大家好
欢迎来到创客培养课堂
今天的话呢
是我们最后一次设计一个小装置
我也希望把一些
具有教育含义的内容融到里面
那么题目的话叫寻找幸运草
这个里面的话
融了很多关于数学 生物学
然后的话呢机械运动
还有一些童话故事融到里面
那么希望大家能够从这里面得到启发
最后的话呢
找到你自己的幸运
好了
下面我们看看这些内容的话是什么呢
首先的话我们先讲讲数学问题
就是我们这儿有一串数列
这个数列的话它是一一二三五八等等
这样数列的话它有一个特点
就是每两个数相加等于后面一个数
这个叫斐波那契数列
这是当年意大利数学家
斐波那契它研究兔子繁殖问题中
所引出来的问题
那么今天的话
我们从这里面引出另外一个东西
就是它里面
藏另外一个数叫黄金分割值
我们来这样一个尝试
从这第三个数开始每两个数
小的数除以大的数
看看它是什么结果呢
比如说2除以3
0.666
3除以5 0.6
5除以8
0.625等
我们发现的话这样除完之后啊
它是接近一个0.6几的数
但是我们接着往下做看看
结果的话我们发现的话越往后面的话呢
它的数值越趋近于某个值
0.618
那后面是这样吗
我们再看一下
结果发现真是这样的
就是越到后面的话两个数相除啊
它越接近一个值叫
0.618
当然后面还有很多小数
我们把它只取前三位了
那么这个值的话呢
实际上是什么呢
就是叫黄金分割值
当然黄金分割值本身的话
很长的一串数
我们取前三位就是0.618
好了
那么也就是说这串数列里面
隐含了黄金分割值这样一个数在里面
那么我们再换个角度看
看看生物
在植物生长中
那个植物它长叶子或者长花瓣的话呢
它的长也不是随便长的
它是经过亿万年净化之后
它有一定规律
结果我们发现的话
在叶子中啊
也存在这样的特点
也会存在0.618这个黄金分割值
那为什么呢
我们来看
比如说这个图片是三叶草
三叶草的话
我们把某个叶子的中轴画出来
再把另外叶子中轴画出来
结果发现的话呢
这个两个之间夹角啊
一个是137.5度
一个是222.5度
加在一起360度
结果我们一除的话发现也是0.618
那么有的时候你看到叶子不止三片
比如说五叶草
如果是五叶草的话呢
我们把它隔两片叶子来算一下子
结果发现的话也是这样一个值
也就说的话呢
这个黄金分割值啊
在某些植物生长中也隐藏在里面
同时的话呢
生物学家专门研究过比如说一个向日葵
它在开花结果之后就长种子
那么对向日葵来说的话呢
它本身是没有大脑的
它不会思考
但是经过亿万年筛选之后的话
它长成什么样 它长成这个样子
就是如图所示这样一个花盘
那么它特点是什么
它是每个花的位置或者说
它开花之后种子位置基本上是均布的
你可以想象
如果它有一些种子长的很密的话呢
它挤在一起它就不能充分发育
它就可能没有后代了
或者说它长的很松的话呢
每个种子长的很好
但是对花盘来说的话
它浪费很多资源
因此一个经过长期净化之后
优化结果是什么
就是每个种子长
具体都差不多是均布的
这样的话呢它的效率是最高的
那么有人专门研究过
如果把这个种子按照某个曲线连起来
结果发现的话里面存在一个展开线
这个线的话
结果发现话是按照
137.5度这个展开的话呢
它就可以均布
如果把这个角度变大一点
变小一点的话都不会均布
所以的话呢
一个经过长期净化
一个这个花盘的话呢
它是按照135度这条线展开的
样的话让每个种子基本上距离相等
那么下面我们问题是
既然这个斐波那契数列和植物生长
以及和黄金分割值都有关系
那么植物和斐波那契数列
又有什么关系呢
结果我们发现的话呢
在自然界中很多植物
我们说很多植物不是所有植物
是很多植物的话
它的花或者它的叶子的话
都是3 5 8这样数目
比如说我们看三叶草
五叶花等等这样
我们注意3 5 8就是
斐波那契数列中某个系数
好了 那么从这里面的话
我们现在引出一个故事
就是为什么会长三叶草
没有四叶草呢
有个寓言故事是说
这个小女孩她就一片草地中
想找出四叶草来
如果找到四叶草的话呢
她就寻找到什么呢
找到四个叶子表示什么
珍爱 健康 名誉 财富
那么我们知道的话
寓言故事的话
它都具有某种教育含义嘛
为什么它不是说找三叶草
而找四叶草呢
因为在自然界中
三叶草我们刚刚说到它是可能
经过长期优化结果
它的叶子长完之后的话
接受阳光是很充分的
但是长四叶草的话呢
叶子之间就会有一些阻挡
从接受阳光角度说的话它是浪费了
所以说三叶草
可能是自然界中它是经过优化的结果
四叶草的话呢
可能是经过某些变异得出来的结果
所以的话生物学家他经过研究发现啊
在自然界中三叶草特别多
一般草地上面你找一找都能找到
四叶草很少 只有百万分之的概率
所以的话呢
我们再回到前面寓言故事说
为什么找三叶草就不是寓言故事呢
三叶草太多一找找到了
就没有教育含义了
而四叶草的话呢 找半天才能找着
所以它有教育含义
所以你想一想
你小时候听过童话故事
公主和王子最后都幸福的生活在一起
但是之前的话
一定会有很多很多磨难才行
否则的话如果一开始幸福生活在一起
就不是一个寓言故事了
好了
我们现在知道的话
在自然界中三叶草很多
四叶草很少
那么找不着
或者很难找到
那么我们能不能自己创造一个四叶草呢
所以我们今天的话
又回到自己创造这个方面
好
下面我们来看我们现在目标就是什么呢
要做一个装置
很简单的装置
要把它画出四个花瓣的四叶草来
那能不能实现呢
好
首先我们看看这是四叶草的照片
我们刚刚说
四叶草的话
它排布的时候 的确是互相的阻挡
它的确浪费了一些资源
如果我们要画实际的四叶草的话呢
那就是美术课了
但是我们不是美术
我们是要研究它的特点之后
要画出有特点的东西出来
所以的话我们把它找到
我们找到在树叶中和它接近一个线
叫什么呢
叫四叶玫瑰线
这个线的话是个花瓣
但是呢很规则
好了
下面我们就是说
我们能不能做个装置
画出这个四叶玫瑰线
就代替我们四叶草
那么这个问题
就一点难度了
因为这个四叶玫瑰线的呢
在数学手册中你查一查能查到它的方程
如果在极坐标中
它可以写成是r等于a乘以cos2倍的θ
a的话就它某个花瓣最大的长度
那么这个问题在于
就是首先我们要讨论一下
它是不是能够用简单装置画出来
然后再说如果行的话怎么设计简单装置
那么这是个战略问题
就是说如何用我们所学知识
来讨论一下它是不是能实现呢
那么我们可以从这个角度来考虑
首先我们把它四叶玫瑰线
把它变成一个我们能够处理的问题
比如说我们把那个在极坐标中写出
公式变成在直角坐标中来显示
那么把它变成这样一个公式
变成x等于r乘cosθ
y等于r乘以sinθ
那么具体把那个
我们四叶玫瑰线的r带进去的话
就变成x等于a乘以cos2倍θ
乘以cosθ
y等于a乘以cos2倍θ
乘以sinθ
那么这公式的话当然是什么含义
看上去好像不太清楚
所以我们把它稍微画一下
把它利用三角函数和差化积的公式
把它变成xy等于什么什么表达式
变成两个三角形相加的一个形式
但是得到这个公式之后的话一个问题
就是它具有什么含义呢
大家注意
我们现在的话呢不仅在做数学问题
我们最后要做个装置出来
我们需要了解这个公式的物理含义
才能把它做出来
所以下面我们要看看这个公式是什么意思
比如说我们画过这样一个图
就是说一个物体做圆周运动
圆周运动的话
可以把打表示成这样方式就是
x等于r乘以cosθ
y等于r乘以sinθ
这表示什么呢
就表示圆周运动
如果你意识到这是圆周运动的话
你把它反过来思考一下
也就说如果是有sin
cos出现的话
它就和圆周运动有关系的话
那你就意味着什么呢
我们刚才说的四叶玫瑰线
它的方程意味着什么呢
意味着它是两个圆周运动
合成的话呢可以画出
可以画出这个sin玫瑰线
问题在于
为什么有的是3倍的cos
有的是一倍的cos
以及为什么有的是正的
有的是负的呢
所以我们稍微解释一下
这里面有三倍的
有一倍的 有正的有负的
那么我们可以想象
三倍的话表示转的比较快
一倍的话转的比较慢
正负表示是不是反转
如果我们看看如图所示这样装置的话
动起来之后的话 的确有反转
而且有的转的快 有的转的慢
所以的话表示什么呢
表示如果我们做个类似这样装置
是有可能实现的
那么下面我们进入战术问题
就具体参数该怎么设呢
因此我们需要考虑什么呢
考虑它这个齿轮
我们用齿轮画
就大齿轮半径是多少
小齿轮半径是多少
以及孔的位置哪
所以有三个参数 R r和e 好了
下面我们怎么考虑这个问题呢
如果你是大学生我就不用说了
你自己去研究去
如果你是中学生的话呢
我会给定一个参数
比如大R给定
小r和e你自己研究一下
如果你是小学生的话
我就做完之后跟你玩去了
那么假设的话你不太熟悉
因为你可能毕竟刚开始学嘛
所以下面给你演示一下
怎么样用数学知识
和我们的运动学知识把它融到一起
把这个问题解决
好
首先我们看假设
这个装置还没做出之前
但是你知道用圆可以来实现它的话
我们怎么考虑呢
我们假设有一个大的齿轮是外面大圆
然后有个小的齿轮
小齿轮上面有个孔
孔的话呢叫D
好
下面一开始的时候我们假定
小圆的话和大圆A点接触
小圆一转的话转到B点去了
同时的话孔的位置转到这个位置来
好
下面我们看看
为了研究它一些参数关系的话
我们设一些参数
比如说当我们转的角度
从OA转到OB的时候角度是α
那么当转的时候话孔的位置反转
转的角度叫β
好
下面我们找它关系
一开始在这个位置
后来到新的位置
那么下面的话我们利用运动学知识
来进行处理
首先我们把D点的坐标
D点就是我们孔位置坐标把它写出来
我们可以以小圆的圆心为中间点
再加上它的那个孔的那个位置
所以小圆的圆心的话
是大R减小r
所以乘以cos乘以sin
然后减掉在x方向是什么呢
在x方向是加上它偏心的距离
乘以cosβ
而在y方向的话是
减掉偏心距离乘以sin
所以变成这样一个式子
在考虑一下α和β有什么关系
我们注意到因为是
齿轮在转动的时候它是不打滑的
因此的话有什么结论呢
有齿轮转的时候AB这个弧的长度
应该和bc弧长度相等
这样一来的话呢
我们就可以写出来AB长度是等于什么
大R乘以α
也就是圆弧的长度
而BC的话
是小圆上的弧长是小r乘以α加β
好了
从而解出来α和β的关系
好 下面我们把关系带进去之后的话
得到这样式子
从运动学刚才转动时候关系
得到xy表达式
然后结合我们从数学上得到关系式
大家注意
现在数学和运动学要涌在一起的
我们对照参数
对照相等可以求出什么呢
求出大R 小R和e的关系
也就是说假设
我们需要画一个四叶玫瑰线
最大尺度是a的话
那么我们大R是等于2倍的a
小r等于二分之三倍的a
而偏心的话等于二分之一的a
也就是说我们把参数定下来
下面我们只需要去做图了
好
下面我们开始来做图
下面的话回到我们设计环节
关键是我们在前面
已经分析出来它的关系
也就是说一个是大R是两倍的a
小r是二分之三倍的a
偏心的话是那个二分之一a
因此我们假设a一定的话我们做齿轮
那么关于齿轮的话
前面我们已经说过
直接调用卡萨函数直接画出来
所以把齿轮已经画出来了
那么画出来之后的话呢
你需要知道满足关系
就是满足是比例关系就可以了
比如画完之后的呢
让那个外面话比如2倍a
里面齿轮是二分之三倍a就可以了
那么打孔的话是二分之一a就可以了
所以的话整个就可以把它画出来
那么这个齿轮的话因为以前画过
所以我就不用单独再画了
除了齿轮之外的话呢
那么下面画一个边框
你就可以去切割去了
切割的话然后去把它可以
就把它拼一下
当然如果你要不熟悉的话
你可以看看我们验证一下
它的关系是不是这个关系
我们画个
我们用红色画个圆
看看它的半径吧
好我们用红色圆来画
从这儿开始画起
画到这儿看半径是多少
40
后面小数点多一点点没关系
因为它这个啮合地方话
按照他那个节圆来画的
所以大圆是40
然后小圆的话30
后面小数点多一点点30
所以的话4比3
因为刚才说2分之3比上0.5
所以应该是4比3比1
看这个地方是不是10
所以的话
的确我们这个参数满足我们关系
所以下面存盘去切割去了
好 切好了
好了
我们刚才已经把它切割出来
那么把它打开来
那么它实际上是这样的
就是有一个齿轮
中间这个是连接部分不用了
然后这个齿轮
那么下面我们再画一下它的图
我们把一个地方按住来画一下
画的时候话
让它两个齿轮是啮合在一起的
让齿轮固定不动就可以了
我们来尝试一下
好 开始转动
大家看看
四叶玫瑰线画出来了
那么刚才话的时候话呢
可能画多少圈我们也搞不清楚
所以的话我们干脆把这个有机玻璃
切的把它的纸撕掉它
我们看它是怎么画出来的
好了
下面我们重新画一下
我们可以换个颜色的笔来画一下
注意我们关键是要把它那个
外面齿轮要固定不动
我们尽量压住它不动
好
下面我们变成透明的了
透明的话呢
我们看它是怎么画出来的
下面我们看一下
好
这样就画完了
那么刚才我们通过这样一个装置
看到它是怎么画出来的
中间可能稍微有一点点小误差
这个误差的话
是因为我们笔的直径
和这个孔稍微有点不匹配
里面一点晃导致的
我们今天主题是寻找四叶草
四叶草象征
寻找幸福 健康 爱情 荣誉等等
所以的话呢
你需要一点思考怎么把它做出来
好了
希望大家能从这一节课得到启发
我们的创客培养的话到此结束谢谢大家