欢迎来到复变函数课堂 本节我们将学习复变函数的定义
由于复变函数研究的是解析函数 解析函数是特殊的复变量函数
本节将介绍一般的复变函数的概念
我们这个时候就称在E上定义了一个单值的复变量函数 记为w=f(z)(z∈E)
那如果对E内的每一个复数z都存在两个或两个以上的w与之对应
我们就称在E上定义了一个多值复变量函数
简称多值函数 也即为w=f（z）
E称为函数w=f（z）的定义域
而对于E w值的全体所构成集合 称为w=f(z)的值域
复变函数既可能出现单值函数 也有多值函数
若不加特别说明的话 我们研究的主要是单值函数
比方说 之前我们遇到的z的模长 z的共轭 z^2
像这种(z+1)/(z-1) 当z不等于1时均为单值函数
我们学过的方根或者是辐角函数
当z不等于0时 都是多值函数
这也是复变量函数和单变量函数的区别
这也是复变量函数和实变量函数的区别
如果w=f（z）是定义在E上的单值函数
我们知道z可以写成x+iy的形式 把w写成实部加i倍的虚部的形式
很显然这里的u是由x y的变化而变化的 v也是随着x y的变化而变化
所以我们把u和v写成 u(x,y)与v(x,y)
这样的话一个复变量函数w=f（z）就可以用两个二元实函数来去表示
如果我们题设给的不是直角坐标系
而是把z写成指数的形式 r*e^iθ的形式
那么这两个变量 一个是r 一个是θ 把z带入到f(z)的形式中
就可以得到w可以写成P(r,θ)+iQ(r,θ) 也可以用两个二元实函数来表示
比方说
假如w=z^2+2 我们现在令z是x+iy的形式 把这个值代入z^2+2里面
很容易算出w可以写成x^2-y^2+2+2xyi
这里的u可以写成x^2-y^2+2 v可以写成2*xy
比方说
w=z^2+2 我们现在令z=x+iy 代入w的表达式中
很容易算出w是x^2-y^2+2+2xyi
所以u就是x^2-y^2+2 v就是2*xy
所以这样一个单变量的复变量函数可以用这样两个二元实函数来表示
如果把z写成r*e^iθ时 带入到w的表达式中
也容易算出这里的P（r，θ）和Q（r，θ）
均是两个二元实函数来表示一个单变量的复变函数
由此可见 单变量的复变函数w=f（z）等价于两个二元实函数u=φ(x，y)和v=ψ(x,y)
那单变量复函数和二元实函数不同的表示会有不同的作用
有时候用这种方式 用起来各有自己便利之处
那问题就来了 既然我们研究的复变函数是有两个二元实函数表示的
我们还有单独研究它的意义吗
其实这两个二元实元函数他们之间并不是随便拼凑的
他们之间有内在的必然的联系
到时候我们会给大家介绍
这节的作业请参见课程平台
好 本节就讲到这里