我们离开上次卡丹格和他破碎的公式发现的三次函数的根。
卡丹知道，他的问题，必须有一个解决方案，
但不知道做什么用的平方根负数的是保存在他的方程弹出做。
卡丹差点找到一种方法，使他的公式的工作，但陷入了一个代数环，
其中一堆工作只会导致他的右后卫，他开始的地方。
花了一个多代数学家去的这条底线。
卡丹的学生拉斐尔·博贝利在关于到底发生了什么对这里一些令人难以置信的见解。
让我们记住卡丹为何被卡住了。负数的平方根问我们找了好几个，当乘以自身将产生负。
无论是积极的还是消极的数字会工作。
Bombelli第一大洞察力是简单地接受，如果正数将无法正常工作
数和负数将无法正常工作，那么也许有一些其他种类的数量在那里，意志。
现在，如果有一些其他种类的数量在那里，一个良好的后续问题是，“什么是我们要打电话吗？”
毕竟，我们需要在方程式中使用它。 Bombelli的做法是一个非常实用的一个。
不是梦想了一个新的名字和符号，Bombelli干脆让底片的平方根是他们自己的事情。
在过去，数学家会在这里的毛巾扔，并宣布这个问题是不可能的，
但Bombelli能够简单地通过使底片的平方根存在压上。
让我们把我们的新号码的一个简单的例子：负1的平方根。
对于作为一种新的数字，它看起来并不非常令人兴奋和那种看起来像是我们的老号码，
但请记住，它确实有我们所需要的确切的特殊属性：
当我们将其平方，结果是否定的。
此外，由于我们的数量并不像一个正的或负的，它必须是新的东西。
现在，如果这一切似乎有点腥你，就像一个稍微不太方便代数技巧，你在好公司。
事实上，很难没有他们听起来像一个任意发明引入虚数。
但是，我们解雇的减1的平方根之前为一些抽象的发明来折磨同学们，让我们回顾一下我们到目前为止的经验教训。
卡丹和Bombelli是真正停留在他们知道有一个解决一个棘手的问题。
什么Bombelli能够看到的是，如果他扩大现有的数字系统，如之前就已经这么多次的事，就可以解决这个问题。
就像人需要分数，零和负数，解决了以往的新问题，
要解决这个问题，Bombelli现在需要的负1的平方根是自己的，全新的号码。
让我们确保我们清楚这是什么意思为负1的平方根是自己的号码。
如果我们的新号码是一个真正的发现而不是发明，它应该表现得像我们已经知道其他的号码。
它应该遵循代数和算术的既定规则，它原来减去一个确实的平方根，大部分。
正如我们可以分道扬镳两个正数的乘积之根，我们也可能会断裂底片的平方根。
平方根零下25个分裂成25倍的负1的平方根的平方根的。
这个过程是非常重要的，因为它允许我们表达任何负面的使用减1的平方根的根。
的零下25的平方根变为5√（-1）。
我们可以利用这个过程来扩大任何负数的根，写它的一些电话号码，我们已经知道，时间减一的平方根。
让我们快速确保我们新的数字遵循相同的代数规则，我们的老号码。
在代数问题与X，只有同类项，可以相加和相减：
2X + 3×5倍是，
但2 + 3X仅仅是2 + 3倍。
同样地，2√（-1）+3√（-1）是等于5√（-1），
但2 +3√（-1）仅有2 +3√（-1）。
最后，与术语可以就像在与X代数相乘。
5倍x只是5倍，
和5次√（-1）是刚刚5√（-1）。
现在，有一些情况下，我们的新号码的行为有点怪异，但这些往往可以通过先分离出负一的平方根是可以避免的。
现在，我们对我们的新号码是如何工作的把握，我们可以看到他们是如何解决我们从上一次的问题之一。
我们现在已经为处理底片的根源的战略。
我们可以评价我们被困在负9的平方根，得到3√（-1）。
这一切都是重要的，但它不足以解决卡丹的问题;
我们仍然需要弄清楚如何处理这些号码的立方根。
Bombelli能够通过一个更强大的洞察力，以解决我们的问题，而这正是我们将讨论下一次。