好 今天是微分方程日
我觉得吧 虽然这不在预修课程考试大纲内
但我们已经学了很多了 是时候看看微积分的应用了
我们学过了关键函数的导数
做好了解微分方程的准备
就是它了
看着这个方程
这是个微分方程 看看
方程包含y的导数和y本身
而且 观察下
它还是个二阶方程
因为含有二阶导
它还是线性方程
因为… 二阶导 一阶导 y自身 都是单列的
没有像yy'这样相乘的项
实际上 所有的乘法都是数乘
m r k
它们不过是些来自问题本身的常数
所以这里是常系数 线性 二阶 微分方程
看看它怎么解
我们办得到
因为 这涉及到一些我们已知如何求导的函数
这里举2到3个特殊例子吧
这些方程看起来很纯粹
一个特殊的例子是 不要这个二阶项
我就选…
写成这种简单的 最清晰的形式
也就是y的导数等于y的某倍数 一阶方程
我们知道方程的解是什么函数
导数等于自身的是指数函数
这里还有一个常数因子a
这就需要e的at次方
通常
实际 我们预计
一阶方程的解中 会出现某常数
之后我们知道 它可以用来匹配初始条件
这个常数出现在这里
…e的at次方是方程的解
求导 a就下来了
这里是C倍e^at 因为
方程是线性的
这非常棒
只有指数
再看这个
这一个 没有中间项
只有二阶导和函数本身
还是选取合适的字母
把ky放到另一侧
加上一个负号
那么这个ω²就是
它等于k/m
整理了下这个方程
我要说的是
这个方程我们能解
二阶导等于负的函数本身
这个我们见过
这样的方程用正弦和余弦都能解
这样二阶方程就得到2个解
同前面的a一样 这里也有个常数
这里需要对正弦和余弦进行微调
使得求两次导时 ω下来两次
所以这里的解是
一个解是cosωt
cos的二阶导是-cos
也就是这里要的
而因子ω会出来两次
而另一个解是sinωt
原因还是一样
同原来一样 对于二阶方程
我们预计会有两个待定的常数
这里是Ccosωt
然后是Dsinωt
这就是此方程的通解
这我们知道
这两个非常重要
还有一个挺简单 也有些重要的方程
假设后面什么都没有 只有
这是第三种特殊情况
d²y/dt²=0
我们断然知道 这个的解
什么样的方程二阶导为0
显然 常函数算一个
常数的一阶导就是0了 别说二阶
然后 t也是
其一阶导是1
然后 二阶导是0
所以 这里出现的是t的幂函数
这里是头两个幂函数t的0次幂和1次幂
这个很特殊的情况中是这样
而这里是正弦和余弦
这里则是e^at
好了 下面才是这一讲的精髓所在
这个方程的解
还可以考虑三阶 四阶 任意阶的情况
是这些已知函数的乘积
指数函数
乘以正弦 余弦
乘以幂函数
解常系数微分方程 只需要这些了
所以我计划 继续解… 继续讲…
这个方程 其实我本该早点告诉大家的
这是工程领域的一种基本方程
m表示某种质量
我还是作个图吧
你们就知道为什么 我用t而不用x了
因为这里时间是自变量
什么情况呢
我画给大家
随时间变化的情况大致是…
这里的问题是…
关于某根弹簧的
弹簧下方悬挂有一个重物m
这是什么情况呢 如果我…
我要将物体往下拉 拉伸弹簧
然后放手
弹簧会怎样
弹簧会向上拉回物体
弹簧会将物体拉回去
然后弹簧会受到挤压并缩短
此时不是拉伸 而是相反
弹簧会被压缩
之后
压缩之后 它会推动物体
被压着 弹簧就会往下推
再次把物体往下推
下去了又上来
于是得到 振动
振动就是这里的情况了
关于振动 有什么现实生活中的例子吗
弹簧是一个
还有
时钟
特别是那种老爷钟
钟摆会摆动 来来回回
我把钟也算上
还有 音乐
小提琴弦也可以振动
这就是美妙音乐的来源
我们的心脏
砰砰 砰砰 也是规则的振动
还可以写上 分子
它们振动非常之快
所以我今天要讲的这个方程
会出现在 生物学
化学中 对于分子 它是很重要的方程
对用到弹簧的物理 力学 工程等领域
对经济学 到处都要用到它
通过选择不同的系数
可以建立各种最简洁的基础模型
下面 我以弹簧为例来讲解
不过记住 此方程可以解释所有的振动
实际上 这种模型中 通常有r=0
那么我们取r=0的情况
那么 方程是怎么来的呢
我稍微讲下相关的物理如何
然后再回头讲数学部分
解方程
这里的物理其实就是牛顿定律
F=ma
这里的m表示质量
a表示加速度 即二阶导 对吧
不要介意 我把它写作二阶导形式
加速度
这里质量是常数
这里不是接近光速时候的情况
所以不考虑质能之间的相互转换 质量是常量
那么力是什么
对于弹簧的力
对于弹簧
我们知道什么
当y… 这是y的正方向
它表示 弹簧的位移
向下时 y为正时
弹簧有回向的拉力
而弹簧的力与y成正比
而比例系数是常数k
这个因子是…
这里是往回的拉力
与y正方向相反
由于y为正 弹簧拉得很长
弹簧力在往上拉
往负方向 向上
所以需要这个负号
这个k表示弹簧的硬度
这是胡克定律
弹簧的弹力
与拉伸程度成正比
而这个常数k称为胡克常数或弹簧常数
那么 如果我把-ky移到另一侧
得到+ky 形如上面的方程
这个方程可以套用 这种情况的解
看到了吗 这里其实就是r=0时的模型
r=0 因为 r表示阻力
r表示空气阻力
阻尼
而现在 我们没有这些
这里是一根一直振动的弹簧
永不停歇
沿正弦和余弦振动
这就是我们的弹簧 它会一直振下去
而常数C和D则取决于初始状态
它是从静止开始
如果是从静止开始 则没有正弦项
以后会知道C和D 其实很好求的
我们的问题是解方程 这个我们已经搞定了
这个方程我们会了
回想一下 呃… 重复一下
移项到另一侧
然后除以k
然后… 噢 抱歉 应该是除以m
于是得到ω²
ω²等于k/m 好
噢 是k除以… 没错
好 这种情况很简单
只有sin和cos
下面 我们来点阻力
下面 回到我的方程
再写一次 m y'' 二阶导
加上2ry' 一阶导
加上k倍零阶导数y 等于0
现在 对于任意常数m r k 我想求解此方程
好
很棒的是
指数函数可以求出正确的答案
这是最好的方法了
这个就是微分方程课程中最重要方程了
听微分方程课程讲过这个之后 你很容易忽略
这个是最重要 也是最简单的
为什么说简单呢 因为这里的核心思想
这里是核心思想
试试指数函数y=e的某某乘以t次方
这个某某 我写作λ
也许你更喜欢用C表示 我倒无所谓 什么都行
这里用λ 只是一种希腊字母的习惯表示
试一下这个函数
把这个代入方程
然后找出合适的λ
这个核心思想 非常简单
把它代入方程
会怎样 这里是y 求二阶导
我还是从不求导的开始吧
这里有 ke^λt
而这边是0
再回过头 来看一阶导
有2r 乘以这个的导数
y' 只需要把这个代入方程
它的导数是什么
我们知道 这个的导数
提个λ下来 没得说
λe的λt次方
这就是导数了
这一个呢
首先有一个m
y'' 两次求导得到什么
把λ提下来
两次
得到λ²
e的λt次方
不一会 这就非常明了了
我要消掉
公因式 e的λt次方
它显然不是0 两边同除以它 很安全
然后
把得到的方程写出来
好 我写得宽松点
mλ²+2rλ+k=0
这个方程 只不过是普通的二次方程
高中的代数方程
λ取平方 因为这里求了两次导 二阶导
于是就需要二次公式
应该有两个解 两个λ
这是应该的
二阶方程 理应有两个解
e的λ₁t次方 e的λ₂t次方
两个指数函数 都是方程的解
那 λ是多少
先回忆下二次公式吧
有点复杂 也不算太坏
我是记得这个公式的
这里的2对二次公式挺有用的
这样就有-r±根号下
r²
这里就不是-4km了
因为这个2 所以只是-km
然后除以m
好的 了不起
求出了两个根
代点数字进来
其实这里就是在 解微分方程
不错
下面代入数字
看看典型的情形
当然 随着所选数字的改变
会得到不同的λ
而且 随着数字的变化
这个会在指数情况和振动情况之间游走
我这里举个例子 例一
取m=1
y''
加上 取r=3 得到6
y'
然后取k=8
y等于0
好 这就是一些数字了
数字分别是m=1 r=3 k=8
我们于是可以算出这个方程的解
或者说两个解 这里有两个λ
还是试着用e的λt次方
代入得到λ²
然后是6λ一次
然后是8 没有λ提出来
所有的都乘以e的λt次方 最后消掉了
等于0
然后解这个方程
可以直接用因式分解 λ+2是一个因式
它乘以λ+4等于0
或者也可以代入二次公式 两种方法都行
结果λ等于-2或-4
就是这两个解了
两个衰减率 可以这么叫
因为它们出现在指数上
解是多少呢 y(t)
那个方程的解
通解中包含有常数C和D
这里是e^(-2t)和e^(-4t)
两个λ都在指数中
得解
就是这样了 我们会解微分方程了
这些方程基于三个最重要的导数
即指数函数 正弦余弦 及幂函数
好
下面是例二 例二只把8换成10
这里变成10
这其实差别是蛮大的
不只是一个数字的差别 差别会非常显著
好 我把10的这个例子 写在这边
现在的方程是1y''+6y'+10y=0
记住撇号代表导数
还是 试试e的λt次方
代入
二次求导得到λ²
一次求导得到λ
不求导的还是10 等于0
这就是求λ的方程
啊 这个就无法因式分解了
实际上
我最好还是用二次公式来解这个
二次公式是
两个根 λ
还记得吗 它是… 我再写一下吧
公式是 -r±根号下(r²-km) 整个除以m
这里的解就不再是2 4什么的了 这里r=3
那么 算出来是-3
±根号下… r²=9
减去
1乘10
km=10 最后除以1
哈 看到不同了吗
得到了负数开根号
那边算的时候 这里是根号下正1
得到-3+1或-3-1
这样才解得了-2和-4
这里就大不相同了
而这里是根号下-1 所以解是-3±i
所以可以求出解y(t)
明白了吗 这是i
i=根号下-1
这个我们能处理
这里是复数 i是虚数
这里-3+i是一个复数
我们必须接受 这就是λ
所以还是乘以C
然后这里的λ是-3+i 再乘以t
而第二个解是e的(-3-i)t次方
这就是通解
可以说搞定了 不过
你也许会感觉很怪
我们怎么处理这些虚数
它们怎么就掺和到 完全是实数的微分方程里面来了
原因是 解并非实数
解是-3±i
但我们能让它变回实的
其实 这只是答案的一种写法
我这里要用到前面的内容 来展示另一种写法
用到欧拉发现的美妙性质
下面 请允许我用欧拉公式 来结束这个例子
它关于e的it次方
可以看到
这里有实的e^(-3t) 表示衰减
弹簧由于空气阻力在减慢
我们还有e的it次方
这要用到欧拉公式
欧拉公式表示 e^it=cost+isint
通过欧拉公式 我们看到了振动
我们直接得到e的it次方
但欧拉… 第二天 欧拉意识到
e的-it次方也有公式
也许不用等到第二天他就发现了
这里是-isint
不管是e^it 还是e^(-it)
它们都能被正弦和余弦取代
我们可以替换掉e的it次方
用第一个公式
而e的-it次方 用下面的公式
最终结果是
我就直接跳到结果了
最终结果中包含另外一些常数
我们有cos… 噢
我最好别漏了e的-3t次方
这也是答案的一部分
这不能漏了 e^(-3t)表示振动的减弱
r代表阻力
乘cost 后面是e^(-3t)sint
很好
通解
回到实数范畴
这里描述的是阻尼振动
它正在减振 减慢 而且…
振动逐渐衰减
振幅减小 弹簧有点像…
就像这里有个减震器一样
振动逐渐平息
很快回到平衡位置
在平息的过程中 振动会来回经过平衡点
也许你会问 这也是这一讲最后一点内容
幂函数何时会出现
t什么的何时会出现
之前我们看到了指数函数
看到了sin和cos
再看最后一个例子如何
写在这个角落里
前面是y''+6y'
然后这里不再是8或10
这里现在是9y
等于0
这是例三 它也能解
我们还是用y=e的λt次方
代入
求两次导 得到λ²
λ来自一阶导 9来自零阶导
得到了一个二次方程
还是会得到两个解
这里有点问题
因式分解
得到(λ+3)²=0
所以结果λ中 -3出现了两次
两次
两个λ碰巧相等 都是-3
这里没有复数
只有两个碰巧相等的实解
此时
-3告诉我们e^(-3t)还是解
另一个解 怎么求呢
二阶方程需要有两个解
显然不能再用e^(-3t)了
此时我需要第二个解 它在这种情况下出现
这里比较特殊 这种特殊情况具有二重根
解一个是e^(-3t)
另一个 是te^(-3t)
这就是今天最后的内容 也许该写下来
写在哪呢
啊 把这个弄下来 就写这吧
我解的是这种特定情况
y等于e^(-3t)的倍数 没问题
但后面不能简单重复
后面 也正是因子t该现身的地方
你们可以把这个代回到方程 顺便练习下乘法法则
把这个回代到微分方程 会发现
多余的都消掉了 方程成立
那么 下结论了
线性常系数微分方程
通过e^(λt)通通可以搞定
当然 λ也能求出
如果λ是实数
结果是指数函数
如果它是虚数 解是正弦和余弦
如果得到重根
因子t就会出现
这可以看作是特殊的异常事件
就这些了
[线性]常系数微分方程
我们宣布征服
大家都能搞定
谢谢收听
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