同学们好 我们开始上课
我们上一节讲到了
矢量的第一种运算合成与分解
我们这一节要讲矢量的
第二种运算矢量的乘积
那么数的相乘
我们在中学都已经学过了
但是矢量的乘积跟普通数的相乘
可能要复杂一点
我们将定义三种乘积
第一种
我们定义矢量乘以标量
mA写在一起
所表示的这个表达式就表示标量和
矢量A相乘
首先明确标量和矢量A相乘
所得到的积B是一个矢量
既然是一个矢量
要问这个积等多少
那么我们就要回答两个内容
第一个是它的大小
它的大小就是把原来的A放大了
绝对值的m倍
而这个积B的方向可能有两种情况
第一种是 如果m是大于零
则B和A同向
反之 如果m小于零
则B和A是反向的
具体可以说这样 假设这是A
如果m大于零 那么乘上m以后
它的大小是变为原来的m倍
但是它的方向和原来是一样的
如果m是小于零
m是小于零
相乘以后得到的
积它的大小是原来的m倍
而它的方向和原来A是反方向的
好 这是它的定义
它的基本性质
我们这边就讲一个
那就是满足分配律
m和A+B相乘可以等于
m分别和A B相乘以后再相加
这是我们定义的第一种乘法
矢量和标量的相乘
第二种乘法叫矢量的标积
把A B写在一起
中间加一个点
就表示A和B的标积
因为中间是一个点
我们经常把标积又叫做点乘
两个矢量的标积点乘等于多少呢
首先明确它的积是一个标量
所以我直接用一个标量φ
就可以表示
既然是标量 要问它的积等多少
我们只要回答一个它的大小
等多少就行了
那么它的大小就是A B
大小的相乘再乘上
A B两者夹角的余弦
这里的θ表示的是A和B的夹角
如果我们进行这么一个操作
这里的BA和AB分别表示
B在A上面的投影或者A
在B上的投影
那么根据几何关系
这个点乘显然也可以等于
A乘上BA 也可以等于
AB再乘上B
也就是两个矢量的点乘
可以等于其中一个矢量的大小
和另外一个在这个矢量上的投影的乘积
这是我们定义的两个矢量的标积
基本性质 我们有四个
这第一个是 两个矢量的标积
是满足交换律的
这个根据定义你很容易证明
第二个也满足分配
第三个
两个矢量相互垂直的充分必要
条件是他们的标积等于零
根据前面的定义
同学们不难证明
还有最后一个性质
是A点乘A是等于A大小的平方
这个只要看一下上面的定义
也一下子就知道有这个结果
好 这是它的基本性质
第三个 我们要讲的是
矢量标积的正交分量表示
意思就是说假设有两个矢量A B
我们分别做正交分解
那么问A和B的标积等多少
好 他们的标积
等于多少呢 也就是这两个相乘
我们前面有讲过标积是满足什么
分配律的
于是你就按照分配律的法则
把两个括号展开
最后将得到这个结果
这边有很多项
但是 这边有很多项
有非常多项是等于零的
那么下面的这些性质
希望同学们能够记住
就是单位矢量之间的点乘
不同方向i j k这三个单位矢量
不同方向的单位矢量的
点乘一定等于零
而同方向的单位矢量的点乘等于1
根据这个性质你不难看出
只有我画线的这三项不为零
于是最后的结果是
两个矢量标积的正交分量表示
是这样
只要把它们对应的分量相乘
然后再相加就行了
这是矢量的标积
接下去再讲矢量的矢积
把A B写在一起 中间加一个叉
我们就表示A B的矢积
因为中间是一个叉
所以我们把这种积又叫做叉乘
两个矢量的叉乘所得到的结果是什么
首先明确
它是一个矢量
所以要回答这个积等多少
我们要回答 两个内容
第一个是大小
大小等于多少 等于ABsinθ
这个θ是AB之间的夹角
如果用几何关系
A B和θ分别这么表示
然后大家不难看出
ABsinθ表示的就是什么
就是以A B为邻边
所作的一个平行四边形的面积
所以我把这边的积用S来表示
因为S这个符号经常表示面积
好 这是大小
方向
方向是这样
首先S一定垂直于AB所决定的平面
意味着S既垂直于A又垂直于B
但是垂直于一个平面的方向
可能有两个
具体按照右手螺旋定则
从A沿着一个小于180度的角转到B
大拇指所指的就是S的方向
具体来说
S大家不难判别就是这个方向
好 这是它的定义
包括大小 方向等多少
它的性质跟点乘对应的也有四个性质
希望大家进行比较
第一个是点乘满足
交换律而叉乘
不满足交换律
A叉乘B等于负的B叉乘A
第二个也满足分配率
第三个 刚才讲两个矢量
相互垂直的充分必要条件是
它们的点乘等零
我现在要问大家两个矢量
相互平行的充分必要条件是什么
相互平行意味着θ等于多少零
或者180
所以不难得到
两个矢量相互平行的
充分必要条件是它们的叉乘等零
我们前面讲过A点乘A等于A的平方
那么A叉乘A等于多少
根据定义 你一下子就知道
A叉乘A等于零
好 这是它的性质
第三个我们仍然要讲矢量
矢量叉乘的正交分量表示
把A和B都作正交分解
得到这个结果
然后问A叉乘B等于多少
然后我们接下去用矢量叉乘的
分配律的法则
把两个括号中的各项展开
这个展开的结果
最后不难得到应该是这个
然后这边仍然有很多项
这个很多项等多少呢
那么希望同学们记住这些性质
这是三个单位矢量它们叉乘的性质
为什么是这样
同学们可以根据矢量叉乘的定义
来判别一下 为什么会是这样
如果是这样
那么你不难得到最后的结果
是这个表达式
当然这个矢量叉乘的正交分量表
是比点乘要复杂的多
这个公式如果能记最好记住
如果记不住怎么办呢
那你只好按照
分配律的法则一个个的乘出来
但是要记住这些单位矢量
它们之间叉乘的结果
好 这是矢量
这是矢量矢积的正交分量表示
我们主要要大家掌握的就是
前面的三种相乘
这最后一种简单地介绍一下混合积
它的定义是这样
我们假设有三个是练A B C
然后A叉乘B以后
得到了一个新的矢量 再跟C点乘
这样所得到的结果就是混合积
由于这边既有叉乘又有点乘
所以如果把它们乘出来
将得到这个结果 ABC的大小相乘
再乘上两个角度的正弦或者余弦
这两个角度θ和φ分别是什么呢
分别是这样
θ是AB的夹角
而φ是A叉乘B所得到的积
S和C之间的夹角
具体用几何可以这么表示
在图中θ和φ我们就看得很清楚
然后根据我们学过的几何知识
ABCsinθ再乘上cosφ
实际上是什么呢
就是以ABC为邻边所作的一个
平行六面体的体积
所以我们这边的结果会用V来表示
因为V通常表示体积
它的基本性质我们这边讲两个
我们可以把它叫做循环交换
满足这么一个关系
第三个
就是三个矢量
它们共面的充分必要条件是
它们的混合积等于零
最后再讲一下
混合积的正交分量表示
假设A等这个东西
B等这个东西 C等这个东西
那么它们混合积
最后是这样的一个结果
这个我只是把结果告诉大家
大概知道一下就行了
我们重点掌握的还是前面的
三种乘积
标量乘以矢量 矢量的点乘
和矢量的叉乘
好 那么主要的内容是这些
接下去 仍然再看一道题目
这道题目前面跟上一节讲
讲的第一道是一样的
只不过求的内容不一样
我们仍然有这样的两个矢量
我们现在要通过矢量的运算来求
以ab为邻边
所作的平行四边形的面积
以及第二个这个平行四边形的
内角等多少
那么大家只要记住我们刚才讲的
矢量的叉乘和点乘的基本性质
应该不难算
这个平行四边形的内角等多少呢
我刚才讲过 两个矢量叉乘的大小
就等于以这两个矢量为邻边
所作的平行四边形的面积
所以要算面积 我就要算什么呢
算它们的叉乘
根据ab的表达式
我们可以把这两个矢量
分别表示出来 画出一个平行四边形
然后这个S就表示它的面积
S的大小显然就是a和b叉乘的大小
于是我们要算a和b的叉乘
怎么叉乘呢 那就是这样的乘积
这样的乘积你如果能够
记住刚才的公式 那直接代公式
如果万一记不住怎么办呢
那就按照分配律一个个的乘进去
那我下面就用分配律把它们乘进去
这个乘的结果
应该展开出来有四项
这四项分别等多少 不难看出
这一项i叉乘i等零 这一项i叉乘j等k
这一项j叉乘i应该等于负k
而最后一项j叉乘j等零
于是最后的结果就是5个k
这个矢量的大小那就是5
接下去要求这个平行四边形的内角
内角应该是有两个内角
一个是这个θ 那这个θ 怎么求
大家注意在什么地方有θ
根据矢量的点乘
a点乘b等于ab的大小再乘上cosθ
于是cosθ就等这个东西
所以我只要能够算出ab的点乘
以及a的大小b的大小
那cosθ就算出来
那么具体这个并不难算
最后的结果是这个 于是这个θ
就是π/4 另外一个角度
跟它是互补的
θ'显然是3π/4
所以根据这个矢量运算
要算这个是容易的
最后我们再小结一下今天的内容
我们定义了这三种矢量的乘积
第一个矢量乘以标量
B=mA它们的大小方向分别是这样
第二个我们定义了矢量的标积
矢量的标积所得到的积是一个标量
所以我们只要说明它的大小就行了
在实际运算当中通常要
把矢量进行分解
然后得到它们的积结果是这样
第三种是矢量的矢积又叫做叉乘
那么它的定义是这样
两个矢量的矢积所得到的结果
是一个矢量
所以仍然包括大小和方向
而它的正交分量表示分别是这样
今天我们就讲到这
谢谢大家