在微积分课本中
经常可以见到这种问题
证明当x趋向--
比如x趋向1时
再想一个有趣的函数
想一下
3x(x-1)/(x-1)
你们可能会说
为什么分子分母上
都有x-1呢？
这是因为
很明显 分母这不能为0
所以这个函数在x=1时
是没有定义的 对吧？
如果仅仅用3x
这两项在x不等于1时相消
所以实际上除了在x=1有个空洞外
它和y=3x是一样的
这就是我这样写的原因
因为我想要求极限
而在函数无定义处取极限
是很有趣的
书上的要求是
证明这个极限等于--
应该是等于3的 对吧？
证明一下
这就必须用到
极限的ε-δ定义
要证明这个问题 实际上就是证明它的意义
其意义是-- 实际上这和证明--
可以证明在给定的--
如果给出一个大于0的ε
记住 ε决定f(x)距极限值的距离
给出一个大于0的ε
为了使这个式子成立
那么我需要证明可以给出--
或者说存在--
存在一个大于0的δ
只要x和极限点的距离
也就是x和1的距离 小于δ
记住 x不能正好取在
极限点上
因为那里函数无定义
x和1的距离
肯定是大于0的 对吧？
这是这个式子的含义
我需要证明的是 给定一个ε值
那么我也可以给出一个δ
只要x与1的距离不超过δ--
这里是重点了--
只要x和1的距离
这里的距离就是指二者相减
并取绝对值
这就是距离的定义
只要x和1的距离
小于δ 那么3x--
我在这里写一下--
3x(x-1)/(x-1)
这是我们的函数 对吧？
这个函数值和极限值的距离 也就是和3的距离
就会小于ε
很多微积分课本
会概括性的给出一个式子
比如 f(x)当x趋于a时的极限
等于L 这个就是a
这个就是我们的f(x)
这个数就是L了
总之 如果要求证明这个式子
实际上就是要证明下面这个
给出一个ε
必须要证明对于给你们的任意ε
或者说是你们给我的
假设是我要来证明--
那么就是任意你们所给出的ε
我都要能找到一个δ
当x和1的距离小于δ时
函数值和极限值的距离小于ε
这该怎么来做呢？
你们知道 有很多的证明题
它们就是 没有一种--
并没有一个系统的方法来解决证明题
这在很大层面是是
这些题如此吸引人的原因
但对于这类题 是有方法可循的
我出的这道题 在一定程度上说
是属于这类题中
比较简单的
但通常它们都是以这个式子作为出发点
通过算术运算
将其转化成
类似于这个式子的形式
之后会得到 这个表达式
小于ε除以某个式子
也就是一个ε的函数
只要令δ等于这个表达式
那么对于给出的ε 就可以得出满足要求的δ
比如 ε除以4 或者其它的什么
用它当做δ值
这样就完成了证明
我们在这来做一下
从这出发
我们把这里作为突破口
然后计算出一个δ
实际上应该是一个ε的函数
不论何时 给出一个ε
不论ε是什么
都可以找到一个数
这个数可能是ε除以任何东西
这样就证明出来了
来做一下
首先 可以化简一下这个式子
把这些消去
可能这时候你们会说
我们不能这样做
只有假设x不等于1时
才能消去这两项
因为x=1时 这个函数无定义 对吧？
现在是可以消去的 因为
我们考虑的只是x趋向于1
只考虑x趋向于1这一区间
并不包括x=1这种情况
所以这样做没问题
这样就简化成了--
|3x-3|<ε
然后提取公因子3
也就是
|3(x-1)|<ε
你们可能已经看出来了
这里和这里都有个x-1
所以如果能把3移到这边
那证明就完成了
3乘以某数的绝对值
等于3的绝对值
乘以x-1的绝对值
如果你们不相信
可以找一些数试一下
这项一直都是正的
这一项也总是正的
这两者大小是相等的 对吧？
当然 这个是小于ε的
这就是我们说的--
很多时候 微积分老师都会说
当这个式子成立 当且仅当这个式子成立
这是一种有趣的说法
有时候老师们会画一个双向箭头
有时候则会写当且仅当
也就是有两个f的if
这其实是说 如果这项成立 那么这个也成立
如果这项成立 那么这个也成立
大概就是这个意思
只要做一些代数运算
就可以把这两个式子进行互相转换
那么就有
这两个式子是等价的
这只是一步代数运算 对吧？
你们可以通过运算进行它们的互相转化
这两项也是等价的
3的绝对值就是3 对吧？
这我们是知道的
两边同除以3 然后就得到--
先把这个绝对值符号
去掉
因为这就是3
等式两边同除以3
就得到x-1的绝对值
小于ε/3
那么目前为止 我们完成的是什么呢？
我们证明了--
换种颜色写
我们证明了3x(x-1)/(x-1)
再减3的绝对值
小于ε
等价于(x-1)<ε/3
也就是说
当x和1的距离小于ε/3时
这个式子就成立
所以我们可以取ε/3为我们的δ
记住 关键点在于
给出一个ε 也就是给定一个距离
函数值和极限点的距离要小于给出的数
也就是函数值必须至少和极限值相距那么近
这就是函数值和极限值的距离
对吧？
这是f(x)
这是极限值
必须要这么近
那么我可以说
当x和1的距离
或者说x和极限点的距离
小于这个的时候
才能满足要求
我们完成了这个的数学证明
无论给出什么数--
如果想要和极限值的距离不超过1
f(x)和极限值的距离不超过1
那么我就可以给出δ=1/3 对吧？
因为这个式子是成立的
我把这写出来
假设选1作为ε
那么需要证明的是
存在这样的一些x
只要x的值不超过--
存在一个δ
只要x与1的距离不超过δ
那么函数值和极限值的距离
也不会超过1 对吧？
如果给出的ε
等于1
那么我就可以得出结论
刚才已经证明过了 左边这式子等价于
x-1的绝对值小于给出的数除以3
如果把这个方程画出来
是有助于理解的
画出x轴 y轴
坐标轴建好了
这个函数和y=3x是一样的
只是在x=1处无定义
把图画出来
斜率是
斜率是3
所以会很陡
应该是这样的
在x=1处 也就是这个点 有个空穴
对吧？ 这是3
我们已经证明过了--
如果想和极限值的距离
不超过1
也就是说ε=1
所以这段距离是1
这已经是个很大的数了
想确保函数值
和极限值的距离 不超过1 对吧？
这是极限值
只需要取它的三分之一
只需要--
x和1的这段距离是它的三分之一
或者一般地说 这是ε
这是ε
这个是ε/3
ε/3
这样就完成了证明 因为
这意味着无论给出什么ε
都可以找到一个δ
因为无论给出的是多少
只要把它除以3
任何大于0的实数都可以除以3
任何实数都可以被3除
也就是说无论ε是多少
总可以找到对应的δ
所以 这样就利用极限的ε-δ定义
证明了该函数当x趋向1时
的极限值是3