您好
很高兴再次见到您
这一讲
讨论两条直线的相对位置问题
空间的两条直线相对位置
主要分为两种
一种是共面的
一种是异面的
对于共面的直线
它又分为平行或相交的情况
所以空间的两条直线的位置
可以说为三种
平行 相交 交叉
交叉就是异面的
讨论两条直线平行的情况
空间两条直线是平行的
那么
它们的同面投影一定对应平行
这是判断两条直线是否平行的方法
也就是说
如果两条直线平行
它们的同名投影一定对应平行
反过来
如果知道这两条直线的同面投影对应平行
也可以判断
这两条直线在空间是相互平行的
这两条直线
它们是平行的吗
这两条直线
它的两面投影都是倾斜的
显然 两条直线是一般位置直线
对于一般位置直线
只要看它们的两面投影对应平行
就可以确定这两条直线
是相互平行的
再看这样两条直线
这两条直线是什么线呢
它的正面投影平行于Z轴
水平投影平行于Y轴
两面投影平行
另外一面投影是倾斜的
在哪个投影面中倾斜
就和哪个投影面平行
所以这两条直线
应该是侧平线
那么它们的两面投影平行
能判断这两条直线是平行的吗
对于特殊位置的直线
也就是像这样投影面的平行线
仅根据两面投影
还不能判断这两条直线是否平行
还需要作出它们的第三面投影
看它们是否平行
把第三面投影作出来
显然它们是不平行的
所以说
这两条直线是交叉的两条直线
而不是平行的两条直线
如果右面没有图纸空间作图
那就根据正面投影和水平投影
能不能判断这两条直线
是否平行的呢
也可以
怎么做呢
等讨论完了两交叉的直线的
投影的时候
再来解决这个问题
再来看相交的两条直线
如果两条直线相交
那么这两条直线的同名投影呢
也一定会相交
而且交点会符合点的投影规律
符合点的投影规律是什么意思啊
就是它投影连线一定会和X轴垂直
这就符合点的投影规律
反过来
如果两条直线的同名投影
会相交于一点
并且符合点的投影规律
就可以判断这两条直线是相交的
看这一题
要经过C点
作一条水平线和AB相交
在这里就有两个条件
第一个条件
这条线一定是水平线
第二个条件
它一定要和AB相交
还记得水平线的投影特性吗
水平线的投影特性
它的水平投影会反映这条直线的实长
它的正面投影会平行于X轴
这是水平线的投影特性
要作的线是水平线
那么它的正面投影和X轴是什么关系呢
是平行的
根据这个原理
就可以经过c'
作X轴的平行线
又由于CD会和AB相交
那么它的正面投影会有一个交点
这个点既在AB上
又要在CD上
既然它在AB上
就可以在AB上找到这个点
根据长对正的投影规律就可以找到了
又由于这个点一定是在CD上
经过C将K连起来
然后再根据长对正
把D点找到
注意 CD是要求作的线
要求作的线
要用粗实线加深
这是要记住的
求作的线 求作的结果
如果可见
就要用粗实线来画
如果是不可见
那当然是用细的虚线来画
再来看这个图
这两条直线它的正面投影相交于一点
水平投影也相交于一点
这两条直线是相交的两条直线吗
不是
为什么不是呢
因为这个（点的）投影连线
和X轴不垂直的
也就是说
不符合点的投影规律
也就是说它们不是一个点
既然不是相交的两条直线
就是交叉的两条直线
交叉的两条直线
它的同名投影可能相交
但是交点不符合点的投影规律
也就是说
它根本就不是交点
是重影点
这个点是这两条直线
正面投影的一个重影点
这个点是这两条直线
水平投影一个重影点
重影点需要标记出来
假如说
这个点是3点和4点（重影点）
并且3点可见 4点不可见
根据长对正把它连起来
3点是在CD上
还是在AB上呢
因为3点是可见的
CD上的点在高处
AB上的点在低处
显然3点应该在CD上
4点应该在AB上
正面投影也把它标出来
这个点假如记为1、2点
1点可见 2点不可见
1点是在AB上
还是在CD上呢
由于1点可见
正面投影看图的方向是由前往后看
显然1点应该在AB上
2点应该在CD上
因为1点在前才会可见
这是交叉两条直线重影点
怎么把它标记出来的方法
再来看这个
这两条直线它不是平行的两条直线
应该是异面的两条直线
这是通过求出它的侧面投影才知道的
如果不求出它的侧面投影
能不能知道这两条直线
是否平行的呢 怎么做呢
如果这两条直线是平行的
那么这两条直线就可以决定一个平面
那么在这个平面内
画出两条相交的直线
也就是将线的对角点连起来
它们就应该是相交的两条直线
如果是共面的话
既然是相交的两条直线
水平投影也把它画出来
画出来以后看水平投影有没有交点
并且看这个交点是否符合投影规律
很显然 水平投影不会相交
换句话说
这两条直线就不是相交的两条直线
但是在连线的时候千万要注意
要对应点连
这里是b、c连 这个是a、d连
那么这里连的时候
你不要随便连
你如果是连错了
也许会认为是相交的
那这样就错了
所以做题的时候
一定要仔细
不要看错了点
连错了线
刚才讨论了两条直线相交
交叉和平行的情况
在相交的两条直线当中
有一种特殊情况
就是垂直相交
如果空间的两条直线相交成直角
也就是垂直相交的
其中有一条线BC
它和水平投影面平行
这两条直线的水平投影会是什么关系呢
也会反映直角
这就是直角投影定理
再确定一下它的条件
两条直线在空间是垂直关系
然后其中有一条线是投影面的平行线
那么这两条直线在它所平行的
那个投影面中的投影就会反映直角
这就是直角投影定理
为什么呢 证明
因为BC 就是这条线
和水平投影面平行 Bb是投射线
投射线一定会和投影面垂直
所以BC一定是和Bb垂直
又已知BC和AB是垂直的
所以BC这条直线
就会和这个平面（ABba）垂直
由于它的水平投影（bc）
和它的空间的位置（BC）是平行的
那么它的水平投影（bc）
也会和这个面（ABba）垂直
既然它（bc）和这个平面垂直
当然bc也就会和这个面内的
一条线ab垂直了
这就是直角投影定理的证明过程
画出它的投影图 也很简单
这就是画出来的投影图
水平投影反映直角
这是直角投影定理
现在利用直角投影定理来做一个题
要求经过C点 作一条直线
这一条直线要和AB垂直相交
AB是什么线呢
AB的水平投影平行于X轴
这什么线呢
可以看这个三角板
这是这样摆的一条线
它的水平投影和X轴平行
所以这条线是正平线
既然它是正平线
那么 要作的这条线要和正平行垂直
根据刚才讲的直角投影定理
它的正面投影就应该反映直角
所以这个题应该怎么做呢
也就是经过c'作a'、b'的垂线
然后这个角要反映直角
由于CD这条直线要和AB相交
那么这里有个交点也就一定会在AB上
那么这个D点呢
水平投影就可以在AB上找到它
然后再将C点和D点的水平投影连起来
这样我们就作出了CD这条直线
和AB垂直相交
就是利用直角投影定理来做的
注意 求作的线段如果是可见的
要用粗实线来画
刚才是讨论了两条直线垂直相交的情况
再看直线AB和MN
这两条直线是异面的两条直线
也就是交叉的两条直线
但是这两条直线在空间是垂直关系
这就是交叉垂直关系
它们的水平投影会反映直角吗
想一下
如果在这个点作一条直线和AB平行
MN会和AB垂直
MN当然会和CD垂直
这就是刚才讲过的垂直相交的情况
水平投影就会反映直角
这条直线与它交叉
只不过是在上面一点点
它的水平投影还在这个位置
所以说
交叉的两条直线如果在空间是垂直关系
那么其中AB是水平线
它的水平投影呢也会反映直角
这就是将直角投影定理再推广了一点点
利用这个关系
再来看看这个题应该怎么做
要经过A点
作一条正平线和CD垂直
但是这里没有讲垂直相交
只是讲垂直
就不管你是相交垂直
那还是交叉垂直
只要作出来就行了
这个怎么做呢
作出来的线一定是什么线
正平线
正平线的投影特性是什么
还记得
这就是一条正平线
正平线它的水平投影和X轴什么关系
平行的
要利用这个投影特性来作
既然要过A点作正平线
它的水平投影一定会平行于X轴的
然后根据直角投影定理
由于这两条直线应该是垂直的
那么它的正面投影就应该反映直角
所以正面投影怎么作呢
就要经过a'向c'd'做垂线
端点一定要用投影连线将它连起来
这里一定要反映直角
这就作出了AB这条直线
和CD是垂直的
但是它们的交点
不符合点的投影规律
所以这种垂直关系
是交叉垂直关系
而不是相交垂直关系
再来看这个题
要你经过E点作一条直线
和这两条直线都垂直
直线AB
它的正面投影是倾斜的
水平投影平行于X轴
所以AB是什么线呢
AB就是这样摆的
它就是一条正平线
再看CD
CD它的正面投影平行于X轴
水平投影是倾斜的
所以CD是什么线啊
这样摆的一条线
也就是说 CD是水平线
既然这两条都是特殊位置直线
要经过E点
作一条直线EF要和正平线垂直
那么它们的正面投影就应该反映直角
所以怎么做呢
就是经过e'作a'b'的垂线
在这里反映直角
这是一面投影就出来了
另外一面投影呢
它要和水平线垂直
那么它的水平投影应该
和这个水平线（的水平投影）反映直角
所以怎么做呢
就是经过e作cd的垂线
将端点投影连线
也就是说EF这条直线和AB（这条直线）
它们的正面投影反映垂直
它就是和AB垂直
水平投影呢 和cd反映直角
由于它是水平线
所以说它也会和CD垂直
这条直线就和这两条直线都垂直了
好 今天就讨论到这
再见