上一节
我们介绍了量子力学的
矩阵形式
现在
我们通过一个具体的例子
也就是
解本征方程
来理解一下
这样的矩阵形式
究竟是如何运算的
本征方程意味着
要有一个算符
和一个矢量
我们就用
原来已经通用的记号
就是用 a1, a2 等等
表达一个列矢量的各个分量
而用 F11, F12 等等
表达一个算符的各个分量
那么本征方程
Fψ=λψ
具体地写出来就是
这样的一个方矩阵
乘以这个列矩阵
等于某一个常数
乘以同样的列矩阵
注意
这个乘法
是遵循行乘以列的规则的
因此
实际上
你把它写出来
就是
F11 乘以 a1
加上 F12 乘以 a2
等等
要等于 λa1
同样的
我有另外一个式子是
F21 乘以 a1
加 F22 乘以 a2
等等
等于 λa2
所以说
实际上这个方程
在完成了矩阵乘法之后
是有一系列的等式的
是一个方程组
我们可以把
写在右方的那个本征值
挪到左边来
因为一个常数
也就等于
这个常数乘以单位矩阵
所以说
如果我把原来写在等式右方
那个 λ 移到左方来
当然它要改一个符号
而且呢只出现在
对角线的位置上
所以上一页的那个方程
也可以重新写成一个
这样的形式
所有的对角元素里边
都出现一个 -λ
而右方变成了零
由于
我们可以用一个简单的符号
F 来代表整个这个矩阵
而且呢
用 I 来代表一个单位矩阵
所以说
用一个
比较简单的矩阵符号的话
这个方程也可以简单地写为
括号 F-λI 作用于 ψ
等于零
这里的 I 就是单位矩阵
这个方程是一个
齐次线性方程组
叫它线性方程
这个原因很清楚
那就是
这些方程里边的 a1, a2 等等
只有线性项出现
所谓的齐次方程的意思是
右边没有常数项
而是一个零
很显然
全体的 a 都等于零
一定是这个方程组的解
然而这样的解
是没有物理意义的
我们需要的
叫做
这个齐次线性方程组的
非零解
因为
a1 到 a2 这些未知数当中
至少要有一个
是不等于零的
那么
这个问题就化成为一个
线性代数里的
非常基本的问题
那就是
一个齐次线性方程组
在什么条件下
可以有非零的解
这个问题是线性代数里的
一个基本问题
而它的答案
是已经研究的非常清楚的
一个齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件
就是
这样的一个行列式
等于零
这个行列式
不是别的
正是
那个齐次线性方程组的
系数行列式
这个行列式等于零的话
刚才我们说到的那个
a1，a2 等等等等
作为未知数看待
就会有不等于零的解
由于
刚才我们用这样的一个
简单的矩阵符号
表达了那个系数
所以
这样的一个方程
也可以简单的写成为
F-λI 的行列式等于零
这个方程由于
在量子力学里边
经常要用到
所以获得了一个名词
叫做长期方程
或者久期方程
我们来看一下
这究竟是一个什么方程
让我们回到前一页
如果我在这个方程里边
把 λ 当作未知数的话
那么大家看到
把这个行列式全部计算出来
它得到的是一个 λ 的多项式
那么
这个多项式的
最高次数是多高呢
很显然
这个行列式有一项是所有的
对角元素的连乘
而假如我这个矩阵 F
是一个 n 行 n 列的矩阵的话
这个对角元素自然有 n 个
因此
我得到的最高幂次的 λ
是 (-λ)n
因此
这样的一个行列式
等于零的这个方程
实际上是一个 n 次代数方程
以 λ 作为未知变量
那么
这样的方程的解
在线性代数里
已经做了非常透彻的研究
它的结果被称之为
代数基本定理
这个定理说的是
在复数域的范围内
n 次代数方程
一定有 n 个根
这个结论要有两点解释
第一个
这里要求的是
在复数域的范围内
考虑问题, 意思就是说
刚才那些 F
矩阵 F 的元素
一般情况下是允许为
复数的
而且呢
当我们说到根的时候
也允许有复根
第二点解释是
代数方程有的时候
会出现重根
这里称之为有 n 个根的
这个结论
是把重根单独计算的
换句话说
如果有一个根是 k 重根
其实我们把它算做 k 个根
那么
这个代数基本定理里边
所说的根
从我们现在物理的角度来看
也就是 λ 的值
那么
它们就是本征值
当然有一个问题
前面我们强调的
是在复数域的范围内
考虑这个问题
也就是说
是允许复根的
当然
作为物理量的测量值
或者是观察值
本征值应该都是实数
那么
事实上前面我们已经讲过
这样的定理
就是厄密算符的本征值
都是实数
如果
把那个定理用到
这个矩阵形式里来的话
如果我们要求
这个算符 F̂
是一个厄密算符的话
那么完全类似地
可能证明
这个长期方程的根
一定是实的
这就使得我们不会出现
物理上不可接受的测量值
下面我们就把这些本征值
记作 λ1，λ2 等等等等
假如我这个矩阵
是 n 行 n 列的
那么这些本征值
一共有 n 个
为了简单起见
我们先假设
这些本征值是各不相同的
也就是说
这个久期方程
没有重根
那么
下边的问题
就是
如何求出本征矢量
也就是久期方程里的那个
未知数 a1，a2 等等
我们就要把它代回到
原来这个久期方程里头去
这里边选择了某一个根
叫做第 i 个根
所以说呢
这里写的是 λi
当然所有的这些地方出现的 λ
在方程里
都应该是同一个
于是就构成了一个
这样的有确定的 λ 值的
一个方程
那么大家就可以想见
这样的方程就可以给出
a1 到 a2 等等等等的
完全确定的解
但是这里要有一个说明
那就是
其实不是所有的
这些未知数
都可以完全确定
这个事情可以这样来理解
那就是
对于这个方程而言
假如我在
所有的这些未知数上
都乘以同样的常数的话
由于右边是零
所以说
它一定仍然是这个方程的解
所以这些数字里边
其实只有一个整体的
也就是共同的
常数因子是定不下来的
为了确定这个常数因子
我们需要利用归一化条件
用了这个条件之后
就得到了
归一化的本征矢量
也就使得这些未知数
有了确定的解
刚才我们说的情形
是比较简单的
就是没有重根
如果某些本征值
或者说
是久期方程的解
是重根
这个情况就会稍微复杂一些
如果没有重根的话
这些未知数
只共同享有一个
未定的整体因子
而如果有重根的话
这种不定的共同的
常数因子的数量就多了
关于这种情形
我们不再做
更进一步的仔细的解释了