[音乐]
数学中有一条规则，
非常简单，你会认为它显然
是正确的，但如果你接受它，你会
发现现在有一些线段
没有长度，一个球体无需
添加任何东西就可以变成
两个相同的球体，100 多年的
数学都建立在这个公理之上，
它看起来很直观，而且有效，但它
也产生了荒谬的悖论，所以它是对的，
一切都从选择的问题开始
试试这个选择一个数字我可以
从我的头脑中随机抽取一个数字，
比如 37 或 42，但这是人
脑在工作，而不是数学过程
在数学中你不能真正随机地选择东西，
因为公式总是给出
相同的结果，这就是为什么计算机没有
真正的随机数生成器，
而是它们通常在
你当前的本地时间运行算法来生成
看起来
随机的数字，所以如果我们不能随机选择，
我们如何在数学中选择任何东西，
唯一的方法就是遵循某种规则，
所以规则可以是总是选择
最小的东西，例如，如果我们
看的是正整数，那么
最小的就是素数
两个很容易，但是实
数呢？实数可以是任何数，正数，负数，整数，
分数，甚至是无理数，
比如圆周率或小于2的平方，
现在试着选择最小的一个，这是
不可能的，实数延伸
到负无穷，即使我们试图
通过使规则变得非常具体来修复它，比如
选择1之后的最小数，
我们仍然会卡住，有1.01，
然后是
1.001，然后是
1.001等等，所以1之后到底是什么数字
[音乐]
如果我们不能开始指定
实数的顺序，下一个在前一个
第一个和最后一个，我们就卡住了，
荒谬的是，我们知道我们有
无限的选择，但尽管如此，我们还是
想不出如何选择
一个，解决这个问题的任务始于
1870年的一个人，他承担了将
实数按明确顺序排列的任务，即使
这会让他丧命，而且差点就死了。
康托是一位才华横溢的德国
数学家，在29岁
发表了他的第一篇论文后，他发现自己处于一场风暴的中心，
几个世纪以来我们的理解
无穷大的概念深受
伽利略1638年著作的影响，它提出了一个关键
问题：自然数多
还是平方数多。单从数值
上看，平方数的
间隔更大，而且数
越高就越稀疏，所以平方
数似乎
比自然数少。但伽利略
意识到，他可以画一条线，将
每个自然数与其平方数匹配。
既然他可以进行一对一
映射，那么他就知道这两个集合的大小
必须完全相同，所以
平方数的数量实际上和
自然数的
数量一样多。从这个违反直觉的
结果来看，伽利略得出结论，像
大于或小于这样的术语并不适用于
无穷大。我们通常如何使用它们？这都是
一个关于永恒的大概念。
这种观点盛行了几个世纪。
事实上，今天仍然有多少人
理解无穷大？但200
年过去了，康托尔在
1874年并不满意，他想知道，如果
有两个无限集
不能完美地相互映射，
它们会是不同的无穷大吗？
所以他开始 比较自然
数和 0 到 1 之间的实数。
卡纳首先假设他可以
完美地将这些集合一一对应起来，
因此他想象写下
一个无限列表，一边是自然数，另
一边是 0 到 1 之间的实数，因为
没有最小的实数，所以他会以任意
顺序写下它们，假设他
现在有一个完整的无限列表。卡纳
写下另一个实数，
为此，他取
第一个数字的第一位加一，然后取
第二个数字的第二位，
再次加一。他一直这样做，直到
列表的下方。如果数字
是 8 或 9，他会减一
而不是加一，以避免重复。在
这个过程结束时，他
写下了一个介于 0 和 1 之间的实数，
但这个数字没有出现
在他的列表中，
它与第一个小数位的第一个数字
不同，与
第二个小数位的第二个数字不同，
依此类推，它必须与
列表上的每个数字至少相差一位，
对角线上的数字就是这个原因 这被称为
Caner 对角化证明，它表明
0 和 1 之间的实数一定比
延伸到
无穷大的自然数多。Caner 揭示了无穷大中的一些
非凡之处，无穷大并非
只有一种大小，一些无穷大，例如
平方数集、整数或
有理数，可以
与自然数完美匹配，你可以
逐个数出它们，1、2、3 等等，所以
Caner 将这些称为可数无穷大，
但还有更大的无穷大，
Caner 将它们称为不可数无穷大，这些
无穷大，例如所有实
数的集合、复数，它们不能
与自然数一一匹配。Canter 的
结果震惊了数学
界，毕竟，一个永远持续下去的东西怎么会比
其他永远持续下去的东西更大呢？
他的工作被贴上了恐怖和
严重疾病的标签，但 Caner 并没有
气馁，他的成功只会激励他
追求更大的目标，即证明
即使是不可数的无限集也
可以确定地排列顺序，
Caner 称之为良
序，要使集合良序，他
需要两个条件：首先，集合
必须具有明确的顺序。 起点，
其次，每个子集（
来自该集合的项目集合）也必须有一个
明确的起点，例如
自然数是有序的，有
一个起点 1，任何子集（比如
678）也有一个明确的起点，在
这种情况下是 6，你总是知道哪个
数字在前，哪个数字在后，
但是整数呢？整数
在正向和负向都延伸到无穷大。Kanto
意识到他可以选择零
作为起点，然后从那里开始他的
排序是 1ga - 1 2 -2，
按绝对值对整数进行排序，它们
与零的距离，无论
你把正数放在第一位还是
负数放在第一位都没关系，只要你保持
一致的排序方式，这种方式
实际上使我们能够将
整数最大化到自然数，并看到
两个集合的大小相同，但是还有
其他方法可以很好地对
整数进行排序，我们可以从零开始，
然后有 1 2 3 一直到
正无穷大，然后 - 1 -2 -3
一直到负
无穷大，这不是我们习惯的
计数方式，但这两种 选项符合
良好排序的定义，
有一个明确的起点零，并且
所有子集也都有一个确定的
起点。
卡纳成功地对一个
在两个方向上都是无限的集合进行了良好排序，
但它只是
可数无限的。在他的下一本书中，他
发表了他的良好排序定理，
声称每个集合，即使是不可数
无限的集合，比如实
数，都可以是良好
排序的。问题是他
实际上并没有证明这一点，因为他不能。他
尝试的每种方法都失败了。
但有一个重要的原因，卡纳
对他的定理如此有信心。卡纳
是一个虔诚的路德教徒，他相信
上帝通过他说话。他说我的
理论坚如磐石，每一支
射向它的箭都会
很快回到它的弓箭手手中。我怎么知道的，
因为我多年来从各个方面研究过它，最
重要的是，因为我
一直追寻它的根源，可以说是
所有创造事物的第一个绝对原因。
信仰与
良好排序定理不符，这是一个
没有任何数学证明的崇高主张，
因此
数学界第二次攻击和
排斥
领导这一运动的是柏林大学
数学系主任利奥波德·克罗尼克 (Leopold chroniker)。
克罗尼克
完全否定了坎特的工作，
称他为科学骗子和
腐蚀青年的人。克罗尼克
曾经是坎特的老师。坎特
梦想着加入
柏林大学，但他的所有申请都被
神秘地拒绝了，所以坎特
在 1884 年将拒绝归咎于自己。他给朋友写了 52
封信，每一封信都对
克罗尼克表示哀叹。不久，坎特就
遭受了
精神崩溃，这是他多次精神崩溃中的第一次。他被关进
疗养院进行康复
治疗。他能证明
每一次都是错的，唯一的方法是对
实数进行良好的排序，但他找不到
起点。
从
疗养院出来后，坎特就彻底放弃了数学，在
接下来的 15 年里，
他教授哲学，很少涉足他
以前的
追求。也许他面临的最大挑战
是在 1904 年的国际数学家大会上，
来自 布达佩斯
宣布他已经证明康托的
良序定理是错误的，
观众席上不仅有康托，还有
他的妻子、两个女儿和他的
同事，他感到非常
羞辱，但还有另一位
出席者，恩斯特·零零是一位德国
数学家，他最近
对康托的工作产生了浓厚的兴趣，当
他听着坤的演讲时，在
24小时内感觉有些不对劲，零
已经指出了问题所在，坤的证明
包含了一个毁灭性的
矛盾，在一个月内，零
发表了一篇三页的文章，题为“
证明每个集合都可以良序”，
这是完美的
零的突破，
他发现了康托工作中一些深刻的东西，
一种机制，康托在
任何地方都无意识地、本能地使用它，但在任何地方都没有明确地表述出来，
一直以来，安纳一直
假设他可以
同时从任何集合中做出无限数量的选择，
包括像实数这样的不可数无限集，
但这只是一个
假设，数学
规则书中没有任何地方明确允许这样做，
数学是建立在规则之上的，特别是公理，
公理是 我们接受的简单陈述
无需证明即可成立。零点
实现了坎特的假设，需要
将其形式化为
在证明系统中成立的东西。一条新公理
表明，做出所有这些选择都是
可能的。他需要选择公理。
选择公理可以这样说：
如果你有无限多个
集合，并且每个集合都不为空，那么
就有办法
从每个集合中选择一个元素。对于有限集，
这似乎很明显，只需逐个集合
选择某个元素即可。即使对于无限集，
如果有一个明确的规则，比如
总是选择最小的元素，也很容易。但
有时没有自然规则。在
这种情况下，当你从
无限多个集合（包括
不可数集合）中进行选择时，你需要
选择公理。我们不能说我们是如何选择的，
但公理会同时做出所有这些选择。
公理不允许你
说你选择了哪个元素，只
允许无限多个选择。那么，这个新公理如何
使我们能够对实数进行良好的排序？
零点使用选择公理
从所有实数的集合中选择一个数字。
他把这个数
放在一个新集合 R 中，假设它为 X1，公理
允许他从
所有实数减去
取出的数的子集中选择另一个数，他把这个数称为 X2，
并将其作为集合中的下一个数
，他继续这样做，把
选中的数放在 X3 X4
X5 的旁边，现在感觉他
一次选择一个数，但实际上，
选择是从所有可能的
子集中同时进行的，因为零用
自然数索引每个数，
起初他似乎遇到了
问题，因为自然数
只是可数无限的，而
实数更多，所以他
最终应该用完标签，但我们可以
数到无穷大之外，
我们之前数过正无穷大
到达 neg1 -2
等等，所以我们只需要一组超出自然数的新数，把
下一个数称为 Omega，然后 Omega + 1 Omega +
2 等等，这些 Omega 数并不
大于无穷大，它们只是在
无穷大之后，它们没有告诉我们有
多少 东西在那里，但它们确实告诉
我们它们的顺序，所以我们取出的下一个数字
我们将其标记为 X Omega，然后是 X
Omega + 1 x Omega 加 2，依此类推，
直到我们匹配
实数的大小并且我们的原始集合为
空，
现在每个实数都在我们的新集合中，
有一个第一个数字 X1，每个子
集也都有一个第一个数字，
就像这样，我们成功地对
实数进行了良序排列，这个顺序
看起来与我们熟悉的顺序完全不同，
十亿可能排在 02 之前，但通过
这个过程，我们可以证明良
序
存在，更重要的是，我们现在有
办法解决如何在
数学上选择的问题，我们不能选择一个
最小的实数，但现在我们可以选择
一个第一个实数作为起点，
我们可以对任何集合都这样做，这意味着
所有集合都可以是良序的，无论
无穷大如何，所以 Canter 的良序
定理和 Zero 的选择公理是
等价的，caner 非常欣慰 zero
证明了良序定理，并
在不到一个月的时间内对实数进行了良序排列，
zero 采取了数学家们
几十年来，他不知不觉地依赖了数学，并将
其变成了一个正式的公理，他证明了
理解数学不仅仅是
数字，而是数字背后的逻辑，
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我要感谢 brilliant 赞助
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选择公理，选择公理可能是
一个新的想法，但它的用途绝不是
零扫描了其他数学家的几十篇论文，
意识到他们
也一直在使用公理，即使是
那些批评坎特工作的人，
这只是表明它是多么不直观，
它甚至是一个公理，人们在不知不觉中
已经使用了它大约十年，
但这似乎太
明显了零的证明实际上并没有
构建一个良好的秩序，它只是说一个
必须存在，但如果我们
不能真正构建它，某物是否可能存在他的证明也
使用了不可数的步骤，
甚至允许一些数学家
认为证明应该是有限的其他人
接受无限，但只有可数的
类型，然后事情变得
更糟，当数学家玩弄
选择公理时，它产生了
令人不安的结果，其中第一个
来自杰皮维塔利 1905 年，
维塔利 (Vitali) 利用选择公理 (axium of choice) 建立了
一个数集，它颠覆了我们对
长度概念的固有观念。维塔利的做法是，他把
0 到 1 之间的每个实数都
分配到无限
多个箱子中的一个，我们把这些箱子称为
组，所以我们希望每个实数最终都恰好落入
无限多个
箱子中的一个，那么他是怎么做到的呢？假设
我们有两个数 X 和 Y，如果它们的
差 x - Y 等于一个有理数，也
就是一个整数除以另一个
整数，那么 X 和 Y 都会
进入同一个箱子。但如果我们有
另外两个数，比如 p 和
Q，它们的差不是无理数，
所以它是一个无理数差，那么
这两个数就会进入
不同的箱子。我们举几个例子，
如果是 3/4 减去一半，我们得到
四分之四，所以 3/4 和一半都会
进入同一个箱子。实际上，你可以看到，
从
0 到 1 的所有有理数 它们最终都会被分到同一
组中。如果你有无理数，那么
它们是否会被
分到同一个箱子里还不清楚。因为，
例如，如果我们有一个数 < tk2
over2 减去 < tk2 over 2 - a/4，
那么即使这两个数都是无理数，它们之间也会有一个有理
差，
所以这两个
数会分到同一组中。但
如果我们有有理数 < tk2
over 2 - < tk2 over 3，那么它们之间也会有一个
无理差，所以 < tk2 2 over 3
必须被分到不同的箱子里，
它会和所有与
它有有理差的数合并。
这样，你就可以将每个实数分配
到其中一个箱子里。接下来，Vali
使用选择公理深入到
每个组中，并选择一个可以
代表该
组的数，这样我们就可以从有理组中提取 3/4，从
这个组中提取 < tk2 over2，从
那个组中提取 2 over 3，
等等，当然，因为 我们
用的是选择公理，你
实际上并不知道那个代表
数是什么，只是知道有一个，所以我们
可以这样写，我们有
来自每个组的代表数，
它们一起构成了维塔利集，
你可以把这个集合想象成
Z 和 1 之间的点的集合，
接下来，维塔利无限复制他的
集合，每个副本都会在
-1 和正 1 之间移动一个不同的有理数，
所以如果你想想它的作用，
它会把每个
代表数移动到
它所属组中每个其他数字的位置，
如果我们只有一个有理数，把它
从有理群中抽出来作为代表，
现在我们要把它移动
1 和正 1 之间的每个可能的有理数，
所以它最终会到达
它所属组中其他成员占据的每个位置，至少在
0 和 1 之间的跨度上，所以如果你
想象现在把所有这些
无限集合并在一起，
点之间就不会有重叠，
其次，我们会得到
0 和 1 之间的每个实数，因为在这个
跨度上，我们有每个 组，
所以现在的问题是
生命集的大小是多少，现在我们知道
这些集合的并集必须大于
或等于 1，因为我们有
0 到 1 之间的每个实数，但
这些点只延伸到
-1 或 pos2，所以它必须小于或
等于 3，但这就是问题所在，
因为
生命集的大小是多少，你可以将其无限次加到自身上，
最终得到
1 到 3 之间的值，没有
这样的数字，我的意思是，如果
生命集的大小为零，你将其
无限次加起来仍然得到零，
如果生命集的大小是一个
小的正值，那么你将其
无限次加起来会
得到无穷大而不是三，所以我们有一个
矛盾，唯一的出路是如果
生命集本身是不可测的，
这看起来很
疯狂，像生命集这样的不可测集
没有
大小、长度、面积甚至
概率的一致定义，但数学建立在
一切都可以量化的思想之上，
无论是距离时间还是 重量，
但现在有不可测量的集合，
看起来 选择公理是
罪魁祸首，这只是该
公理引发轩然大波的开始。1924年，两位
数学家斯蒂芬·班克和阿尔弗雷德·
塔斯基用它演示了一个
类似魔术的东西。他们证明，你
可以把一个实心球分成
五块，然后
小心地旋转和移动这些
碎片，你可以把它们重新组装成
两个球，每个球都和我们
开始时的那个一模一样，你可以一直这样做，
直到最终得到无数
个球。无限源于
一，这听起来很荒谬，但我们可以
通过构建一个图表来实际了解它的工作原理。
想象一下，你可以在四个
方向上移动，上下左右，
走一步之后，假设向左走，你会得到
相同的四个选择，上下
左右，但如果你向右走，你
最终会回到你开始的地方，所以
我们唯一的规则是，
你不能立即逆转一个动作，
我们会在每一步都重复这个动作，
画出每条新线，长度是
前一条线的一半，这样它就可以放在屏幕上，
如果我们继续下去，我们最终会得到
这个无限分支的图，
看看我们的图，我们可以把它
分成五个部分，中间
部分是我们开始的地方，然后还有
另外四个部分，它们都是
相同的，只是
旋转了一下。如果我们把这个部分
向左移动，然后把所有东西都向右移动一步，
上面的部分就到这里，下面的部分在
这里，最左边的
部分在这里，那么我们几乎就重新创建了
整个图，唯一
缺少的就是这个部分，所以我们把它加
回去。但是我们可以
用完全不同的方式做同样的事情，把
底部的部分
向上移动一步，现在最左边的部分在
这里，最右边的部分在这里，
底部又在这里。我们只缺少
一个部分，所以我们把它加回去，但这
意味着我可以用两种完全不同的方式重新创建整个
原始图。
我们把一个图分成几个
部分，移动这些部分，这样
左边的部分就向右移动，
下面的部分就向上移动，最后以某种方式得到了两个
相同的
副本，这正是 Benck 和
Tarski 所做的，但是对于像我们的图这样的球，
我们同样有四种移动方式，我们可以
将球向上、向下、向左或向右旋转，
然后再次 我们唯一的规则是我们不能
立即逆转移动，并且为了
确保我们永远不会回到同一个
点，每次旋转都将围绕
圆的相同无理部分进行，我们可以
选择一个随机的起点标记它，
然后开始旋转球，每个点都
根据
到达那里的旋转方向进行着色，如果我们
无限次地这样做，我们最终会得到
这个点的集合，这是一个
可数无限的集合，因为我们
可以列出每个旋转并为其分配一个
自然数，但是球的表面
有无数个点，就像
实数线一样，所以如果我们想要
覆盖整个表面，我们
需要重复这个过程，但是
我们接下来从哪里开始，因为有
无数个可能的
起点，我们无法全部列出它们，我们
希望确保避免任何
我们已经着色的点，所以解决方案是
使用选择公理，我们
可以继续选择唯一的起点，
即使我们不能确切地说我们如何
选择它们，一旦我们为
球上的每个点着色，我们可以将
点分成五组，一组用于
起点，另外四组基于
用于到达的最终旋转
这些点，这些组现在可以
像我们图表的各个部分一样处理，
我们可以取
以左旋转结尾的点组，然后将
其向右旋转，然后我们添加
以右旋转结尾的组，
就像这样，我们重新创建了原始
球，我们可以再次执行此操作，进行
额外的移动以考虑
起始点，我们可以同样取
以向下旋转结尾的组，然后将
其向上旋转，然后我们添加以
向上旋转结尾的组和
起始点，现在我们
第二次重新创建了原始球，
现在这有点
过于简单，但它告诉了你
如何从一个球完成此操作的本质，
我们创建了两个相同体积的相同球，
没有什么阻止我们
再次这样做，两个球可以
变成四个，四个变成八个，
不知不觉中你就得到了无限的
球，选择公理显然
是正确的，而其
后果显然是错误的，
你会想这到底是怎么回事，这种
无限复制在
理论上是可能的，但问题是
我们将球分成的组不是
简单的形状 它们实际上是
不可测量的，就像生命集一样，
虽然原始球有体积，
复制的球也有体积，但
两者之间的步骤违反了我们对
大小的理解，这就是
悖论
发生的原因，当然，这些在
物理上是不合理的切割，但
有一个更呃形而上学的问题，
比如
如果我们可以进行这样的切割，这是否可能，而
我认识的几乎每个人的答案
都是绝对不可能，事实是没有人
知道同一年发生了什么，
塔斯基试图进一步推动选择公理，
证明它等同于对
任何无限集进行平方
不会增加其大小的陈述，当塔斯基
第一次将这项工作提交给巴黎的一家期刊时，
编辑 leag
轻蔑地回应说，没有人对
两个错误陈述之间的等价性感兴趣，不要被
吓倒，塔里把它寄给了
同一家期刊的另一位编辑，
因为他的回应是，没有人对
两个
明显正确的陈述之间的等价性感兴趣，塔斯基再也没有在
那里提交过论文，
所以数学在 30
多年的危机中 人们不知道该
相信什么，问题是等一下，
这真的是公理吗？还是
你可以证明的东西？1938年，我们
终于开始得到一些答案，
奥地利数学家库尔特·古德尔
证明，存在一个世界，其中所有
其他已经接受的集合论
公理都成立，选择公理也是如此。
然后在1963年，保罗·科恩证明，
还有一个世界，其中
除了选择公理之外，所有集合论公理都成立。
这有点
像几何中的平行公设，
你可以把几何想象成一个游戏，
前四个公设或公理就像
玩这个游戏所需的最低规则，
然后第五个公理选择
你想要玩的宇宙，如果
你选择第五个公理不
成立，那么就没有平行线，那么
你就是在玩球面几何，如果
你选择一条平行线，那么你就是在
玩平面几何，如果你
选择多条平行线，那么
你就是在玩双曲几何，
所有这些几何都是有效的，这
取决于 在您想要做的数学上，
对于选择公理来说也是如此，
选择公理既不能被
证明，也不能被其他
公理证伪，所以只要其他公理
一致，添加选择不会
导致任何矛盾，保罗·科恩
三年后
因其突破性的成果以及他
在集合论中的其他工作而获得菲尔兹奖，在古德
和科恩的工作之后，
关于选择公理的大多数争论
最终都平息了，到底发生了什么，这
取决于你是否
要选择将选择的目标作为
你系统的一部分，并面对拥有它或不
拥有它的后果，尽管选择公理会
产生违反直觉的结果，如
不可测集
和无限重复，但它
非常有用，选择允许
数学家通过在有限情况下证明陈述，
用更简洁的论证代替冗长的显式证明，
许多证明可以在
一行中扩展到任何无限情况，
这减少了证明 本来可以是
20 页，但只有半页，
选择公理不仅使数学更
容易，而且对于某些证明至关重要，
有很多定理，如果
不使用选择，一般情况就无法证明。
现在，一些
数学家仍然更喜欢
没有选择的证明，即使它更难，
证明必须逐步阐明
才能推广到无限的情况，这
提供了额外的信息，一些
数学家花时间研究
没有选择公理的宇宙，以
了解当我们删除它时会发生什么，
但今天，选择公理
在过去 80 多年里几乎被普遍接受，
几代数学家都被
教导选择是理所当然的，以至于
许多使用
选择公理的人甚至可能没有意识到
他们正在这样做，如果你不包括
选择公理，那么你的
双手就被绑在
身后，很难
在现代数学上取得任何进展，所以问题从来不是
选择公理是否正确，而是
选择公理是否适合
你想要的东西 做
[音乐]