同学
你好
今天我们一起来学习无穷小量和无穷大量
什么是无穷小量
我们先从定义来看一下
对于一个函数FX如果自变量X趋近于X
零时
它所对应的函数值FX趋近于0
这时我们就称FX是X趋近于X零时的
一个无穷小量
相应的当X趋近于无穷时
这时我们就称函数FX为X趋近于无穷时
的无穷小量
例如
大家看
对于X2这个函数来说
当X趋近于20
它的极限等于0
那么我们就可以称函数X2为X趋近20
的一个无穷小量
再来看另外一个例子
当X趋近于负无穷时
我们可以看到它的极限等于0
因此就可以说这个函数是X趋近于负无穷
时的一个无穷小
接下来我们思考这样一个问题
第一无穷巧量
它是一个变量还是很小的一个数
我们知道从刚才的定义里面可以看到
当FX趋近于X也就是它是一个逐渐趋近
于零的这样一个变量的时候
它是一个无穷小
那么一个数是否也能成为一个无穷小
我们考虑零是否可以成为一个无穷小
答案是肯定的
因为零始终趋近于0
并且等于0
在所有的数中
零是唯一一个可以成为无穷小的这样的
一个数
再来考虑第3个问题
1X是无穷小吗
很显然这个问题指的并不明确
我们需要注意了
说明一个变量是无穷小时
必须要指明变量的变化过程
对于刚才这个问题
当X趋近于无穷时
X分之一显然是一个无穷小
但是X如果取决于某一个常数的话
X分之1就不是无穷小了
接下来我们来看一个定理
这个定理主要讲述无穷小和函数极限之间
的一个关系
先来看定理的内容
当X趋近于一个固定的值X0时
函数极限等于A与它对应的充分必要条件
就是等价条件
我们可以用函数FX等于它的极限A加上
一个无穷小来表示
下面我们来证明一下
我们知道X趋近于X0时
它的极限等于A用一批乱德尔塔语言来
描述的话
是对任意的一个EP量大于0存在一个
德尔塔
当X在X0的德尔塔去心邻域里的时候
那么FXA的绝对值是要小于一批冷等
现在我把FXA用一个新的量阿尔法来
表示
那么自然上面等价的条件就是阿尔法等于
0了
当X趋近于X0的时候
阿尔法的极限是等于0
因此阿尔法是一个无穷小量
这样我们就可以给出上面定理的结论了
类似的我们可以对自变量的其他的变化
过程给出证明
接下来我们再来看一下无穷大量
什么是无穷大呢
先来看定义
我们还是取一个自变量
是某一种X趋近于X0的这种情形
对于任给的一个大M这个M是大于0的
一个数
那么总存在一个德尔塔使得X0的一个去
心邻域
德尔塔的去新领域
在这个领域内的X都满足FX的绝对值
大于我任意给出来的大于0的数
这时我们就称函数FX是在X趋近于X零
时的一个无穷大
相应的我们也可以改变自变量
在这个过程中
我们就记这时的它的极限为无穷
同理也可以给出X趋近于无穷时的R
无穷大的定义
如果在上述过程中
我们把这里的FX它的绝对值大于M换成
FX>M那么这时相应的事当X趋近于X
0时
它的极限等于正无穷
同样也可以给出负无穷时的定义
他们都称为是无穷大量
我们在考虑以下几个问题
第一无穷大量是变量还是一个很大的数呢
讨论无穷小的时候
我们说0可以成为无穷小量
那么在无穷大量里是否也存在一个数可以
成为无穷大量
显然如果我给出一个任意的一个数
总能找到比他更大的数
因此无穷大量不可能成为一个数
第2个问题
X分之1是无穷大吗
类似于前面的讨论
这时他没有指出X它的变量取值范围
第3个问题
函数为无穷大时
他是不是必定是无界的呢
刚才在讨论中可以看到
如果函数无穷大
那么必然它是一个无界的函数
反过来
如果一个函数无界
是不是说明他就是一个无穷大
显然这是不成立的
下面我们来看一个例子
大家看这个函数
FX等于X×以cos sin X这里
的X在全体实数上取值
现在我在这个函数上取一个数列
F2N派
那么把X的位置用2N派来代替
可知这蛇的函数值为2N派
当N趋于无穷时
2N派也是趋于无穷的
显然随着N的增大
对于这个函数里面我们找到了非常大的数
也就是它是趋近于无穷的
因此这函数是无界的
它是无界是否是一个无穷大量
我们再取另外一组点
这时我在X的位置带入的是二分之派加上
N派
那么把它代入到原函数里
发现这时的函数值都为0
说明当X趋近于无穷时
也就是N趋近于无穷时
这个函数在这些点上始终是等于0的
那么我们可以看到X整体屈居于无穷时F
X的趋势如下
虽然趋近于无穷时
他不借
但是他会重复取零
因此FX并不是一个无穷大量
接下来再来看另外一个例子
证明X12
当X趋近于20
它是一个无穷大量
我们就用定义来证明
我给出任意一个正数M接下来我们要找到
M所适应的一个德尔塔
使得X12的绝对值
要永远大于M这样的德尔塔该如何找呢
我们来看
要想使这个式子成立
我们把它变形一下
也就是X2的绝对值小于M分之1
那么我们就取德尔塔为大M分之1
也就是德尔塔是跟M有关的
这时我就可以保证在这样的一个去心率E
内
X12
恒大鱼大M那么结论成立了
他是一个无穷大量
我把X12
这个函数画了出来
发现在X等于2时
它是一个垂直的渐近线
那么对于X趋近于固定值时的一个无穷大
量来说
X=X0
就是这个函数的一个垂直渐近线
接下来我们来看一下无穷小量与无序中
大量之间的关系
假设自变量在同一个变化过程中
那么如果FX是一个无穷大
这时F1X就是一个无穷小了
反过来若FX是无穷小且FX不等于0
那么我们就可以得知F1X是一个无穷大
我们就以第1条来分析一下
我给出一个任意的一平方大于0
FX是一个无穷大量
我现在要证明F1X是个无穷小量
也就是它的绝对值要小于任意的衣服洗了
那么在这里面我们取的M只要取一批浪分
之一
显然证明就成立了
这样我们知道无穷小和无穷大之间的转化
关系
今后的无穷大的问题也都可以转化成无穷
小来进行讨论了
接下来我们就来看无穷小的性质
先来看第1个
性质
有限个无穷小量的和仍然是一个无穷小量
我们来证明一下
我们先以两个无穷小量为例
阿尔法和贝塔是X趋近于X0时的两个
无穷小量
那么根据它的定义
任意的if写了大于0
我们都可以找到德尔塔
E和德尔塔2
这样给出了两个去心邻域
使得阿尔法在去心邻域内小于12复习了
贝塔的绝对值在去心邻域内也小于12P
了
那么接下来我们取德尔塔
E和德尔塔二中小的这一个量为德尔塔
那么这时得到的去心邻域内
我们就可以保证这个式子是成立的
也就是阿尔法加上贝塔的绝对值
小于等于阿尔法
绝对值加上贝塔的绝对值
也就是小于任意的一个小亮一疲劳了
那么这个式子说明什么
它说明阿尔法加上贝塔仍然是一个无穷
小量
我可以把两个无穷小量拓展到多个无穷小
量
结论仍然成立
下面我们再来看第2个性质
一个有界函数和无穷小进行乘法
得到的仍然还是无穷小量
我们来证明一下
又是有界函数
现在我们给出它的一个戒M那么对应着M
存在着一个德尔塔
我们把德尔塔社为德尔塔E在去心邻域内
又保证它是小于等于M的
再给出一个无穷小量
当X趋近于X0时
阿尔法是一个无穷小量
我们就可以用if希腊德尔塔羽联对它
进行描述
对于任意给的一评论大于零
我都可以找到对应的一个德尔塔2
那么在X0德尔塔2的去心邻域内
可以使得阿尔法的绝对值是小于等于大M
分之一批log
现在我取德尔塔
E和德尔塔二中小的这一个为德尔塔
那么在他的汽新邻域里
我们就可以保证又和阿尔法相乘
他是小于等于M和M分之1
希望相乘也就是等于衣服去了
这样我们就证明了一个有界函数和一个
无穷小相乘
它仍然还是一个无穷小量
也就是当X趋近于X0时
又和阿尔法是一个无穷小
有了这个定理
接下来我们可以给出以下两个结论
第1个结论
常数和无穷小相乘仍然是无穷小
第2个结论
有限个无穷小的乘积还是无穷小
下面我们来看一个例子
求X趋近于无穷时X分之sin X的
极限
我们来看一下
显然撒音X在定义域范围内它是小于等于
1的
他是一个有界函数
那么X分之1在X趋近于无穷时
他是趋近于零的
也就是它是一个无穷小量
那么用刚才刚刚给出来的定理可知
一个有界函数和无需容小量相乘
结论
它仍然是一个无穷小量
我们把这个函数画一下
可以看到当X趋近于无穷时
它是趋近于零的
也就是Y=0
是X分之sin X他的一个渐近线
下面对今天的内容进行一下小结
今天我们主要学习了无穷小量和无穷大量
并给出了两者之间的关系
两者之间互为逆
FX是无穷大时F1X就为无穷小
最后我们又给出了无穷小的两个性质
第1个性质
有限个无穷小的和还是无穷小
第2个性质
有界函数和无穷小的乘积
仍然是无穷小
好
这一节课到这里就结束了
同学再见