下面我们讲一个
泡利不相容原理
在固体物理里的一个
应用的例子
考虑的系统叫做自由电子气
也就是
由N个没有互相作用的电子
构成的系统
假设这个系统
占有的体积是V
这个系统中的电子
都处在动量本征态
对于这样的状态
我们要采用本征函数的
箱归一化方法
那就是
在动量空间里
动量本征值都出现在
一个立方晶格上
这个晶格的晶格常数
是h除以L
这个L就是那个箱子的边长
这样一来
在这个动量空间里
一个量子态平均占有的体积
就是h三次方除以V
就是这个表达式
而这里的V就是L的三次方
也就是这个箱子的体积
当然
这个时候我们只考虑了
粒子的空间运动
还没有考虑自旋
电子的自旋
将在后边进一步的考虑进来
电子的能量
就是p平方除以2m
那么我们考虑
温度等于绝对零度的时候的
这种情形
由于电子是费米子
它们必定要占领不同的能级
所以在绝对零度的情况下
这个系统中的电子
将会从能量等于零的
那个能级开始填充各个能级
一直填充到某个确定的能量
我们把它记为ε_F
这个ε_F称之为
电子的费米能量
当然就动量空间而言
我们要把这个能量的值
换算成动量的值
而这个动量值就是
根号2mε_F
我们把它记为p_F
可以称之为费米动量
既然在动量空间中去填充
我们就考虑动量空间的体积
是怎么构成的
作为一个体积的角元素
我们可以写它是p平方
乘以dp再乘以dΩ
这里的dΩ就是立体角元
由于现在能量只和
p的大小有关
而和方向没有关系
所以我们可以把方向做积分
这个积分的结果是
在这前面乘以4π
然后我们就来考虑
这个动量空间里的
全部的电子
刚才已经说了
这些电子应该填充从
动量的大小等于零
一直到动量的大小等于p_F的
全部能级
这些能级的
在动量空间里的密度
是V除以h的三次方
我们再乘以
这个动量空间的体积元
完成这个积分之后
就应该恰好是
这个系统当中的
全部的电子的数目
当然这里会出现一个问题
那就是体积元的表达式
这里写的是4πP^2dp
而在这里写的是8πP^2dp
这有一个因子2的差别
那么这个从4π变成8π的原因
是考虑到电子有自旋
也就是说
每一个空间的运动状态
还可以容纳
自旋向上和自旋向下的
两个电子
这样的一个积分
很容易做出来
于是我们就可以通过
这个积分把费米能量算出来
这个具体的运算很容易
这里就不再做仔细的解释
有了这个费米能量
也就可以算出费米动量
也就是
在这个动量空间里边
电子的动量的最大值
就是这样的一个表达式
这里我们不妨稍微体会一下
这个费米能量
和哪些物理因素有关
我们发觉最重要的
决定性的因素
是这个量就是N除以V
也就是
电子在空间里的数密度
其它的部分
这里只是一个数学的因子
而这里呢是一个物理的
普朗克常数
这就给了我们一个
很形象的理解
那就是
在零温的情况下
从动量空间里来看
所有的电子
填充了以p_F为半径的一个球
以p_F为半径的球面
在固体物理里就称为费米面
这样的一个图像
对于我们理解比如说
导体的行为
具有很重要的意义
刚才我们讲的是
零温的情形
那么这时候
系统的电子完全处在
费米面所包围的
一个球体内部
当温度从零K上升的时候
很显然有一些电子
将会被激发起来
那么在那种情况下
首先是
靠近费米面的那些电子
被激发到费米面之外
这样的一个图像
能够帮助我们理解
自由电子气的许多性质
刚才我们以自由电子气为例
介绍了费米面这个概念
事实上与此类似的
费米能级的概念
不仅仅在
自由电子气的情况下
而且在其它的情况下
也有它的应用
所以这是固体物理里的
一个重要的概念