今天，我想要給你們一些腦力激盪
並且我也希望你們能在評論欄做些討論
因為我知道Youtube是一個良好的討論園地
所以我很期待
問題是：這個等於什麼？
這是一個簡單的級數和
它從1開始
然後減掉1
然後再加1，然後再減1，然後再加1
然後再減1，然後再加1，然後再減1
我就這樣無止境地交替寫下去
希望你能懂我在寫什麼
所以，這個級數等於多少？
其中一個可能的答案是，如果我這樣去括號它 --
這裡，這裡，這裡，以及這裡
你可以發現，每個括號都是(1-1)，加上(1-1)
加上(1-1)
每個括號都等於0
所以你會得到無止境的0+0+0+0
所以這會等於0，是吧？
這是其中一個可能的答案
問題是，這裡存在另一種答案
如果我再做一次，但這次我這樣去括號
像這樣
插進加號，插進加號
所以我讓1加上(-1+1)=0
加上 (-1+1)=0
等等等等...
每一個括號都是0
所以每個括號加起來也等於0
但，我在最前面有個1
所以這會等於1
現在我有兩種不同的答案了
我得到0，如果我這樣括號
我得到1，如果我括在不同的位置
然而，這裡還有第三種答案
並且這是一個非常奇怪的答案
我們假設一個未知數S，並且我們要
嘗試去找出S等於多少
這就是我們想知道的答案
我們來計算1減掉S，所以這等於1減掉這個無窮級數
我們來試試
我們將它寫下來
加一、減一、加一、減一
我們將括號展開，這個減號會將
所有的正負顛倒，所以我們會得到1
減掉1、加1、減1、加1、減1
這是我將括號展開會發生的事
但是，我卻得到我一開始的級數
就是那個加1減1交錯的級數
所以我又得到了S
現在，我得到1-S=S，這沒什麼大不了
這沒問題
大家都可以解出來
也就是說，如果我將S移項過來，我會得到
2S=1，然後你就可以發現
S=1/2
這是一個奇怪的答案
我得到了1/2
無止境的1與-1的和，給我們1/2
無止境的1與-1的和，給你1/2
當然，它可能等於1
也可能等於0
但，它也可能是1/2
第一個想出這個的人，是一個義大利人
他是個數學家，叫做Grandi
他在1703年發現這個
他是個和尚
也是個數學家
你知道，就是那類的人
然後，他將這個發表出來
他說，這個太奇怪了
它是0、它是1、它是1/2
這是怎麼一回事？
接著，數學社群看了看
並說，這不可能是1/2吧，是吧？
你就是1跟0去組合
這實在太瘋狂了
這不可能..
噢
等等
這似乎有點道理
它有可能是1/2
所以，這展開了一場長久的辯論
持續了差不多150年
直到19世紀，無窮級數的概念發展起來的時候
許多人認為，最佳的答案是1/2
我想要嘗試去說明，為什麼他們覺得
最佳的答案是1/2
而在那之後，我會展示另外一樣
讓你完全顛覆想像的東西
如果我們拿一些"好"的無窮和 - 因為有些好的
無窮和，也有一些"壞"的無窮和
其中一個好的是這個
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
而計算這個和的方式是 --
事實上，我要說明一種適當的計算方式
這種適當的方式就是，去計算"部分和"
我們會去依項次計算這些和
我們來寫下這個數列
我從1開始
我將它寫下來
如果我將前兩項加起來，等於什麼？
這等於1 + 1/2
等於 3/2
也可以說是1.5
現在我們將前三項加起來
1 + 1/2 + 1/4
計算一下
7/4
也就是1.75
如果我將前四項加起來
15/8，也就是1.875
繼續下一組，你會得到63/32
1.96875
你可能會發現，它們越來越靠近2
如果我將它寫成一般項，會得到
2 - 1/n
而你可以發現，當n越來越大，這項會越來越小
最後消失不見，所以你只會留下2
而數學家證實了
這個無窮級數等於2
但此方法並不適用於計算Grandi's級數
我們來看看”部分和“
第一個是1
然後你將前兩項加起來
會得到0
將前三項加起來，又得到1
將前四項加起來，又回到0
就這樣不停地在1與0之間交替
它們沒有越來越接近某個值
所以這方法不適用於Grandi's級數
所以，我現在要說明第二個
計算和的方式
現在我要將這些部分和去做平均
就一直取平均下去
基本上是一樣的
我現在先用這數列來作說明
將第一項寫下
1
現在將前兩項"部分和"加起來
1 + 1.5，並且取平均
將它們除以2
也就是1 + 3/2，並除以2來取平均
也就等於5/4
接下來，將前三項"部分和"平均起來
1 + 3/2 + 7/4，並且除以3
會得到，17/12
到這邊，希望你了解這個想法
這個數列又再次地趨近於2
這只是另一個得到相同結果的方法
我又得到2了
事實上，這個一般項是，2減掉一團..
一團不重要的東西
看
就這樣一團
但這團東西會越來越小
越來越小、越來越小
所以你又得到2了
這只是得到相同答案的另一個方法
但這個方法，卻可以使用在Grandi's級數上面
我們來試試
我們一樣來取”部分和“的平均
這一串是Grandi's級數的“部分和”
從1開始
如果我們將前兩項平均，你會得到1+0
除以2，等於1/2
前三項，除以3，得到2/3
前四項
1+0+1+0
除以4
又是另一個1/2
前五項
你應該發現了
除以5
等於3/5
而如果你一直做下去
你會得到1/2，接著是1/2 + 1/2n
同樣的，後面這團東西會越來越小
越來越小、越來越小
這數列會趨向1/2
所以，你在將這個數列往1/2去趨近
相較於第一個方法，這個方法比較有技術性
但這是另一種我們求"和"的方法
將”部分和“去平均
但這個卻適用於Grandi's級數
它給我1/2
所以，發生了什麼事？
這兩種方法有什麼區別？
第二個方法，會求出”和“，當“和“存在時。
所謂極限是，當你會趨近于某個值
Grandi's級數並不存在極限，因為它不會
越來越趨近某個值
但這個第二個方法所求出來的和
它幾乎就是極限，但它不是
它是一個假極限
一個冒牌的極限
它擁有極限的所有特性
與極限的表現一樣
它極度相似于極限， 以至於我們去計算它來當作極限就在這
但不同的是，你並不會趨近它
現在，腦力激盪來了
我們想像在現實生活中的場景
想像一盞燈
我們去開開關關這盞燈
你開燈
你關燈
現在，如果我照著Grandi's級數
看到1，我就開燈
看到-1，我就關燈
所以你開燈、關燈
實際上這個部分和，就是在告訴你，燈是開的還是關的
如果你得到1，就代表你的燈是開的
如果你得到0，就代表你的燈是關的
接下來，進行這個實驗
開始計時1分鐘後，你開燈
再經過半分鐘，你關燈
再經過1/4分鐘，你又開燈
再經過1/8分鐘，你又關燈
你就這樣開燈關燈交替，但你會越做越快
就這樣交替了無窮次
但如果，我們將這些時間加起來
1分鐘 + 1/2分鐘 + 1/4分鐘 + 1/8分鐘 --
一直加下去
最後會得到，2分鐘
這個剛剛有說明過
如果你記得那部有關Zero's悖論的影片
那並不只是趨近于2分鐘
你可以完成並達到2分鐘
所以在這兩分鐘內，你一直開燈、關燈
無窮多次，並且你可以完成。
在這兩分鐘過後，燈是開的還是關的？
如果Grandi's級數是0，這代表燈是關的
如果Grandi's級數是1，這代表燈是關的
如果Grandi's級數是1/2，這代表什麼呢？
是代表一半開、一半關？
還是同時開、也同時關？
你覺得呢？
牠先出發了
牠先前進了100公尺
然後他們開始了競賽
阿基裡斯衝刺完這100公尺，趕上烏龜的所在地
但在這段時間內，烏龜已經往前進