现在我们已经了解了扩散模型 现在我们要开始学习SIS模型
SIS模型看起来几乎和扩散模型一样
不同之处在于：我们现在允许一种新的可能
那就是被感染过的人被治愈后 可以重新被感染
在某种意义上他们康复了 但是他们又要重新面对被感染的风险
就像流感一样 当你的流感被痊愈后
只要流感病毒发生突变你就可能又被感染 但这个模型不适应于麻疹这类的病
因为只要你得过麻疹 你就不会再得麻疹了
这就是我们的模型 它看起来非常像我们之前的模型
这是t+1时刻的患病人数 这是在t时刻的患病人数
再加上新感染的人数
这取决于患者和健康人的接触
这是传播率 这是接触的次数
而这个模型的特点在于：我们减去了aWt aWt是什么？
它表示了t时刻被痊愈的人数 他们不再患有这种疾病又重新回到人群(N)中
他们可能再次患上这种病 所以我可以理解为：
把治愈的人扔回人群中
这就是这个模型比扩散模型更有趣的地方 在扩散模型中某种事物仅仅被扩散
开始时很慢之后变快 最后再次趋于平缓
但是在这个模型中 在健康人被感染的同时也有病人被治愈
被治愈的概率为a 如果人们被治愈的速度快于感染的速度
会发生什么呢？ 这种疾病就不会广泛传播
所以这个模型会产生一个临界点 下面让我们再稍微简化一下模型
我们重新整理各个项 我们会得到这样一个等式
我是如何得到这个等式的呢？ 我所做的就是把Wt这项提出来
并且消去一些 下面我来说说具体怎么做的
我们只要注意这一部分就好了 我们有Nc、τ、W/N((N-W)/N)、-aWt
让我们消去这个N和这个N
N就都消失了 这儿还有那里有一个W
所以我要提出 然后我就有了W[cτ(N-W)/N-a]
这就是我得到的式子 让我们来看这里
这就是我得到的式子:cτ(N-W)/N-a 我们只需要做方程简化就行了
所以如果你要做模型 学好代数是很有用的
如果你会很多代数运算你就能简化问题 为什么我们要简化问题呢？
下面就说说为什么 假设我们处于疾病传播的早期阶段
Wt非常小 这意味着(N-Wt)/N非常接近1
因为人群中患者的比例很小
现在我们看看这个式子 Wt+1就应该约等于Wt
Wt+1等于Wt+Wt(cτ-a)
如果cτ-a为正 这种疾病将会传播
如果cτ-a为负就不会传播 所以疾病的传播取决于：
cτ-a是否大于0？ 或者cτ是否大于a？
换一种说法：cτ/a是否大于1？ 这就引出了所谓的 “基本再生数 (Basic reproduction number) ”
我们设R0=cτ/a
如果cτ/a大于1 这种疾病将会被传播对吧？
因为这意味着Wt+1等于Wt加上一个正数 如果R0小于1
也就是cτ/a小于1 那么Wt+1就等于Wt加上一个负数
那么这种疾病将会渐渐消失 这里的R0就称为基本再生数
它主要告诉你的是：这种疾病会传播吗？
但是需要注意的是 我们这里得到了一个临界点
R0小于1时疾病不会传播 R0大于1时疾病会传播
下面我们举一些真实疾病作为例子 例如麻疹、腮腺炎和流感
它们的R0分别为15、5、3 这就是为什么它们是“真实的”疾病
可能有千万种R0小于1 而我们从未听说过的疾病 因为它们根本不传播
但是对于麻疹和腮腺炎之类的疾病 一旦你得过你就不会再次成为易感人群
这里需要用的模型就被称为SIR模型
一个与SIS模型非常相似的模型 但是对于流感来说
治愈后你又回到了易感人群中 所以你可以应用SIS模型来考虑它
有趣的是：从这些疾病的基本再生数 我们就可以看出
那些超过临界点的疾病将会传播 但是让我们再仔细想想这个数字
我们为什么要建立模型？ 有许多理由
但是其中有一个理由是：制定政策 你可能会问：我们如何阻止疾病传播呢？
一个明显的答案就是疫苗 那么我还有一个问题：有多少人需要接种疫苗？
其实模型会告诉我们到底有多少人 让我们这样来想这个问题
设V为接种疫苗的人口比例
这是基本再生数R0 也就是疾病在人群中传播的速率
如果我给一定比例的人接种疫苗
那么R0就会按照(1-V)这个比例减小
比如说给一半的人接种了疫苗 R0实际上就变为了原来的1/2
如果75%的人注射了疫苗 实际的R0就会变为原来的1/4
所以患者变为原来的四分之一
那么将R0视为与V有关的函数 有多少人需要接种疫苗呢？
我们也可以这样来理解： 如果我们给V个人注射了疫苗
就相当于得到了一个新的r0（小r0）
即R0乘以人口中未接种疫苗的比例
所以我们希望R0*（1-V）=1 确切来说是希望它小于1对吗？
我们展开这个乘式 可以得到R0-R0*V小于等于1
把1移到不等号的另一边
得到R0-1小于等于R0*V 这就意味着
V需要大于1-1/R0 我们得到的就是这个等式
这就是需要接受疫苗注射的人数 让我们回到之前的PPT
麻疹的R0是15 腮腺炎是5
我们需要给多少人注射疫苗以防止麻疹传播？ 答案是1-1/15
也就是14/15 所以我们需要给14/15的人接种疫苗
以阻止麻疹的传播
现在我们已经了解了扩散模型 现在我们要开始学习SIS模型
SIS模型看起来几乎和扩散模型一样
不同之处在于：我们现在允许一种新的可能
那就是被感染过的人被治愈后 可以重新被感染
在某种意义上他们康复了 但是他们又要重新面对被感染的风险
就像流感一样 当你的流感被痊愈后
只要流感病毒发生突变你就可能又被感染 但这个模型不适应于麻疹这类的病
因为只要你得过麻疹 你就不会再得麻疹了
这就是我们的模型 它看起来非常像我们之前的模型
这是t+1时刻的患病人数 这是在t时刻的患病人数
再加上新感染的人数
这取决于患者和健康人的接触
这是传播率 这是接触的次数
而这个模型的特点在于：我们减去了aWt aWt是什么？
它表示了t时刻被痊愈的人数 他们不再患有这种疾病又重新回到人群(N)中
他们可能再次患上这种病 所以我可以理解为：
把治愈的人扔回人群中
这就是这个模型比扩散模型更有趣的地方 在扩散模型中某种事物仅仅被扩散
开始时很慢之后变快 最后再次趋于平缓
但是在这个模型中 在健康人被感染的同时也有病人被治愈
被治愈的概率为a 如果人们被治愈的速度快于感染的速度
会发生什么呢？ 这种疾病就不会广泛传播
所以这个模型会产生一个临界点 下面让我们再稍微简化一下模型
我们重新整理各个项 我们会得到这样一个等式
我是如何得到这个等式的呢？ 我所做的就是把Wt这项提出来
并且消去一些 下面我来说说具体怎么做的
我们只要注意这一部分就好了 我们有Nc、τ、W/N((N-W)/N)、-aWt
让我们消去这个N和这个N
N就都消失了 这儿还有那里有一个W
所以我要提出 然后我就有了W[cτ(N-W)/N-a] 31 00:02:16,0