大家好
今天呢
我们来讲第五讲
天上和人间怎么有
那么多的圆和球
天上的行星 月亮 太阳等等
自然界的露珠
橘子还有苹果等等
我们身边的足球 篮球
甚至于我们自己的头颅
还有眼球都是球状的
为什么天上还有人间
有那么多的球状物体呢
我们大家思考过
这样的问题没有
古罗马皇帝的女儿叫吉冬
想要买一张兽皮的土地在海边
一张兽皮的土地是什么意思呢
就是把一张兽皮
剪成一条条的窄条 小窄条
然后把它结成一根长绳
事先呢 谈好价钱
说我一张兽皮多少钱多少钱
确定了 随便剪 剪完了
随便圈 你圈多大
都是你的 价钱不变
但谈好价钱之后
这个聪明的吉冬
就把它的绳围成了半圆形
而且
他还说这个半圆形的
直径在海岸线上
因为她知道这个时候
面积是最大的
事实果真如此吗
实际上
那个时候就已经知道
我们有这样的一个结论
在面积相等的平面图形当中
圆的周长最小
反之 在等长的平面曲线
所围成的面积当中
圆的面积上最大
当时虽然知道有那么一个现象
但是没有形成一定的理论
直到后来才严格地
证明了我们这个结论的正确性
也就是从理论上解释了
吉冬是一个非常聪明的姑娘
那下面我们来证明一下
这一个非常重要的结论
显然证明上面的结论
只需要考虑凸的圆形就可以了
那什么是凸的图形呢
就是连接内部任意两点的线段
全属于这个图形所围的
区域内部的图形
例如 是不是 你连接任意两点
这个线段是不是一定
会在所围的这个区域里面
那为什么我们只要
考虑凸的图形就可以呢
那不是凸的图形
举个例子
这个图形根据凸的图形定义
不是凸的吧 不是凸的图形
因为连接这两点的时候
这条线上在这个图形
所围的区域里面吗 不在
那么为什么不考虑这种图形呢
为什么呢 同学们想一下
为什么这种图形就不可以呀
就不用考虑了
因为它如果是一个凹下去图形
那么它的线条也就
代表可以往反方向弯曲
这个图形这个线条
可以往反方向弯曲
然后呢 它的面积会增大
如果往反方向弯曲的话
面积会增大
所以线条是凸的图形
OK 怎么样 听明白没有
就是说 对于这样的一个图形
我们可以连接这两点
是不是有这么一条线
我以这条线作这条曲线的什么
对称线
或者像刚才那位同学说的样
把它怎么着 反过来
是不是就变成一个
这样的一个图形了
这样的一个图形
同学们想一下
周长和原来的图形的
周长还是一样的 是不是
没变 但是面积大了没有 大了
是不是大了这整个的这一块
所以我们要证明我们
这个结论还需要不需要
考虑这种图形 不需要了
非常好
那在证明我们
这个关于圆的结论之前
我们先来考虑梯形的情况
在上下底的长度
与高固定的梯形当中
就是等底等高的梯形当中
等腰梯形的两腰之和最短
以前是不是学过这样类似的结论呢
对于这样一个
一般的梯形ABCD
一般的梯形来说
作AD的中垂线l
既然是中垂线
那么同学看一下
AB是不是被l平分
那下面呢 不一定平分了
但是这个是垂直的吧
那我作B关于l的
对称点记为B’
因为是对称点 所以BB’
这个线段是不是被l平分
然后作CD’的中点
我记为C0 再看C0
关于l的对称点
我记为什么 B0
那同学来看一下C0
关于l对称点是在
这条线段上呢还是它的延长线上
延长线上
显然是延长线上 是不是B0
这样我们又得到什么呢
这三条线段相等是吗
相等吗 CC0
为什么等于B’C0
B0 是中点
那B’C0 为什么等于BB0呢
对称谁和谁对称
B0B’和B对称
C0和B0对称
所以这两个是不是相等
于是我们就得到了
两个梯形 AB0C0D
这个梯形 同学们看一下
这个梯形是等腰梯形吗
不是 是 是还是不是 是
因为DC0一定等于AB0
为什么
因为A和D是关于l对称
B0和C0依然关于l对称
所以BC0与AD0
这两条线是不是也是对称的
当然是相等的
再看一个题型就是
以原来的这个
一般的梯形ABCD怎么样
这两个梯形有什么特点
有什么关系 再看下底
AB0C0D这个等腰梯形
下底是B0C0
然后ABCD
这个梯形下底是BC
它们两个下底相等吗
相等
长肯定相等的
因为CC0和BB0是不是相等的
它们中间的这个BC0
是不是一样的
下底相等 上底呢
上底也肯定相等是吧
高 相等 所以得到什么
面积相等是吧
面积相等
那我们要证明什么结论呀
等底等高的梯形当中
谁的两腰之和最短
等腰梯形 那现在我们这两个
梯形AB0C0D是不是等腰的
是吧 可又有一个ABCD
一定是等腰的吗 不一定
所以要证明什么就可以了
两个梯形我们刚才是不是
证明了它们是等底等高
下面我们只要证明
等腰梯形的这两腰之和
就是AB0加什么
加BC0小于等于
原来那个梯形ABCD的
这个梯形的两腰之和
是谁
AB+CD是不是就可以了
这是我们的目标
就是说
要证明DC0加AB0
小于DC加AB
是不是
目标出来了
为此我们要做
平行四边形DCHB’
平行四边形吧
考虑它的对角线DH
现在看一下
在三角形DCH当中
DH是不是一定
要小于DC加上CH
为什么 为什么
三角形的两边之和大于第三边
再看DH小于DC加CH 是不是
再看DH的长
平行四边形对角线怎么的
相互平分
所以DH应该等于两倍的DC0
是不是应该等于两倍的DC0
没有问题 等于两倍的DC0
又因为DC0是等于谁的呢
等于AB0的 为什么呢
为什么相等
等腰梯形AB0C0D
是不是刚才证明了
它是一个等腰梯形是吧
这样我们就得到CH
实际上等于什么呀
等于BC0加上谁 加AB0
等于它们相加 没问题吧
要想达到我们的这个目标
再证谁就可以了
还差什么 CH等于谁
还要等于AB
是不是就可以了
那它等吗 等
为什么等 考虑CH平行四边形
两对边怎么的
平行且相等CH等什么
BB’ 没问题
可又因为BB’
等什么呢 等于AB
这又是为什么呀
不能无理由的相等
谁和谁对称 A和B对称
B和B’对称
所以BB’这条线与AB
怎么的
是不是两条关于l的对称线呀
相等 没有问题 是不是
相等
那这就得到了CH等于AB
可以了吗 可以了
这样得到什么
DC0加AB0小于DC加AB
是不是这里呀 达到目标了是吧
那也就是说到此为止
我们就证明了我们想要得到的
关于梯形的结论 对不对
什么结论呢 还记得吗
等底等高的梯形当中
等腰梯形的两腰之和最小
是这样吧
考虑完梯形 下面呢
我们就来考虑圆的
结论当中的第一部分
证明什么呢
设这个Ω 是具有已知面积
这个已知面积可以设为S
并且周长是最短的
这样的一个平面图形
那我们往证这个时候
这样的图形Ω就只能是什么
只能是圆
这个是不是感觉到有点超出
我们的想象范围
一个图形面积是固定的
周长最小的时候
它就只能是圆吗 是的
它只能是圆 为什么呢
我来看一下 任意作一条直线l
没有问题呀 你随便在哪个方向上
作都可以
任意作一条直线l
因为我们的图形Ω是不是
只考虑的是凸的呀 是不是
那就是说既然考虑是凸的图形
那我一定可以在Ω上面
找两个点P1、P2
过这两个点作直线l的垂线
设这两条垂线
交直线l于点Q1 Q2
使得这两条垂线
所加区域之外没有Ω的点
这由凸的图形定义可以知道
而这样我们是不是
就得到了一个线段Q1Q2
下面呢
我对Q1Q2给了什么呢
2n等分 2的n次方等分
我对等分点
每一个等分点作l的垂线
同学们看一下 这么一来
这2n条的垂线就把
Ω分成了多少份
2n个小窄条 或者是条形区域
是不是这样 一个一个一个
当n充分大的时候我们可以想象
这一个小窄条所在的
区域就是Ω一个圆形
这个小窄条条形区域实际上
就可以看是一个什么呀 小梯形
当n充分大的情况下 是这样吗
我任意找一个梯形ABCD
是这样吧
但是这个梯形一定是等腰的吗
没说 到此为止
我们还得不到这个结论 对不对
然后 对于这个小梯形所在的
这个条形区域内
就是这一个条形区域内
以l为对称轴作一个等腰梯形
这个等腰梯形
我标记为是A’B’C’D’
可不可以使得这个梯形
与上边的小梯形ABCD
等底等高
能作出来吗 可以 没有问题
等底等高 根据我前面证明的
就是关于梯形的结论来说
等底等高的这两个小梯形
当然它们面积肯定是相等的
是不是等梯形的两腰之和最小
那我能得到A’B’C’D’
它的两腰之和是不是
一定要比上边这个小梯
形两腰之和要小呢
一定小吗
不一定 只能说什么 小于等于
或者说AB加CD大于等于
A’B’加C’D’
因为你根本就不知道ABCD
这个梯形在这个时候
它是否是等腰梯形
如果它是等腰的
这个地方就变成什么了
等号等底等高的两个等腰梯形
它们的两腰之和不相等吗
等底等高的两个等腰梯形
显然是一样的 是不是
那就是说 等号成立
当且仅当ABCD也是等腰梯形
那它是吗 现在不知道是吧
那下面我们来看
由刚才的分析
我们知道A’B’C’D’
这个小梯形与我们上面
那个小梯形ABCD是等面积
但是周长是不是小于等于它的周长
我这是其中一个窄条里作出来的
同样的道理
我考虑其他窄条
这个 可不可以一样作一个梯形
这里是不是一样的
对应一个个等腰梯形是吧
另一个
是不是同样的作出来
想象一下
我把我们作出来的这些等腰梯形
一个一个一个都作出来
它们并成的这个图形记为什么呢
记为我们的一个Ω’
那同学还想一下
在Ω’和Ω会有什么很关系呢
面积相等 为什么面积相等
为什么 噢 每个小梯形
对应的小梯形是不是面积相等
周长呢 周长怎么样
小于等于Ω’的
周长小于等于Ω的周长
为什么呢
这又是为什么
还是由刚才的这两个小梯形
作比较得到的结果 是不是
因为同样的道理
其他的那些小梯形
是不是都可以得到类似的结果
没有问题
很好 同学们非常聪明
可是我们对Ω有什么假设来着
面积相等的图形当中 怎么着
它是周长最小的
现在来看
找到一个面积和它相等的图形
但是周长怎么着
小于等于Ω 这怎么样
只有一个结果
它们的周长必须怎么着
必须相等 是这样吗 是
必须相等 由这些图形
这个Ω’这个图形的来源
我们都知道
它的周长等于Ω
那么它就逼迫着这
两个小梯形A’B’C’D’
与ABCD这两个小梯形怎么着
相等 什么相等 面积相等
周长也一定要相等
是不是这个样的
它的周长也一定相等的话
说明什么
周长都相等
而且我们作图的时候
要求它们必须是什么 等底等高
周长又相等 得到什么
两腰之和是不是相等
那就是说这里的不等号必须怎么着
是不是必须变成等号
这说明什么问题
刚才分析了什么时候这里的
大于等于号才能变成等号呢
是不是只有上面这个梯形ABCD
也是等腰梯形的时候才能得到等号
所以ABCD就一定是什么
等腰梯形 没有问题
它是等腰梯形
那就是说这个等腰梯形
是不是一定有一条对称轴
而且就是作AD和BC的中垂线
那实际上这个对称轴
就是我们Ω的对称轴
由这个ABCD它这个图形
可以看出来吧
那我就可以
就一定存在这样的一条线
l’是Ω的对称轴
而且这条线是不是与l平行
没有问题吧
这作的都是垂线 是不是
没有问题 所以说明什么问题
由l的任意性
我们这个l是不是任意画的一条线
刚开始我就说了任意的方向都可以
所以 说明Ω在任意一个方向上
是不是都有一条对称轴
什么样的图形才满足这样的特点呢
只有圆 是不是
那这个时候我们就
证明了等面积的平面图形当中
谁的周长最短 圆的周长最短
现在咱们同学再来看这个结论
还觉得它意外吗
相同面积的周长最短的图形
它非必是圆不可
是不是
这是我们结论的第一部分
我们再看它反过来
反过来就简单多了
上面我们证明等面积的
平面图形当中
圆的周长最短
反过来就是等长的平面曲线
所围的面积当中圆的面积怎么着
最大 这个怎么证的 是
一个非圆
注意是非圆
还有一个圆
使得这两个图形怎么着
周长相同 都是L
用SΩ表示Ω的面积
Sc表示C的面积 反证法
假如SΩ大于Sc 怎么着
我就作与C同心的一个圆C’
使得C’的面积是SΩ
SΩ是谁的面积
非圆Ω的面积
是不是 面积相同
其中一个是圆
根据我们原来的结论
圆的周长最短
所以怎么着 C’的周长
一定要怎么着 比L要小
别忘了 我们这个C的周长也是L
从圆形上来看 C’
我们作的时候要求C的面积是谁
是Ω的面积
现在我们假设Ω的面积怎么着
比C大 那就定C’的面积
要比C怎么着 要大
从图形看
同心的两个圆 C’的面积
比C的面积要大
无论如何你也做不到让C’的周长
比C的周长要小吧
所以我们能得到什么L’
就一定要大于等于L
可以我们已经的
结论L’小于L怎么着
相矛盾 出现矛盾了怎么着
假设错误 结论成立
所以我们证明了等长的平面曲线
所围的平面图形的面积
面积中谁的面积最大
圆的面积最大
关于平面图形的这个结论
很自然的可以推广到立体的情况
就是在表面积相等的
所有立体当中球有最大体积
在体积相等的所有的立体当中
球具有什么 最小表面积
当然 这个结论的证明
和我们圆的证明非常非常类似
只不过把等腰梯改为什么
这样的一个
三角柱ABC-A’B’C’
这个时候了
我们就证明了下面这样一个现象
就是我们吃水果的时候呀
总是希望刨开水果皮后
那个果肉越多越好 对不对
那由这个原理我们就知道
这个水果就一定要是什么型的
球状的 自然界确实是伟大
它已经按照数学上的最优化的要求
长出了许多球状的水果
一滴露珠为什么要是圆球状的呢
水的表面张力就
像一张收缩的橡皮膜一样
尽可能地缩小表面积 对不对
这就是我们自然界的尽量节约
表面积的原理
根据我们刚才的数学理论
那对于一定质量的水滴来说
它要想尽量节约表面积
它就一定是什么样的 球状的
所以 自然界尽量节约
皮肤的原理就被数学家们道破了
好了
我们的第五讲就讲到这儿
谢谢大家