欢迎回到企业金融课程
上节课我们讨论了复利化，也即
在时间线中将现金流 向前移动的过程
今天，我想介绍几种实用的 快捷方式，以计算
我们在现实中常见的 现金流系列的现值和未来值
我们现在开始吧
大家好！欢迎观看与资金的时间价值 相关的第三个课程视频
上节课我们讨论了 复利化，也即
在时间线中将现金流 向前移动的过程
[咳嗽]对不起
这是为了找出现金流的未来值 而在第一个课程视频中，我们
通过折现过程在时间线中将现金流 向后移，以找出现金流的现值
今天，我想介绍一些 实用的快捷方式
以计算我们在现实中
常见的现金流系列 的现值或未来值
那么，让我们开始吧
我想谈论的 第一件事是年金
年金是有限期的现金流系列 而且各现金流具有相同的
金额和相等的时间间隔。我已将 年金定义的关键要素标示出来
这是一条代表 年金的时间线
年金的第一个关键方面或 特点是，各现金流具有相同的金额
所有这些现金流 的数值都相同
所以是相同的金额
第二，这是有限期 的现金流系列
它在某个时间点结束
有疑问吗？
这似乎是一个不必要的 或明显的假设，不过
大家将会看到，我们很快 就会谈到无限期的现金流系列
而最后一个假设是，现金流 之间的间隔必须相等
所以这里始终相隔一年
不管现金流之间的 间隔是一年、两个月
还是多长时间 都必须相等
事实上，这种现金流系列
出现在现实中的 多种情况下
保险公司销售 一种叫做年金的
现金流系列产品
住房抵押是年金 收益流的一个例子
汽车租赁、某些债券付款和 分期还贷都属于年金
所以，年金其实 是相当常见的
现在，如果我们想找出 这些现金流的现值
我们知道怎样做
我们可以采用蛮力手段
我们可以将每个 现金流折现为现值
假设这里有第二个现金流
我可以将CF除以(1+R)的平方
这将算出它的现值
我可以将这个现金流的 CF除以(1+R)的T-1次幂
这将算出它的现值
我对所有现金流这样做 然后我可以在这里将它们加起来
这将算出它们的现值
但是，这样做有点麻烦 特别是在T很大的时候
所以，我想介绍一种 快捷方式，或者一个
简单的公式，以计算这个 现金流系列的现值。这就是公式
我们将现金流CF 除以折现率
然后乘以括号 中的这一项
现在，如果我将R移到这里
我可以将年金的现值公式 重新表示为将年金现金流
乘以这一项，而这一项 就叫做年金因子
这将算出这个 现金流系列的现值
不过，要记住的一点是 为使这个公式有意义
不仅定义年金收益流的 所有特点都要真实存在
而且我们还假设第一个现金流 出现在从今天计起的一个周期后
例如，如果 现金流系列是这样的
这是年金的现金流系列 不过
这个公式算出的并不是 这个现金流系列的现值
实际上，我要做 的是直接加上CF
因为它是现值
它是今天出现的
让我们做道例题
如果年利率为5%，那么 我今天要存入多少钱
才能在未来20年的 每年年底取出100美元？
第一步是画出时间线
我将设法算出我今天 要存入多少钱
才能在未来20年的 每一年取出100美元
我们知道如何通过 蛮力手段来这样做
我们可以直接将所有现金流 折现为今天的时间单位
然后将它们加起来
当然，我们刚学会了 更巧妙的解决方法
也即使用 年金的现值公式
没错 现金流是100，CF
折现率R是5%
而现金流的 时间是20年
将所有这些数字代入 到公式中并进行计算
这些现金流的现值 计算结果是1246.22美元
因此，我今天要存入这么多钱 才能每年取出100美元
现在，让我们开始了解 增长型年金
顾名思义，这种年金的 现金流是不断增长的
它是一种有限期的现金流系列 好
时间间隔是相等的
不过，现金流现在不是恒定的 而是以恒定的速率g增长
这种现金流系列出现在 现实中的多种情况下
这包括某些收益流 例如，你的工作
你可以设想 你的薪水以
恒定的速率g 或基本恒定的速率增长
还有就是某些储蓄策略 你可能想每年存入
一定金额的钱，但你希望 这个金额与你的收益流同步增长
在企业金融中 某些项目收入和
费用流通常以 近似恒定的增长率增长
因此，它对我们将在现实中 遇到的许多现金流系列
进行了非常有用的模拟
像年金收益流一样 我们可以用如下所示的
简单公式来表示这个 现金流系列的现值
我们将周期一[咳嗽]的 现金流除以折现率与
增长率之间的差值 然后乘以这个因子
这将算出这里的这个 现金流系列的现值
但是，请记住
关键的假设是，第一个现金流 出现在从今天计起的一个周期后
好了
让我们做道例题
如果年利率为5%，那么 我们今天要存入多少钱
才能在今年、明年和后年 年底分别取出100美元
102.50美元、105.06美元 并依此类推一直到19年后
让我们画一条时间线 可以看到，我们
在第一年取出 100美元，在第二年
取出102.5美元，一直这样下去
在这个问题中，我们 可以看到，这些现金流
以恒定的速率g增长 也即以2.5%的年率增长
因此，这个现金流系列 符合增长型年金的
现值公式的 所有使用要求
第一个现金流是100美元
折现率是5%
而增长率是2.5%
现值的计算结果 是1529.69美元
我们需要存入这么多的钱，才能 取出以2.5%的年率增长的100美元
现在，我们来谈谈永续型年金
永续型年金的特点是 现金流永远延续下去
具有相同金额和相等时间间隔的 资金永远延续下去
那么，现实中会在哪里 遇到这种年金？
说来也奇怪，确实有这种年金
在英国就存在永续型年金 或永续型债券
有趣的是，这种现金流系列 的公式非常简单
公式就是 现金流除以折现率
CF除以R
让我们做道例题
如果年利率为5%，那么 你今天要存入多少钱，才能
永远在每年的年底取出100美元？
时间线看起来像下面这样 对吧？
每年100美元，永远如此 很明显
每次折现一个现金流的 蛮力法绝对行不通
它根本不可能
因此，我们要使用公式
我们将100美元 除以折现率5%
结果是2000美元
假设年利率为5%，那么 我们要存入2000美元
才能永远地每年取出100美元
直观地说，这不管是 一百年、两百年还是
多长时间，都会进行下去
这笔钱的现值很小 非常接近零
这正是你不需要 无限期资金的原因
增长型永续年金与 永续型年金很相似
它是一种无限期的现金流系列 现金流以恒定的速率g增长
各现金流具有相等的时间间隔
这是一个直观的展示
这是增长型 永续年金的时间线
在现实中，可以找到 与增长型永续年金
很相似的例子 例如股息收益流
它们是很有用的模拟
不要从字面上理解它
公司不会永远存在 但我们可以将公司视为
永远存在，因为大多数公司 并不会限期结业，除非公司
发生破产、并购或 类似情况
那么，增长型永续年金 的公式是什么？
公式就是，将在第一年 收到的现金流，除以
折现率与该现金流 增长率之间的差值
我们再次要假设 第一个现金流出现在
从今天计起的一年后 才能使用这个公式
并且符合所有 其他要求
现金流具有相等的时间间隔 并以恒定的速率增长
现在，让我们做道简单的例题
如果年利率为5%，那么 你今天要存入多少钱
才能在今年、明年和后年年底 分别取出100美元、102.5美元、105.06美元
并依此类推一直到永远
让我们画一条时间线
我们将在第一年 获得100美元
第二年获得102.5，即增长率为2.5%
第三年获得105.06 如果我将它写在这里的话
g等于2.5%
第一个现金流出现在从今天计起的 一年后，这是第一个现金流
这将永远进行下去 而时间间隔是相等的
我们可以将增长型永续年金 的现值公式应用到
这个增长型永续年金
我们将第一个现金流
即100美元，除以 折现率与增长率之间
的差值，得到4000美元
换句话说 我们今天要存入4000美元
而这笔钱在以后每年的 利率为5%
我们可以在下一年
取出100美元，并可让 该金额以后每年增长2.5%
让我们总结一下
今天我们学习了一些 实用的快捷方式
我们讨论了年金 及其现值公式
我们讨论了永续型年金 及其现值公式
我们讨论了与其很相似的 增长型年金和
增长型永续年金，以及 它们的现值公式
虽然它们看起来可能 有点深奥和枯燥乏味
但我们还是讨论了 大家可能会在
现实中看到的这些 现金流系列的一些用途
这些快捷方式 非常有用
它们不仅可以找出 现值或未来值
还可以找出与 整个系列关联的现金流
因此，能够熟练使用 这些公式是非常重要的
在习题集中，你将要在 现实背景下，或者在至少
尽可能接近现实的背景下 花时间使用这些公式来
推导感兴趣的某些方面 而不管
它是现金流还是时间量 是折现率还是增长率
所以，请做一下习题集 它确实包含了一些现实问题
但是，请非常小心地 运用这些公式
请不要在任何背景下盲目地运用 这些公式，因为我们谈论过
必须符合现金流的 某些特点，或者
必须符合公式的某些要求 才能使用公式
希望大家能顺利完成习题