在这个视频中 我想要给你们介绍
等比数列的概念
关于这个话题 我有很多更深入的视频
但是这是个好的起点
当一个人和你们谈论等比数列时
你就可以理解他们说的是什么
现在 一个好的起点就是 数列是什么？
数列是 你们可以想象 只是一系列数字
所以例如 这甚至不是个等比数列
如果我只是说1 2 3 4 5
这是一系列数字
不是等比数列 但是是个数列
等比数列是个特别的数列
或者特别的一系列数
每个数都是
前一个数乘以一个固定的数
我来解释一下
我们设第一个数字是2
然后用2乘以3
所以把它乘以3 得到6
然后6乘以3 就得到18
然后18乘以3 得到54
这样一直下去
所以我只要一直乘以3
所以我开始了 如果要在这里做一个标记
这是我的第一个数
在我的数列中 我把它叫做a1
每当我把它乘以一个同样的数
这个数经常被叫做公比
所以这种情况 a1=2
公比等于3
所以如果有人说 有一个等比数列
a1等于90 公比等于-1/3
这就意味着 数列的第一项是90
第二项是-1/3乘以90
这是多少？ 这是-30 对吧？
1/3乘以90是30 然后加上这个负号
然后下一个数是1/3乘以这个
所以-1/3乘以这个 1/3乘以30等于10
负号消掉了 所以就得到+10
然后下一个数就是10乘以-1/3
就是-10/3
然后下一个数就是-10/3
乘以-1/3 所以就是正10/9
你们可以继续写这个数列
所以这就是人们说的
等比数列
我要在这里做一点区分
这经常让我迷惑
因为这些术语经常用在同样的环境下
这些是数列
这些是数字的序列
2 然后6 然后18 90 然后-30 然后10 然后-10/3
然后 不好意思 这是10/9 对吧？
-1/3乘以-10/3 负号消掉了
对 10/9 我不想在这里犯错
这些是数列
你们可能也看到过级数这个词
你们甚至可能见过等比级数
级数 级数这个词的最传统用法
就是数列的和
例如 这是等比数列
等比级数就是90加-30加10
加-10/3 加-10/9
所以一般的考虑方法是
级数是数列的和
我只是想让这说得通
因为当我一开始学这些东西的时候
它让我迷惑过
但是不管怎样 我们回到等比数列
做一个关于这个的应用题
所以题目告诉了我们
安妮从水面上的桥上蹦极
刚开始跳的时候 绳子伸长了120英尺
所以a1 刚开始跳 绳子伸长了120英尺
我们可以这么写
我们可以写 跳 然后绳子伸长了多少
所以刚开始跳 第一次跳 绳子延伸了120英尺
然后题目说了 下一次
伸长的长度是原来的60%
然后每次反弹伸长的长度都是
前一次伸长的长度的60%
所以这里 公比
我们数列中的每一项
都是前一项的60%
或者是0.6乘以前一项
所以第二次 就会伸长这个长度的60%
或者说0.6乘以120
这等于多少？ 等于72
然后第三次弹跳 就会拉长72的60%
或者是0.6乘以这个
所以是0.6乘以0.6乘以120
注意 在这里 所以第四次弹跳
拉长的长度就是0.6乘0.6乘0.6乘120
这个长度的60% 所以每一次都是前一次的60%
所以如果我们想用公式描述
根据之前我们定义的方法
所以第n次起跳拉长的长度 是多少？
所以我们看一下 120乘以0.6的多少次方？
是n-1次方 我怎么得到的？
我在这里多写一点
所以这就等于0.6- 我先写上120
这就等于120乘以0.6的n-1次方 怎么得到的？
我们把第一次弹跳定义成拉长120英尺
所以当n=1 就得到1-1=0
所以是0.6的0次方 这里就得到1
这就是第一次弹起的情况
然后第二次 这里是2-1
注意2-1 是1次方
这里就恰好是一个0.6
所以算出这是n-1 因为当n=2
就有一个0.6 当n=3
就有两个0.6相乘
当n=4 就有0.6的三次方
所以不管n是多少 我们要取0.6的n-1次方
当然我们还要乘以120
现在 题目还问我们
第12次反弹会把绳子拉长多少？
这里 我要用计算器
实际上 我把这改一下
这不是错的 但是这讲的是反弹
我可以把往下跳叫做第0次反弹
我改一下
这不是错的
但是我想这个问题应该是这样的
所以你们可以把初始的长度看做第0次反弹
所以不用标记跳下去 我们标记成反弹
所以初始长度就是第0次反弹
然后这是第一次
第二次 第三次
然后公式就变得简单多了
因为如果要说第n次反弹拉长的长度
公式就变成了0.6的n次方乘以120 对吧？
在第0次反弹 就是原始长度
就是0.6的0次方 就是1乘以120
在第一次反弹 0.6的1次方 一个0.6
0.6乘以之前的长度 或者之前反弹的长度
所以这里用反弹进行了表示
我认为这就是出题人想让我们做的
所以第12次反弹是怎样的？
用这个标记方法
所以如果要求第12次反弹 把计算器拿出来
我们要求120乘以0.6的12次方
希望计算器能按照正确的顺序计算
因为指数的优先级高于乘法运算
所以我只要求0.6的12次方
所以这就等于0.26英尺
所以在12次反弹之后 她几乎不动了
在第12次反弹 它就只移动了3英寸
希望你们觉得这有用
我为这有点分歧道歉
但是在某种程度上 我认为这是有好处的
因为我们总是要确定
n和结果是匹配的
所以当我说到第一次弹跳 我说 这是1
结果是0.6的0次方 所以n要减去1
但是当我发现这是用反弹表示的时候
这就变成了第0次反弹
这是0.6的0次方 这说得通
这是第一次反弹 所以这是0.6的一次方
第二次反弹 0.6的2次方
这能让方程变得简单点
不管怎样 希望你们觉的这有趣