1
00:00:00,000 --> 00:00:00,760
[音乐]

2
00:00:00,760 --> 00:00:02,720
数学中有一条规则，

3
00:00:02,720 --> 00:00:05,040
非常简单，你会认为它显然

4
00:00:05,040 --> 00:00:07,759
是正确的，但如果你接受它，你会

5
00:00:07,759 --> 00:00:09,880
发现现在有一些线段

6
00:00:09,880 --> 00:00:12,400
没有长度，一个球体无需

7
00:00:12,400 --> 00:00:14,759
添加任何东西就可以变成

8
00:00:14,759 --> 00:00:18,199
两个相同的球体，100 多年的

9
00:00:18,199 --> 00:00:21,199
数学都建立在这个公理之上，

10
00:00:21,199 --> 00:00:23,680
它看起来很直观，而且有效，但它

11
00:00:23,680 --> 00:00:27,320
也产生了荒谬的悖论，所以它是对的，

13
00:00:28,560 --> 00:00:31,320
一切都从选择的问题开始

14
00:00:31,320 --> 00:00:35,840
试试这个选择一个数字我可以

15
00:00:35,840 --> 00:00:37,760
从我的头脑中随机抽取一个数字，

16
00:00:37,760 --> 00:00:41,520
比如 37 或 42，但这是人

17
00:00:41,520 --> 00:00:44,640
脑在工作，而不是数学过程

18
00:00:44,640 --> 00:00:47,520
在数学中你不能真正随机地选择东西，

19
00:00:47,520 --> 00:00:50,000
因为公式总是给出

20
00:00:50,000 --> 00:00:52,359
相同的结果，这就是为什么计算机没有

21
00:00:52,359 --> 00:00:54,640
真正的随机数生成器，

22
00:00:54,640 --> 00:00:56,960
而是它们通常在

23
00:00:56,960 --> 00:00:58,840
你当前的本地时间运行算法来生成

24
00:00:58,840 --> 00:01:01,440
看起来

25
00:01:01,440 --> 00:01:04,760
随机的数字，所以如果我们不能随机选择，

26
00:01:04,760 --> 00:01:07,320
我们如何在数学中选择任何东西，

27
00:01:07,320 --> 00:01:09,840
唯一的方法就是遵循某种规则，

28
00:01:09,840 --> 00:01:13,119
所以规则可以是总是选择

29
00:01:13,119 --> 00:01:15,320
最小的东西，例如，如果我们

30
00:01:15,320 --> 00:01:17,400
看的是正整数，那么

31
00:01:17,400 --> 00:01:20,040
最小的就是素数

32
00:01:20,040 --> 00:01:22,960
两个很容易，但是实

33
00:01:22,960 --> 00:01:25,680
数呢？实数可以是任何数，正数，负数，整数，

34
00:01:25,680 --> 00:01:28,200
分数，甚至是无理数，

35
00:01:28,200 --> 00:01:30,799
比如圆周率或小于2的平方，

36
00:01:30,799 --> 00:01:33,880
现在试着选择最小的一个，这是

37
00:01:33,880 --> 00:01:36,200
不可能的，实数延伸

38
00:01:36,200 --> 00:01:39,280
到负无穷，即使我们试图

39
00:01:39,280 --> 00:01:41,680
通过使规则变得非常具体来修复它，比如

40
00:01:41,680 --> 00:01:43,399
选择1之后的最小数，

41
00:01:43,399 --> 00:01:48,240
我们仍然会卡住，有1.01，

42
00:01:48,240 --> 00:01:49,479
然后是

43
00:01:49,479 --> 00:01:52,439
1.001，然后是

44
00:01:52,439 --> 00:01:56,960
1.001等等，所以1之后到底是什么数字

46
00:01:59,150 --> 00:02:00,960
[音乐]

47
00:02:00,960 --> 00:02:02,880
如果我们不能开始指定

48
00:02:02,880 --> 00:02:04,759
实数的顺序，下一个在前一个

49
00:02:04,759 --> 00:02:07,360
第一个和最后一个，我们就卡住了，

50
00:02:07,360 --> 00:02:09,360
荒谬的是，我们知道我们有

51
00:02:09,360 --> 00:02:12,040
无限的选择，但尽管如此，我们还是

52
00:02:12,040 --> 00:02:15,000
想不出如何选择

53
00:02:15,000 --> 00:02:17,640
一个，解决这个问题的任务始于

55
00:02:19,200 --> 00:02:21,760
1870年的一个人，他承担了将

56
00:02:21,760 --> 00:02:24,480
实数按明确顺序排列的任务，即使

57
00:02:24,480 --> 00:02:30,480
这会让他丧命，而且差点就死了。

58
00:02:31,239 --> 00:02:33,480
康托是一位才华横溢的德国

59
00:02:33,480 --> 00:02:35,519
数学家，在29岁

60
00:02:35,519 --> 00:02:37,599
发表了他的第一篇论文后，他发现自己处于一场风暴的中心，

63
00:02:41,000 --> 00:02:44,040
几个世纪以来我们的理解

64
00:02:44,040 --> 00:02:46,440
无穷大的概念深受

65
00:02:46,440 --> 00:02:50,080
伽利略1638年著作的影响，它提出了一个关键

66
00:02:50,080 --> 00:02:52,720
问题：自然数多

67
00:02:52,720 --> 00:02:55,400
还是平方数多。单从数值

68
00:02:55,400 --> 00:02:57,319
上看，平方数的

69
00:02:57,319 --> 00:02:59,440
间隔更大，而且数

70
00:02:59,440 --> 00:03:02,280
越高就越稀疏，所以平方

71
00:03:02,280 --> 00:03:04,200
数似乎

72
00:03:04,200 --> 00:03:06,760
比自然数少。但伽利略

73
00:03:06,760 --> 00:03:09,239
意识到，他可以画一条线，将

74
00:03:09,239 --> 00:03:12,200
每个自然数与其平方数匹配。

75
00:03:12,200 --> 00:03:14,200
既然他可以进行一对一

76
00:03:14,200 --> 00:03:16,599
映射，那么他就知道这两个集合的大小

77
00:03:16,599 --> 00:03:20,000
必须完全相同，所以

78
00:03:20,000 --> 00:03:22,200
平方数的数量实际上和

79
00:03:22,200 --> 00:03:24,920
自然数的

80
00:03:24,920 --> 00:03:27,280
数量一样多。从这个违反直觉的

81
00:03:27,280 --> 00:03:29,920
结果来看，伽利略得出结论，像

82
00:03:29,920 --> 00:03:32,560
大于或小于这样的术语并不适用于

83
00:03:32,560 --> 00:03:35,360
无穷大。我们通常如何使用它们？这都是

84
00:03:35,360 --> 00:03:38,720
一个关于永恒的大概念。

85
00:03:38,720 --> 00:03:41,280
这种观点盛行了几个世纪。

86
00:03:41,280 --> 00:03:43,159
事实上，今天仍然有多少人

87
00:03:43,159 --> 00:03:46,080
理解无穷大？但200

88
00:03:46,080 --> 00:03:49,000
年过去了，康托尔在

89
00:03:49,000 --> 00:03:52,560
1874年并不满意，他想知道，如果

90
00:03:52,560 --> 00:03:55,079
有两个无限集

91
00:03:55,079 --> 00:03:57,840
不能完美地相互映射，

92
00:03:57,840 --> 00:04:00,840
它们会是不同的无穷大吗？

93
00:04:00,840 --> 00:04:02,720
所以他开始 比较自然

94
00:04:02,720 --> 00:04:05,000
数和 0 到 1 之间的实数。

96
00:04:05,760 --> 00:04:08,959
卡纳首先假设他可以

97
00:04:08,959 --> 00:04:10,640
完美地将这些集合一一对应起来，

98
00:04:10,640 --> 00:04:13,519
因此他想象写下

99
00:04:13,519 --> 00:04:15,879
一个无限列表，一边是自然数，另

101
00:04:17,799 --> 00:04:20,600
一边是 0 到 1 之间的实数，因为

102
00:04:20,600 --> 00:04:23,160
没有最小的实数，所以他会以任意

103
00:04:23,160 --> 00:04:26,560
顺序写下它们，假设他

104
00:04:26,560 --> 00:04:29,479
现在有一个完整的无限列表。卡纳

105
00:04:29,479 --> 00:04:32,160
写下另一个实数，

106
00:04:32,160 --> 00:04:34,280
为此，他取

107
00:04:34,280 --> 00:04:37,160
第一个数字的第一位加一，然后取

108
00:04:37,160 --> 00:04:39,080
第二个数字的第二位，

109
00:04:39,080 --> 00:04:42,080
再次加一。他一直这样做，直到

110
00:04:42,080 --> 00:04:44,120
列表的下方。如果数字

111
00:04:44,120 --> 00:04:46,759
是 8 或 9，他会减一

112
00:04:46,759 --> 00:04:49,600
而不是加一，以避免重复。在

113
00:04:49,600 --> 00:04:51,360
这个过程结束时，他

114
00:04:51,360 --> 00:04:53,840
写下了一个介于 0 和 1 之间的实数，

115
00:04:53,840 --> 00:04:57,000
但这个数字没有出现

116
00:04:57,000 --> 00:05:00,120
在他的列表中，

117
00:05:00,120 --> 00:05:01,560
它与第一个小数位的第一个数字

118
00:05:01,560 --> 00:05:03,199
不同，与

119
00:05:03,199 --> 00:05:04,680
第二个小数位的第二个数字不同，

120
00:05:04,680 --> 00:05:08,080
依此类推，它必须与

122
00:05:09,880 --> 00:05:12,840
列表上的每个数字至少相差一位，

123
00:05:12,840 --> 00:05:15,240
对角线上的数字就是这个原因 这被称为

124
00:05:15,240 --> 00:05:18,360
Caner 对角化证明，它表明

126
00:05:20,600 --> 00:05:22,840
0 和 1 之间的实数一定比

127
00:05:22,840 --> 00:05:25,840
延伸到

128
00:05:25,840 --> 00:05:28,400
无穷大的自然数多。Caner 揭示了无穷大中的一些

129
00:05:28,400 --> 00:05:31,080
非凡之处，无穷大并非

130
00:05:31,080 --> 00:05:34,080
只有一种大小，一些无穷大，例如

131
00:05:34,080 --> 00:05:36,080
平方数集、整数或

132
00:05:36,080 --> 00:05:38,600
有理数，可以

133
00:05:38,600 --> 00:05:40,440
与自然数完美匹配，你可以

134
00:05:40,440 --> 00:05:44,160
逐个数出它们，1、2、3 等等，所以

135
00:05:44,160 --> 00:05:47,560
Caner 将这些称为可数无穷大，

136
00:05:47,560 --> 00:05:49,880
但还有更大的无穷大，

137
00:05:49,880 --> 00:05:52,400
Caner 将它们称为不可数无穷大，这些

138
00:05:52,400 --> 00:05:54,080
无穷大，例如所有实

139
00:05:54,080 --> 00:05:56,600
数的集合、复数，它们不能

140
00:05:56,600 --> 00:05:58,639
与自然数一一匹配。Canter 的

142
00:06:00,759 --> 00:06:03,440
结果震惊了数学

143
00:06:03,440 --> 00:06:05,960
界，毕竟，一个永远持续下去的东西怎么会比

145
00:06:08,479 --> 00:06:11,400
其他永远持续下去的东西更大呢？

146
00:06:11,400 --> 00:06:13,720
他的工作被贴上了恐怖和

147
00:06:13,720 --> 00:06:16,440
严重疾病的标签，但 Caner 并没有

148
00:06:16,440 --> 00:06:18,720
气馁，他的成功只会激励他

149
00:06:18,720 --> 00:06:21,319
追求更大的目标，即证明

150
00:06:21,319 --> 00:06:23,360
即使是不可数的无限集也

151
00:06:23,360 --> 00:06:25,680
可以确定地排列顺序，

152
00:06:25,680 --> 00:06:28,240
Caner 称之为良

153
00:06:28,240 --> 00:06:31,160
序，要使集合良序，他

154
00:06:31,160 --> 00:06:34,479
需要两个条件：首先，集合

155
00:06:34,479 --> 00:06:37,120
必须具有明确的顺序。 起点，

156
00:06:37,120 --> 00:06:39,520
其次，每个子集（

157
00:06:39,520 --> 00:06:42,280
来自该集合的项目集合）也必须有一个

158
00:06:42,280 --> 00:06:45,319
明确的起点，例如

159
00:06:45,319 --> 00:06:47,560
自然数是有序的，有

160
00:06:47,560 --> 00:06:50,880
一个起点 1，任何子集（比如

161
00:06:50,880 --> 00:06:53,919
678）也有一个明确的起点，在

162
00:06:53,919 --> 00:06:56,440
这种情况下是 6，你总是知道哪个

163
00:06:56,440 --> 00:07:01,039
数字在前，哪个数字在后，

164
00:07:01,039 --> 00:07:03,199
但是整数呢？整数

165
00:07:03,199 --> 00:07:05,160
在正向和负向都延伸到无穷大。Kanto

167
00:07:07,720 --> 00:07:10,599
意识到他可以选择零

168
00:07:10,599 --> 00:07:13,080
作为起点，然后从那里开始他的

169
00:07:13,080 --> 00:07:17,680
排序是 1ga - 1 2 -2，

170
00:07:17,680 --> 00:07:20,240
按绝对值对整数进行排序，它们

171
00:07:20,240 --> 00:07:22,639
与零的距离，无论

172
00:07:22,639 --> 00:07:24,080
你把正数放在第一位还是

173
00:07:24,080 --> 00:07:25,960
负数放在第一位都没关系，只要你保持

174
00:07:25,960 --> 00:07:28,319
一致的排序方式，这种方式

175
00:07:28,319 --> 00:07:29,879
实际上使我们能够将

176
00:07:29,879 --> 00:07:32,080
整数最大化到自然数，并看到

177
00:07:32,080 --> 00:07:34,919
两个集合的大小相同，但是还有

178
00:07:34,919 --> 00:07:36,560
其他方法可以很好地对

179
00:07:36,560 --> 00:07:39,120
整数进行排序，我们可以从零开始，

180
00:07:39,120 --> 00:07:41,360
然后有 1 2 3 一直到

181
00:07:41,360 --> 00:07:45,560
正无穷大，然后 - 1 -2 -3

182
00:07:45,560 --> 00:07:47,280
一直到负

183
00:07:47,280 --> 00:07:49,759
无穷大，这不是我们习惯的

184
00:07:49,759 --> 00:07:52,199
计数方式，但这两种 选项符合

185
00:07:52,199 --> 00:07:54,360
良好排序的定义，

186
00:07:54,360 --> 00:07:56,919
有一个明确的起点零，并且

187
00:07:56,919 --> 00:07:59,520
所有子集也都有一个确定的

188
00:07:59,520 --> 00:08:00,759
起点。

189
00:08:00,759 --> 00:08:03,280
卡纳成功地对一个

190
00:08:03,280 --> 00:08:05,680
在两个方向上都是无限的集合进行了良好排序，

191
00:08:05,680 --> 00:08:08,080
但它只是

192
00:08:08,080 --> 00:08:10,840
可数无限的。在他的下一本书中，他

193
00:08:10,840 --> 00:08:13,639
发表了他的良好排序定理，

194
00:08:13,639 --> 00:08:15,800
声称每个集合，即使是不可数

195
00:08:15,800 --> 00:08:17,800
无限的集合，比如实

196
00:08:17,800 --> 00:08:20,400
数，都可以是良好

197
00:08:20,400 --> 00:08:23,240
排序的。问题是他

198
00:08:23,240 --> 00:08:26,599
实际上并没有证明这一点，因为他不能。他

199
00:08:26,599 --> 00:08:30,400
尝试的每种方法都失败了。

200
00:08:30,400 --> 00:08:32,360
但有一个重要的原因，卡纳

201
00:08:32,360 --> 00:08:35,120
对他的定理如此有信心。卡纳

202
00:08:35,120 --> 00:08:37,919
是一个虔诚的路德教徒，他相信

203
00:08:37,919 --> 00:08:41,479
上帝通过他说话。他说我的

204
00:08:41,479 --> 00:08:44,399
理论坚如磐石，每一支

205
00:08:44,399 --> 00:08:46,519
射向它的箭都会

206
00:08:46,519 --> 00:08:49,680
很快回到它的弓箭手手中。我怎么知道的，

207
00:08:49,680 --> 00:08:52,040
因为我多年来从各个方面研究过它，最

208
00:08:52,040 --> 00:08:54,560
重要的是，因为我

209
00:08:54,560 --> 00:08:56,800
一直追寻它的根源，可以说是

210
00:08:56,800 --> 00:08:59,079
所有创造事物的第一个绝对原因。

212
00:09:00,519 --> 00:09:03,640
信仰与

213
00:09:03,640 --> 00:09:06,040
良好排序定理不符，这是一个

214
00:09:06,040 --> 00:09:08,800
没有任何数学证明的崇高主张，

215
00:09:08,800 --> 00:09:11,200
因此

216
00:09:11,200 --> 00:09:13,440
数学界第二次攻击和

217
00:09:13,440 --> 00:09:14,839
排斥

218
00:09:14,839 --> 00:09:17,640
领导这一运动的是柏林大学

219
00:09:17,640 --> 00:09:19,519
数学系主任利奥波德·克罗尼克 (Leopold chroniker)。

220
00:09:19,519 --> 00:09:21,839
克罗尼克

221
00:09:21,839 --> 00:09:23,920
完全否定了坎特的工作，

222
00:09:23,920 --> 00:09:26,160
称他为科学骗子和

223
00:09:26,160 --> 00:09:29,680
腐蚀青年的人。克罗尼克

224
00:09:29,680 --> 00:09:32,200
曾经是坎特的老师。坎特

225
00:09:32,200 --> 00:09:34,240
梦想着加入

226
00:09:34,240 --> 00:09:36,920
柏林大学，但他的所有申请都被

227
00:09:36,920 --> 00:09:40,160
神秘地拒绝了，所以坎特

228
00:09:40,160 --> 00:09:44,040
在 1884 年将拒绝归咎于自己。他给朋友写了 52

229
00:09:44,040 --> 00:09:46,720
封信，每一封信都对

230
00:09:46,720 --> 00:09:50,240
克罗尼克表示哀叹。不久，坎特就

231
00:09:50,240 --> 00:09:51,959
遭受了

232
00:09:51,959 --> 00:09:54,560
精神崩溃，这是他多次精神崩溃中的第一次。他被关进

233
00:09:54,560 --> 00:09:56,680
疗养院进行康复

234
00:09:56,680 --> 00:09:59,000
治疗。他能证明

235
00:09:59,000 --> 00:10:01,680
每一次都是错的，唯一的方法是对

236
00:10:01,680 --> 00:10:04,480
实数进行良好的排序，但他找不到

237
00:10:04,480 --> 00:10:06,240
起点。

238
00:10:06,240 --> 00:10:08,560
从

239
00:10:08,560 --> 00:10:10,959
疗养院出来后，坎特就彻底放弃了数学，在

240
00:10:10,959 --> 00:10:13,680
接下来的 15 年里，

241
00:10:13,680 --> 00:10:16,360
他教授哲学，很少涉足他

242
00:10:16,360 --> 00:10:17,680
以前的

243
00:10:17,680 --> 00:10:20,040
追求。也许他面临的最大挑战

244
00:10:20,040 --> 00:10:22,320
是在 1904 年的国际数学家大会上，

246
00:10:25,360 --> 00:10:27,320
来自 布达佩斯

247
00:10:27,320 --> 00:10:29,440
宣布他已经证明康托的

248
00:10:29,440 --> 00:10:32,600
良序定理是错误的，

249
00:10:32,600 --> 00:10:35,360
观众席上不仅有康托，还有

250
00:10:35,360 --> 00:10:38,360
他的妻子、两个女儿和他的

251
00:10:38,360 --> 00:10:41,560
同事，他感到非常

252
00:10:41,560 --> 00:10:44,600
羞辱，但还有另一位

253
00:10:44,600 --> 00:10:48,560
出席者，恩斯特·零零是一位德国

254
00:10:48,560 --> 00:10:50,279
数学家，他最近

255
00:10:50,279 --> 00:10:53,000
对康托的工作产生了浓厚的兴趣，当

256
00:10:53,000 --> 00:10:55,120
他听着坤的演讲时，在

257
00:10:55,120 --> 00:10:59,000
24小时内感觉有些不对劲，零

258
00:10:59,000 --> 00:11:01,720
已经指出了问题所在，坤的证明

259
00:11:01,720 --> 00:11:03,920
包含了一个毁灭性的

260
00:11:03,920 --> 00:11:06,440
矛盾，在一个月内，零

261
00:11:06,440 --> 00:11:08,680
发表了一篇三页的文章，题为“

262
00:11:08,680 --> 00:11:12,079
证明每个集合都可以良序”，

263
00:11:12,079 --> 00:11:14,320
这是完美的

264
00:11:14,320 --> 00:11:16,680
零的突破，

265
00:11:16,680 --> 00:11:18,440
他发现了康托工作中一些深刻的东西，

266
00:11:18,440 --> 00:11:21,440
一种机制，康托在

268
00:11:23,800 --> 00:11:27,120
任何地方都无意识地、本能地使用它，但在任何地方都没有明确地表述出来，

269
00:11:27,120 --> 00:11:29,920
一直以来，安纳一直

270
00:11:29,920 --> 00:11:31,959
假设他可以

271
00:11:31,959 --> 00:11:34,760
同时从任何集合中做出无限数量的选择，

272
00:11:34,760 --> 00:11:36,760
包括像实数这样的不可数无限集，

273
00:11:36,760 --> 00:11:39,440
但这只是一个

274
00:11:39,440 --> 00:11:42,040
假设，数学

275
00:11:42,040 --> 00:11:44,839
规则书中没有任何地方明确允许这样做，

276
00:11:44,839 --> 00:11:47,480
数学是建立在规则之上的，特别是公理，

277
00:11:47,480 --> 00:11:50,279
公理是 我们接受的简单陈述

278
00:11:50,279 --> 00:11:53,040
无需证明即可成立。零点

279
00:11:53,040 --> 00:11:54,920
实现了坎特的假设，需要

280
00:11:54,920 --> 00:11:57,120
将其形式化为

281
00:11:57,120 --> 00:12:00,560
在证明系统中成立的东西。一条新公理

282
00:12:00,560 --> 00:12:03,079
表明，做出所有这些选择都是

283
00:12:03,079 --> 00:12:07,639
可能的。他需要选择公理。

284
00:12:07,639 --> 00:12:09,279
选择公理可以这样说：

285
00:12:09,279 --> 00:12:10,639
如果你有无限多个

286
00:12:10,639 --> 00:12:12,680
集合，并且每个集合都不为空，那么

287
00:12:12,680 --> 00:12:14,160
就有办法

288
00:12:14,160 --> 00:12:17,720
从每个集合中选择一个元素。对于有限集，

289
00:12:17,720 --> 00:12:21,000
这似乎很明显，只需逐个集合

290
00:12:21,000 --> 00:12:23,800
选择某个元素即可。即使对于无限集，

291
00:12:23,800 --> 00:12:26,480
如果有一个明确的规则，比如

292
00:12:26,480 --> 00:12:29,399
总是选择最小的元素，也很容易。但

293
00:12:29,399 --> 00:12:31,920
有时没有自然规则。在

294
00:12:31,920 --> 00:12:34,000
这种情况下，当你从

295
00:12:34,000 --> 00:12:35,959
无限多个集合（包括

296
00:12:35,959 --> 00:12:38,279
不可数集合）中进行选择时，你需要

297
00:12:38,279 --> 00:12:40,959
选择公理。我们不能说我们是如何选择的，

298
00:12:40,959 --> 00:12:43,480
但公理会同时做出所有这些选择。

299
00:12:43,480 --> 00:12:46,639
公理不允许你

300
00:12:46,639 --> 00:12:49,320
说你选择了哪个元素，只

302
00:12:51,800 --> 00:12:54,519
允许无限多个选择。那么，这个新公理如何

303
00:12:54,519 --> 00:12:57,519
使我们能够对实数进行良好的排序？

304
00:12:57,519 --> 00:13:00,720
零点使用选择公理

305
00:13:00,720 --> 00:13:02,639
从所有实数的集合中选择一个数字。

306
00:13:02,639 --> 00:13:04,720
他把这个数

307
00:13:04,720 --> 00:13:08,639
放在一个新集合 R 中，假设它为 X1，公理

308
00:13:08,639 --> 00:13:10,560
允许他从

309
00:13:10,560 --> 00:13:12,600
所有实数减去

310
00:13:12,600 --> 00:13:15,199
取出的数的子集中选择另一个数，他把这个数称为 X2，

311
00:13:15,199 --> 00:13:18,199
并将其作为集合中的下一个数

312
00:13:18,199 --> 00:13:19,920
，他继续这样做，把

313
00:13:19,920 --> 00:13:23,160
选中的数放在 X3 X4

314
00:13:23,160 --> 00:13:25,680
X5 的旁边，现在感觉他

315
00:13:25,680 --> 00:13:28,240
一次选择一个数，但实际上，

316
00:13:28,240 --> 00:13:30,440
选择是从所有可能的

317
00:13:30,440 --> 00:13:34,279
子集中同时进行的，因为零用

318
00:13:34,279 --> 00:13:36,199
自然数索引每个数，

319
00:13:36,199 --> 00:13:38,399
起初他似乎遇到了

320
00:13:38,399 --> 00:13:40,240
问题，因为自然数

321
00:13:40,240 --> 00:13:42,680
只是可数无限的，而

322
00:13:42,680 --> 00:13:45,079
实数更多，所以他

323
00:13:45,079 --> 00:13:47,800
最终应该用完标签，但我们可以

324
00:13:47,800 --> 00:13:50,600
数到无穷大之外，

325
00:13:50,600 --> 00:13:52,480
我们之前数过正无穷大

326
00:13:52,480 --> 00:13:55,120
到达 neg1 -2

327
00:13:55,120 --> 00:13:58,120
等等，所以我们只需要一组超出自然数的新数，把

329
00:14:00,959 --> 00:14:04,320
下一个数称为 Omega，然后 Omega + 1 Omega +

330
00:14:04,320 --> 00:14:08,000
2 等等，这些 Omega 数并不

331
00:14:08,000 --> 00:14:10,320
大于无穷大，它们只是在

332
00:14:10,320 --> 00:14:12,800
无穷大之后，它们没有告诉我们有

333
00:14:12,800 --> 00:14:14,639
多少 东西在那里，但它们确实告诉

334
00:14:14,639 --> 00:14:17,360
我们它们的顺序，所以我们取出的下一个数字

335
00:14:17,360 --> 00:14:20,160
我们将其标记为 X Omega，然后是 X

336
00:14:20,160 --> 00:14:24,120
Omega + 1 x Omega 加 2，依此类推，

337
00:14:24,120 --> 00:14:26,199
直到我们匹配

338
00:14:26,199 --> 00:14:28,600
实数的大小并且我们的原始集合为

339
00:14:28,600 --> 00:14:29,759
空，

340
00:14:29,759 --> 00:14:32,839
现在每个实数都在我们的新集合中，

341
00:14:32,839 --> 00:14:35,519
有一个第一个数字 X1，每个子

342
00:14:35,519 --> 00:14:38,800
集也都有一个第一个数字，

343
00:14:38,800 --> 00:14:40,759
就像这样，我们成功地对

344
00:14:40,759 --> 00:14:44,040
实数进行了良序排列，这个顺序

345
00:14:44,040 --> 00:14:46,519
看起来与我们熟悉的顺序完全不同，

346
00:14:46,519 --> 00:14:49,320
十亿可能排在 02 之前，但通过

347
00:14:49,320 --> 00:14:51,600
这个过程，我们可以证明良

348
00:14:51,600 --> 00:14:53,040
序

349
00:14:53,040 --> 00:14:55,920
存在，更重要的是，我们现在有

350
00:14:55,920 --> 00:14:57,759
办法解决如何在

351
00:14:57,759 --> 00:15:00,360
数学上选择的问题，我们不能选择一个

352
00:15:00,360 --> 00:15:02,920
最小的实数，但现在我们可以选择

353
00:15:02,920 --> 00:15:05,600
一个第一个实数作为起点，

354
00:15:05,600 --> 00:15:08,040
我们可以对任何集合都这样做，这意味着

355
00:15:08,040 --> 00:15:10,440
所有集合都可以是良序的，无论

356
00:15:10,440 --> 00:15:13,440
无穷大如何，所以 Canter 的良序

357
00:15:13,440 --> 00:15:18,279
定理和 Zero 的选择公理是

358
00:15:18,279 --> 00:15:22,440
等价的，caner 非常欣慰 zero

359
00:15:22,440 --> 00:15:24,399
证明了良序定理，并

360
00:15:24,399 --> 00:15:26,759
在不到一个月的时间内对实数进行了良序排列，

362
00:15:30,399 --> 00:15:32,480
zero 采取了数学家们

363
00:15:32,480 --> 00:15:34,519
几十年来，他不知不觉地依赖了数学，并将

364
00:15:34,519 --> 00:15:37,519
其变成了一个正式的公理，他证明了

365
00:15:37,519 --> 00:15:39,440
理解数学不仅仅是

366
00:15:39,440 --> 00:15:42,120
数字，而是数字背后的逻辑，

367
00:15:42,120 --> 00:15:44,120
最近我一直在尝试做

368
00:15:44,120 --> 00:15:46,319
类似的事情，但这次是针对人工智能，我

369
00:15:46,319 --> 00:15:48,560
试图理解像

370
00:15:48,560 --> 00:15:51,199
聊天 GPT 这样的模型背后的逻辑，如果

371
00:15:51,199 --> 00:15:52,800
你也想了解

372
00:15:52,800 --> 00:15:55,120
生成式人工智能是如何运作的，那么

373
00:15:55,120 --> 00:15:56,680
你可以和今天的赞助商

374
00:15:56,680 --> 00:15:58,639
brilliant brilliant 一起学习，brilliant brilliant 刚刚推出了一门

375
00:15:58,639 --> 00:16:00,639
很棒的课程，用交互式视觉效果将所有这些都分解开来，这正是

377
00:16:03,000 --> 00:16:05,279
我喜欢 brilliant 的地方，这门

378
00:16:05,279 --> 00:16:07,240
课程可以培养你对

379
00:16:07,240 --> 00:16:10,079
人工智能背后的数学和逻辑的直觉，探索如何

380
00:16:10,079 --> 00:16:12,360
训练模型来识别模式、

381
00:16:12,360 --> 00:16:16,000
生成图像，甚至

383
00:16:18,160 --> 00:16:20,600
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399
00:16:56,399 --> 00:16:59,120
选择公理，选择公理可能是

400
00:16:59,120 --> 00:17:02,480
一个新的想法，但它的用途绝不是

401
00:17:02,480 --> 00:17:04,839
零扫描了其他数学家的几十篇论文，

402
00:17:04,839 --> 00:17:06,959
意识到他们

403
00:17:06,959 --> 00:17:09,799
也一直在使用公理，即使是

404
00:17:09,799 --> 00:17:12,120
那些批评坎特工作的人，

405
00:17:12,120 --> 00:17:14,600
这只是表明它是多么不直观，

406
00:17:14,600 --> 00:17:17,079
它甚至是一个公理，人们在不知不觉中

407
00:17:17,079 --> 00:17:20,799
已经使用了它大约十年，

408
00:17:20,799 --> 00:17:23,439
但这似乎太

409
00:17:23,439 --> 00:17:26,079
明显了零的证明实际上并没有

410
00:17:26,079 --> 00:17:28,640
构建一个良好的秩序，它只是说一个

411
00:17:28,640 --> 00:17:32,000
必须存在，但如果我们

412
00:17:32,000 --> 00:17:34,919
不能真正构建它，某物是否可能存在他的证明也

413
00:17:34,919 --> 00:17:37,600
使用了不可数的步骤，

414
00:17:37,600 --> 00:17:40,240
甚至允许一些数学家

415
00:17:40,240 --> 00:17:42,799
认为证明应该是有限的其他人

416
00:17:42,799 --> 00:17:45,200
接受无限，但只有可数的

417
00:17:45,200 --> 00:17:48,760
类型，然后事情变得

418
00:17:48,760 --> 00:17:51,160
更糟，当数学家玩弄

419
00:17:51,160 --> 00:17:53,400
选择公理时，它产生了

420
00:17:53,400 --> 00:17:56,600
令人不安的结果，其中第一个

421
00:17:56,600 --> 00:17:59,400
来自杰皮维塔利 1905 年，

422
00:17:59,400 --> 00:18:01,679
维塔利 (Vitali) 利用选择公理 (axium of choice) 建立了

423
00:18:01,679 --> 00:18:03,840
一个数集，它颠覆了我们对

425
00:18:06,240 --> 00:18:09,600
长度概念的固有观念。维塔利的做法是，他把

426
00:18:09,600 --> 00:18:12,760
0 到 1 之间的每个实数都

427
00:18:12,760 --> 00:18:15,720
分配到无限

428
00:18:15,720 --> 00:18:18,760
多个箱子中的一个，我们把这些箱子称为

429
00:18:18,760 --> 00:18:21,960
组，所以我们希望每个实数最终都恰好落入

430
00:18:21,960 --> 00:18:25,039
无限多个

431
00:18:25,039 --> 00:18:28,480
箱子中的一个，那么他是怎么做到的呢？假设

432
00:18:28,480 --> 00:18:33,080
我们有两个数 X 和 Y，如果它们的

433
00:18:33,080 --> 00:18:37,919
差 x - Y 等于一个有理数，也

434
00:18:37,919 --> 00:18:40,880
就是一个整数除以另一个

435
00:18:40,880 --> 00:18:44,360
整数，那么 X 和 Y 都会

436
00:18:44,360 --> 00:18:49,640
进入同一个箱子。但如果我们有

437
00:18:49,640 --> 00:18:52,440
另外两个数，比如 p 和

438
00:18:52,440 --> 00:18:56,400
Q，它们的差不是无理数，

439
00:18:56,400 --> 00:18:58,919
所以它是一个无理数差，那么

440
00:18:58,919 --> 00:19:02,400
这两个数就会进入

441
00:19:02,400 --> 00:19:06,280
不同的箱子。我们举几个例子，

442
00:19:06,280 --> 00:19:10,520
如果是 3/4 减去一半，我们得到

443
00:19:10,520 --> 00:19:14,280
四分之四，所以 3/4 和一半都会

444
00:19:14,280 --> 00:19:18,360
进入同一个箱子。实际上，你可以看到，

445
00:19:18,360 --> 00:19:21,240
从

446
00:19:21,240 --> 00:19:24,440
0 到 1 的所有有理数 它们最终都会被分到同一

447
00:19:24,440 --> 00:19:27,520
组中。如果你有无理数，那么

448
00:19:27,520 --> 00:19:29,640
它们是否会被

449
00:19:29,640 --> 00:19:31,720
分到同一个箱子里还不清楚。因为，

450
00:19:31,720 --> 00:19:34,400
例如，如果我们有一个数 < tk2

451
00:19:34,400 --> 00:19:39,760
over2 减去 < tk2 over 2 - a/4，

452
00:19:39,760 --> 00:19:41,480
那么即使这两个数都是无理数，它们之间也会有一个有理

453
00:19:41,480 --> 00:19:42,880
差，

454
00:19:42,880 --> 00:19:45,880
所以这两个

455
00:19:45,880 --> 00:19:50,000
数会分到同一组中。但

456
00:19:50,000 --> 00:19:52,280
如果我们有有理数 < tk2

457
00:19:52,280 --> 00:19:56,520
over 2 - < tk2 over 3，那么它们之间也会有一个

458
00:19:56,520 --> 00:19:59,480
无理差，所以 < tk2 2 over 3

459
00:19:59,480 --> 00:20:03,080
必须被分到不同的箱子里，

460
00:20:03,080 --> 00:20:05,280
它会和所有与

461
00:20:05,280 --> 00:20:07,559
它有有理差的数合并。

462
00:20:07,559 --> 00:20:10,480
这样，你就可以将每个实数分配

463
00:20:10,480 --> 00:20:15,039
到其中一个箱子里。接下来，Vali

464
00:20:15,039 --> 00:20:18,000
使用选择公理深入到

465
00:20:18,000 --> 00:20:21,440
每个组中，并选择一个可以

466
00:20:21,440 --> 00:20:23,440
代表该

467
00:20:23,440 --> 00:20:26,039
组的数，这样我们就可以从有理组中提取 3/4，从

468
00:20:26,039 --> 00:20:28,280
这个组中提取 < tk2 over2，从

469
00:20:28,280 --> 00:20:30,159
那个组中提取 2 over 3，

470
00:20:30,159 --> 00:20:32,320
等等，当然，因为 我们

471
00:20:32,320 --> 00:20:34,240
用的是选择公理，你

472
00:20:34,240 --> 00:20:36,280
实际上并不知道那个代表

473
00:20:36,280 --> 00:20:39,840
数是什么，只是知道有一个，所以我们

474
00:20:39,840 --> 00:20:43,880
可以这样写，我们有

475
00:20:43,880 --> 00:20:45,840
来自每个组的代表数，

476
00:20:45,840 --> 00:20:48,960
它们一起构成了维塔利集，

477
00:20:48,960 --> 00:20:50,600
你可以把这个集合想象成

478
00:20:50,600 --> 00:20:53,600
Z 和 1 之间的点的集合，

479
00:20:53,600 --> 00:20:57,080
接下来，维塔利无限复制他的

480
00:20:57,080 --> 00:21:00,240
集合，每个副本都会在

481
00:21:00,240 --> 00:21:03,559
-1 和正 1 之间移动一个不同的有理数，

482
00:21:03,559 --> 00:21:05,919
所以如果你想想它的作用，

483
00:21:05,919 --> 00:21:08,200
它会把每个

484
00:21:08,200 --> 00:21:10,400
代表数移动到

485
00:21:10,400 --> 00:21:13,120
它所属组中每个其他数字的位置，

486
00:21:13,120 --> 00:21:15,559
如果我们只有一个有理数，把它

488
00:21:16,760 --> 00:21:18,559
从有理群中抽出来作为代表，

489
00:21:18,559 --> 00:21:20,279
现在我们要把它移动

490
00:21:20,279 --> 00:21:22,760
1 和正 1 之间的每个可能的有理数，

491
00:21:22,760 --> 00:21:25,159
所以它最终会到达

493
00:21:27,400 --> 00:21:29,320
它所属组中其他成员占据的每个位置，至少在

494
00:21:29,320 --> 00:21:32,600
0 和 1 之间的跨度上，所以如果你

495
00:21:32,600 --> 00:21:35,400
想象现在把所有这些

496
00:21:35,400 --> 00:21:37,279
无限集合并在一起，

497
00:21:37,279 --> 00:21:39,960
点之间就不会有重叠，

498
00:21:39,960 --> 00:21:42,440
其次，我们会得到

499
00:21:42,440 --> 00:21:46,000
0 和 1 之间的每个实数，因为在这个

500
00:21:46,000 --> 00:21:49,520
跨度上，我们有每个 组，

501
00:21:49,520 --> 00:21:53,200
所以现在的问题是

502
00:21:53,200 --> 00:21:55,799
生命集的大小是多少，现在我们知道

503
00:21:55,799 --> 00:21:59,200
这些集合的并集必须大于

504
00:21:59,200 --> 00:22:02,520
或等于 1，因为我们有

505
00:22:02,520 --> 00:22:05,720
0 到 1 之间的每个实数，但

506
00:22:05,720 --> 00:22:08,440
这些点只延伸到

507
00:22:08,440 --> 00:22:13,039
-1 或 pos2，所以它必须小于或

508
00:22:13,039 --> 00:22:16,440
等于 3，但这就是问题所在，

509
00:22:16,440 --> 00:22:20,320
因为

510
00:22:20,320 --> 00:22:23,000
生命集的大小是多少，你可以将其无限次加到自身上，

511
00:22:23,000 --> 00:22:25,600
最终得到

512
00:22:25,600 --> 00:22:28,520
1 到 3 之间的值，没有

513
00:22:28,520 --> 00:22:31,200
这样的数字，我的意思是，如果

514
00:22:31,200 --> 00:22:33,480
生命集的大小为零，你将其

515
00:22:33,480 --> 00:22:36,159
无限次加起来仍然得到零，

516
00:22:36,159 --> 00:22:37,760
如果生命集的大小是一个

517
00:22:37,760 --> 00:22:40,039
小的正值，那么你将其

518
00:22:40,039 --> 00:22:41,760
无限次加起来会

519
00:22:41,760 --> 00:22:44,559
得到无穷大而不是三，所以我们有一个

520
00:22:44,559 --> 00:22:47,279
矛盾，唯一的出路是如果

521
00:22:47,279 --> 00:22:50,799
生命集本身是不可测的，

522
00:22:50,799 --> 00:22:53,120
这看起来很

523
00:22:53,120 --> 00:22:56,000
疯狂，像生命集这样的不可测集

524
00:22:56,000 --> 00:22:58,559
没有

525
00:22:58,559 --> 00:23:01,039
大小、长度、面积甚至

526
00:23:01,039 --> 00:23:03,440
概率的一致定义，但数学建立在

527
00:23:03,440 --> 00:23:05,600
一切都可以量化的思想之上，

528
00:23:05,600 --> 00:23:08,520
无论是距离时间还是 重量，

529
00:23:08,520 --> 00:23:11,400
但现在有不可测量的集合，

530
00:23:11,400 --> 00:23:13,720
看起来 选择公理是

532
00:23:14,559 --> 00:23:17,120
罪魁祸首，这只是该

533
00:23:17,120 --> 00:23:20,880
公理引发轩然大波的开始。1924年，两位

534
00:23:20,880 --> 00:23:22,720
数学家斯蒂芬·班克和阿尔弗雷德·

535
00:23:22,720 --> 00:23:25,080
塔斯基用它演示了一个

536
00:23:25,080 --> 00:23:27,960
类似魔术的东西。他们证明，你

537
00:23:27,960 --> 00:23:30,279
可以把一个实心球分成

538
00:23:30,279 --> 00:23:33,159
五块，然后

539
00:23:33,159 --> 00:23:35,159
小心地旋转和移动这些

540
00:23:35,159 --> 00:23:37,480
碎片，你可以把它们重新组装成

541
00:23:37,480 --> 00:23:40,039
两个球，每个球都和我们

542
00:23:40,039 --> 00:23:42,679
开始时的那个一模一样，你可以一直这样做，

543
00:23:42,679 --> 00:23:44,679
直到最终得到无数

544
00:23:44,679 --> 00:23:48,640
个球。无限源于

545
00:23:48,640 --> 00:23:51,480
一，这听起来很荒谬，但我们可以

546
00:23:51,480 --> 00:23:55,080
通过构建一个图表来实际了解它的工作原理。

547
00:23:55,080 --> 00:23:57,720
想象一下，你可以在四个

548
00:23:57,720 --> 00:24:01,360
方向上移动，上下左右，

549
00:24:01,360 --> 00:24:03,960
走一步之后，假设向左走，你会得到

550
00:24:03,960 --> 00:24:06,559
相同的四个选择，上下

551
00:24:06,559 --> 00:24:08,640
左右，但如果你向右走，你

552
00:24:08,640 --> 00:24:10,760
最终会回到你开始的地方，所以

553
00:24:10,760 --> 00:24:12,400
我们唯一的规则是，

554
00:24:12,400 --> 00:24:15,559
你不能立即逆转一个动作，

555
00:24:15,559 --> 00:24:17,880
我们会在每一步都重复这个动作，

556
00:24:17,880 --> 00:24:20,200
画出每条新线，长度是

557
00:24:20,200 --> 00:24:22,640
前一条线的一半，这样它就可以放在屏幕上，

558
00:24:22,640 --> 00:24:25,200
如果我们继续下去，我们最终会得到

559
00:24:25,200 --> 00:24:28,480
这个无限分支的图，

560
00:24:28,480 --> 00:24:30,360
看看我们的图，我们可以把它

561
00:24:30,360 --> 00:24:33,080
分成五个部分，中间

562
00:24:33,080 --> 00:24:34,960
部分是我们开始的地方，然后还有

563
00:24:34,960 --> 00:24:37,080
另外四个部分，它们都是

564
00:24:37,080 --> 00:24:38,720
相同的，只是

565
00:24:38,720 --> 00:24:41,039
旋转了一下。如果我们把这个部分

566
00:24:41,039 --> 00:24:43,360
向左移动，然后把所有东西都向右移动一步，

567
00:24:43,360 --> 00:24:45,919
上面的部分就到这里，下面的部分在

568
00:24:45,919 --> 00:24:47,919
这里，最左边的

569
00:24:47,919 --> 00:24:51,039
部分在这里，那么我们几乎就重新创建了

570
00:24:51,039 --> 00:24:53,480
整个图，唯一

571
00:24:53,480 --> 00:24:56,080
缺少的就是这个部分，所以我们把它加

572
00:24:56,080 --> 00:24:58,440
回去。但是我们可以

573
00:24:58,440 --> 00:25:00,440
用完全不同的方式做同样的事情，把

574
00:25:00,440 --> 00:25:02,399
底部的部分

575
00:25:02,399 --> 00:25:05,480
向上移动一步，现在最左边的部分在

576
00:25:05,480 --> 00:25:08,279
这里，最右边的部分在这里，

577
00:25:08,279 --> 00:25:10,559
底部又在这里。我们只缺少

578
00:25:10,559 --> 00:25:13,360
一个部分，所以我们把它加回去，但这

579
00:25:13,360 --> 00:25:15,559
意味着我可以用两种完全不同的方式重新创建整个

580
00:25:15,559 --> 00:25:17,679
原始图。

581
00:25:17,679 --> 00:25:20,480
我们把一个图分成几个

582
00:25:20,480 --> 00:25:22,840
部分，移动这些部分，这样

583
00:25:22,840 --> 00:25:24,399
左边的部分就向右移动，

584
00:25:24,399 --> 00:25:27,520
下面的部分就向上移动，最后以某种方式得到了两个

585
00:25:27,520 --> 00:25:29,840
相同的

586
00:25:29,840 --> 00:25:32,399
副本，这正是 Benck 和

587
00:25:32,399 --> 00:25:35,120
Tarski 所做的，但是对于像我们的图这样的球，

588
00:25:35,120 --> 00:25:37,760
我们同样有四种移动方式，我们可以

589
00:25:37,760 --> 00:25:41,399
将球向上、向下、向左或向右旋转，

590
00:25:41,399 --> 00:25:43,480
然后再次 我们唯一的规则是我们不能

591
00:25:43,480 --> 00:25:45,880
立即逆转移动，并且为了

592
00:25:45,880 --> 00:25:47,159
确保我们永远不会回到同一个

593
00:25:47,159 --> 00:25:50,039
点，每次旋转都将围绕

594
00:25:50,039 --> 00:25:53,240
圆的相同无理部分进行，我们可以

595
00:25:53,240 --> 00:25:55,960
选择一个随机的起点标记它，

596
00:25:55,960 --> 00:25:59,480
然后开始旋转球，每个点都

597
00:25:59,480 --> 00:26:01,399
根据

598
00:26:01,399 --> 00:26:04,840
到达那里的旋转方向进行着色，如果我们

599
00:26:04,840 --> 00:26:07,399
无限次地这样做，我们最终会得到

600
00:26:07,399 --> 00:26:10,520
这个点的集合，这是一个

601
00:26:10,520 --> 00:26:12,559
可数无限的集合，因为我们

602
00:26:12,559 --> 00:26:15,039
可以列出每个旋转并为其分配一个

603
00:26:15,039 --> 00:26:17,760
自然数，但是球的表面

604
00:26:17,760 --> 00:26:20,320
有无数个点，就像

605
00:26:20,320 --> 00:26:22,640
实数线一样，所以如果我们想要

606
00:26:22,640 --> 00:26:24,960
覆盖整个表面，我们

607
00:26:24,960 --> 00:26:27,919
需要重复这个过程，但是

608
00:26:27,919 --> 00:26:30,120
我们接下来从哪里开始，因为有

609
00:26:30,120 --> 00:26:31,960
无数个可能的

610
00:26:31,960 --> 00:26:34,760
起点，我们无法全部列出它们，我们

611
00:26:34,760 --> 00:26:36,679
希望确保避免任何

612
00:26:36,679 --> 00:26:39,399
我们已经着色的点，所以解决方案是

613
00:26:39,399 --> 00:26:42,600
使用选择公理，我们

614
00:26:42,600 --> 00:26:45,039
可以继续选择唯一的起点，

615
00:26:45,039 --> 00:26:47,520
即使我们不能确切地说我们如何

616
00:26:47,520 --> 00:26:50,399
选择它们，一旦我们为

617
00:26:50,399 --> 00:26:52,399
球上的每个点着色，我们可以将

618
00:26:52,399 --> 00:26:54,840
点分成五组，一组用于

619
00:26:54,840 --> 00:26:57,279
起点，另外四组基于

620
00:26:57,279 --> 00:26:59,640
用于到达的最终旋转

621
00:26:59,640 --> 00:27:01,960
这些点，这些组现在可以

622
00:27:01,960 --> 00:27:03,880
像我们图表的各个部分一样处理，

623
00:27:03,880 --> 00:27:05,720
我们可以取

624
00:27:05,720 --> 00:27:07,760
以左旋转结尾的点组，然后将

625
00:27:07,760 --> 00:27:10,640
其向右旋转，然后我们添加

626
00:27:10,640 --> 00:27:12,799
以右旋转结尾的组，

627
00:27:12,799 --> 00:27:15,880
就像这样，我们重新创建了原始

628
00:27:15,880 --> 00:27:18,640
球，我们可以再次执行此操作，进行

629
00:27:18,640 --> 00:27:20,240
额外的移动以考虑

630
00:27:20,240 --> 00:27:22,440
起始点，我们可以同样取

631
00:27:22,440 --> 00:27:24,240
以向下旋转结尾的组，然后将

632
00:27:24,240 --> 00:27:26,960
其向上旋转，然后我们添加以

633
00:27:26,960 --> 00:27:29,080
向上旋转结尾的组和

634
00:27:29,080 --> 00:27:31,200
起始点，现在我们

635
00:27:31,200 --> 00:27:34,399
第二次重新创建了原始球，

636
00:27:34,399 --> 00:27:36,440
现在这有点

637
00:27:36,440 --> 00:27:38,200
过于简单，但它告诉了你

638
00:27:38,200 --> 00:27:41,000
如何从一个球完成此操作的本质，

639
00:27:41,000 --> 00:27:43,480
我们创建了两个相同体积的相同球，

640
00:27:43,480 --> 00:27:46,039
没有什么阻止我们

641
00:27:46,039 --> 00:27:47,760
再次这样做，两个球可以

642
00:27:47,760 --> 00:27:50,080
变成四个，四个变成八个，

643
00:27:50,080 --> 00:27:52,320
不知不觉中你就得到了无限的

644
00:27:52,320 --> 00:27:54,559
球，选择公理显然

645
00:27:54,559 --> 00:27:57,200
是正确的，而其

646
00:27:57,200 --> 00:28:00,320
后果显然是错误的，

647
00:28:00,320 --> 00:28:03,000
你会想这到底是怎么回事，这种

648
00:28:03,000 --> 00:28:04,880
无限复制在

649
00:28:04,880 --> 00:28:07,279
理论上是可能的，但问题是

650
00:28:07,279 --> 00:28:09,600
我们将球分成的组不是

651
00:28:09,600 --> 00:28:11,480
简单的形状 它们实际上是

652
00:28:11,480 --> 00:28:13,919
不可测量的，就像生命集一样，

653
00:28:13,919 --> 00:28:15,919
虽然原始球有体积，

654
00:28:15,919 --> 00:28:18,279
复制的球也有体积，但

655
00:28:18,279 --> 00:28:20,799
两者之间的步骤违反了我们对

656
00:28:20,799 --> 00:28:22,880
大小的理解，这就是

657
00:28:22,880 --> 00:28:25,279
悖论

658
00:28:25,279 --> 00:28:27,120
发生的原因，当然，这些在

659
00:28:27,120 --> 00:28:30,159
物理上是不合理的切割，但

660
00:28:30,159 --> 00:28:33,240
有一个更呃形而上学的问题，

661
00:28:33,240 --> 00:28:34,600
比如

662
00:28:34,600 --> 00:28:36,840
如果我们可以进行这样的切割，这是否可能，而

663
00:28:36,840 --> 00:28:38,559
我认识的几乎每个人的答案

664
00:28:38,559 --> 00:28:41,840
都是绝对不可能，事实是没有人

665
00:28:41,840 --> 00:28:44,559
知道同一年发生了什么，

666
00:28:44,559 --> 00:28:46,840
塔斯基试图进一步推动选择公理，

667
00:28:46,840 --> 00:28:49,159
证明它等同于对

668
00:28:49,159 --> 00:28:51,640
任何无限集进行平方

669
00:28:51,640 --> 00:28:55,279
不会增加其大小的陈述，当塔斯基

670
00:28:55,279 --> 00:28:56,840
第一次将这项工作提交给巴黎的一家期刊时，

671
00:28:56,840 --> 00:28:59,640
编辑 leag

672
00:28:59,640 --> 00:29:02,000
轻蔑地回应说，没有人对

673
00:29:02,000 --> 00:29:04,120
两个错误陈述之间的等价性感兴趣，不要被

674
00:29:04,120 --> 00:29:06,960
吓倒，塔里把它寄给了

675
00:29:06,960 --> 00:29:08,679
同一家期刊的另一位编辑，

676
00:29:08,679 --> 00:29:12,440
因为他的回应是，没有人对

677
00:29:12,440 --> 00:29:14,440
两个

678
00:29:14,440 --> 00:29:17,799
明显正确的陈述之间的等价性感兴趣，塔斯基再也没有在

679
00:29:17,799 --> 00:29:19,799
那里提交过论文，

680
00:29:19,799 --> 00:29:23,399
所以数学在 30

681
00:29:23,399 --> 00:29:26,120
多年的危机中 人们不知道该

682
00:29:26,120 --> 00:29:29,159
相信什么，问题是等一下，

683
00:29:29,159 --> 00:29:30,960
这真的是公理吗？还是

684
00:29:30,960 --> 00:29:34,519
你可以证明的东西？1938年，我们

685
00:29:34,519 --> 00:29:37,640
终于开始得到一些答案，

686
00:29:37,640 --> 00:29:39,480
奥地利数学家库尔特·古德尔

687
00:29:39,480 --> 00:29:41,720
证明，存在一个世界，其中所有

688
00:29:41,720 --> 00:29:43,640
其他已经接受的集合论

689
00:29:43,640 --> 00:29:46,720
公理都成立，选择公理也是如此。

690
00:29:46,720 --> 00:29:50,919
然后在1963年，保罗·科恩证明，

691
00:29:50,919 --> 00:29:52,720
还有一个世界，其中

692
00:29:52,720 --> 00:29:55,480
除了选择公理之外，所有集合论公理都成立。

693
00:29:55,480 --> 00:29:58,679
这有点

694
00:29:58,679 --> 00:30:01,440
像几何中的平行公设，

695
00:30:01,440 --> 00:30:04,000
你可以把几何想象成一个游戏，

696
00:30:04,000 --> 00:30:06,600
前四个公设或公理就像

697
00:30:06,600 --> 00:30:08,760
玩这个游戏所需的最低规则，

698
00:30:08,760 --> 00:30:11,440
然后第五个公理选择

699
00:30:11,440 --> 00:30:13,840
你想要玩的宇宙，如果

700
00:30:13,840 --> 00:30:15,720
你选择第五个公理不

701
00:30:15,720 --> 00:30:18,360
成立，那么就没有平行线，那么

702
00:30:18,360 --> 00:30:21,039
你就是在玩球面几何，如果

703
00:30:21,039 --> 00:30:22,960
你选择一条平行线，那么你就是在

704
00:30:22,960 --> 00:30:25,120
玩平面几何，如果你

705
00:30:25,120 --> 00:30:27,120
选择多条平行线，那么

706
00:30:27,120 --> 00:30:29,919
你就是在玩双曲几何，

707
00:30:29,919 --> 00:30:32,240
所有这些几何都是有效的，这

708
00:30:32,240 --> 00:30:35,080
取决于 在您想要做的数学上，

709
00:30:35,080 --> 00:30:38,159
对于选择公理来说也是如此，

710
00:30:38,159 --> 00:30:40,240
选择公理既不能被

711
00:30:40,240 --> 00:30:42,720
证明，也不能被其他

712
00:30:42,720 --> 00:30:45,399
公理证伪，所以只要其他公理

713
00:30:45,399 --> 00:30:47,840
一致，添加选择不会

714
00:30:47,840 --> 00:30:50,480
导致任何矛盾，保罗·科恩

715
00:30:50,480 --> 00:30:52,519
三年后

716
00:30:52,519 --> 00:30:54,919
因其突破性的成果以及他

717
00:30:54,919 --> 00:30:58,000
在集合论中的其他工作而获得菲尔兹奖，在古德

718
00:30:58,000 --> 00:30:59,720
和科恩的工作之后，

719
00:30:59,720 --> 00:31:01,960
关于选择公理的大多数争论

720
00:31:01,960 --> 00:31:04,240
最终都平息了，到底发生了什么，这

721
00:31:04,240 --> 00:31:06,200
取决于你是否

722
00:31:06,200 --> 00:31:08,480
要选择将选择的目标作为

723
00:31:08,480 --> 00:31:11,919
你系统的一部分，并面对拥有它或不

725
00:31:14,000 --> 00:31:16,240
拥有它的后果，尽管选择公理会

726
00:31:16,240 --> 00:31:17,919
产生违反直觉的结果，如

727
00:31:17,919 --> 00:31:20,240
不可测集

728
00:31:20,240 --> 00:31:22,760
和无限重复，但它

729
00:31:22,760 --> 00:31:25,159
非常有用，选择允许

730
00:31:25,159 --> 00:31:26,960
数学家通过在有限情况下证明陈述，

731
00:31:26,960 --> 00:31:29,639
用更简洁的论证代替冗长的显式证明，

733
00:31:31,760 --> 00:31:34,000
许多证明可以在

734
00:31:34,000 --> 00:31:37,639
一行中扩展到任何无限情况，

735
00:31:37,639 --> 00:31:39,240
这减少了证明 本来可以是

736
00:31:39,240 --> 00:31:42,639
20 页，但只有半页，

737
00:31:42,639 --> 00:31:44,440
选择公理不仅使数学更

738
00:31:44,440 --> 00:31:47,360
容易，而且对于某些证明至关重要，

739
00:31:47,360 --> 00:31:48,760
有很多定理，如果

740
00:31:48,760 --> 00:31:50,960
不使用选择，一般情况就无法证明。

741
00:31:50,960 --> 00:31:53,440
现在，一些

742
00:31:53,440 --> 00:31:55,440
数学家仍然更喜欢

743
00:31:55,440 --> 00:31:58,039
没有选择的证明，即使它更难，

744
00:31:58,039 --> 00:32:00,159
证明必须逐步阐明

745
00:32:00,159 --> 00:32:03,039
才能推广到无限的情况，这

746
00:32:03,039 --> 00:32:05,240
提供了额外的信息，一些

747
00:32:05,240 --> 00:32:07,120
数学家花时间研究

748
00:32:07,120 --> 00:32:10,200
没有选择公理的宇宙，以

749
00:32:10,200 --> 00:32:11,919
了解当我们删除它时会发生什么，

750
00:32:11,919 --> 00:32:14,600
但今天，选择公理

752
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在过去 80 多年里几乎被普遍接受，

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几代数学家都被

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教导选择是理所当然的，以至于

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许多使用

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选择公理的人甚至可能没有意识到

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他们正在这样做，如果你不包括

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选择公理，那么你的

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双手就被绑在

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身后，很难

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在现代数学上取得任何进展，所以问题从来不是

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选择公理是否正确，而是

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选择公理是否适合

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你想要的东西 做

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