j加1之间
而同时这时候我们利用消去律的话
就会发现e实际上就应该
等于a的l减m次方
那意味着小r是不是就等于l减m
所以这个元素a只要经过若干次的
自己和自己运算
就可以得到单位元
而对应根据这个情况我们自然
也可以得到a的逆
就等于对应的r减1的a次运算
而同时我们会发现
在这里我们仍然可以把对应的
a元素 a的平方
一直到a的r次方拿出来
它就构成了在原来运算下面的
一个子群