1
00:00:11,731 --> 00:00:15,500
另一个一维平行平板介质的简单解法

2
00:00:15,500 --> 00:00:18,586
由米尔恩和爱丁顿独立给出

3
00:00:18,586 --> 00:00:22,454
这个方法通常称为之微分近似法

4
00:00:22,454 --> 00:00:24,171
尤其是当这种方法

5
00:00:24,171 --> 00:00:27,320
应用到更复杂的几何结构的时候

6
00:00:27,320 --> 00:00:29,407
对一维发射 吸收

7
00:00:29,407 --> 00:00:32,769
各向同性散射系统微分辐射传递方程

8
00:00:32,769 --> 00:00:35,138
计算零阶 一阶矩

9
00:00:35,138 --> 00:00:37,250
然后对全角度积分

10
00:00:37,250 --> 00:00:40,070
各阶强度矩定义式如下

11
00:00:40,070 --> 00:00:44,844
即在-1到1的方向余弦μ取值范围内

12
00:00:44,844 --> 00:00:49,310
用μ的不同阶次幂乘以I然后再积分

13
00:00:49,310 --> 00:00:52,730
我们来看各阶矩的定义的含义

14
00:00:52,730 --> 00:00:54,786
零阶矩实际上是

15
00:00:54,786 --> 00:00:58,277
求解辐射强度在整个立体空间角的积分

16
00:00:58,277 --> 00:01:00,629
这就是入射辐射G的定义式

17
00:01:00,629 --> 00:01:02,134
很明显

18
00:01:02,134 --> 00:01:05,907
一阶矩实际上是辐射热通量q的定义式

19
00:01:05,907 --> 00:01:09,805
二阶矩的计算可能与辐射压力相关

20
00:01:09,805 --> 00:01:13,577
我们来看辐射传递方程的零阶矩变换式

21
00:01:13,577 --> 00:01:18,573
在RTE两边同时乘以2πμ的零次方

22
00:01:18,573 --> 00:01:20,986
即2π并对μ作积分

23
00:01:20,986 --> 00:01:24,649
这实际上是直接对RTE求积分

24
00:01:24,649 --> 00:01:28,333
左边项变成了dI1比dτ

25
00:01:28,333 --> 00:01:30,262
特别注意最后一项

26
00:01:30,262 --> 00:01:35,402
积分Idμ从负1到正1的积分

27
00:01:35,402 --> 00:01:36,698
本来与μ无关

28
00:01:36,698 --> 00:01:39,562
所以对μ的积分可以移到外面

29
00:01:39,562 --> 00:01:43,786
最后整理成了一个关于辐射强度的零阶

30
00:01:43,786 --> 00:01:45,443
和一阶矩的方程

31
00:01:45,443 --> 00:01:46,604
我们接着来看

32
00:01:46,604 --> 00:01:49,159
辐射传递方程的一阶矩变换

33
00:01:49,159 --> 00:01:51,764
第一项 方程左边的项

34
00:01:51,764 --> 00:01:53,289
原来有个μ项

35
00:01:53,289 --> 00:01:56,579
再乘一个μ项就变成了μ的平方项

36
00:01:56,579 --> 00:01:59,213
最后变成了二阶矩的导数项

37
00:01:59,213 --> 00:02:03,432
第二项和第四项分别含有μ的积分项

38
00:02:03,432 --> 00:02:07,353
在-1到1之间积分的结果为0

39
00:02:07,353 --> 00:02:09,364
第三项是I1

40
00:02:09,364 --> 00:02:12,485
RTE的一阶矩变换式就简化成

41
00:02:12,485 --> 00:02:15,505
dI2比dτ等于负的I1

42
00:02:15,505 --> 00:02:18,492
与零阶矩变换式相组合

43
00:02:18,492 --> 00:02:22,368
这里I0 I1 I2三个未知量

44
00:02:22,368 --> 00:02:25,601
需要从两个方程中解出条件不够

45
00:02:25,601 --> 00:02:28,904
需要补充额外的条件才能求解

46
00:02:28,904 --> 00:02:32,851
假设一维系统的正向和反向辐射强度

47
00:02:32,851 --> 00:02:36,055
都是各向同性的但有不同的取值

48
00:02:36,055 --> 00:02:40,021
这个假设与舒斯特-史瓦西近似条件相同

49
00:02:40,021 --> 00:02:44,085
我们可以将k阶矩写成两部分分别计算

50
00:02:44,085 --> 00:02:47,776
简化成与I正和I负的关系式

51
00:02:47,776 --> 00:02:50,702
容易知道I2等于三分之一I0

52
00:02:50,702 --> 00:02:53,030
我们就提供了一个补充的条件

53
00:02:53,030 --> 00:02:55,375
把I2等于三分之一I0

54
00:02:55,375 --> 00:02:58,386
加进已经得到的两个矩量方程中

55
00:02:58,386 --> 00:03:01,962
就得到新的三个方程组成的方程组

56
00:03:01,962 --> 00:03:05,484
关于I0 I1 I2 的新方程中

57
00:03:05,484 --> 00:03:08,736
带入G等于10 q等于I1

58
00:03:08,736 --> 00:03:12,958
这就是用矩量表示的入射辐射和辐射通量

59
00:03:12,958 --> 00:03:16,024
可将I0 I1 I2全部消去

60
00:03:16,024 --> 00:03:18,699
我们得到仅仅含有G和q的方程式

61
00:03:18,699 --> 00:03:22,447
这就是最终得到的仅含G和q的方程式

62
00:03:22,447 --> 00:03:24,529
边界条件与前面的相同

63
00:03:24,529 --> 00:03:27,289
我们将米尔恩-爱丁顿近似方程

64
00:03:27,289 --> 00:03:29,980
和舒斯特-史瓦西近似方程放在一起

65
00:03:29,980 --> 00:03:32,067
比较看看他们之间的异同点

66
00:03:32,067 --> 00:03:34,211
第一个方程完全一样

67
00:03:34,211 --> 00:03:36,522
注意这个相同的第一个方程

68
00:03:36,522 --> 00:03:39,911
他实际上是一般情况下辐射热源

69
00:03:39,911 --> 00:03:42,246
即辐射热通量的梯度的表达式

70
00:03:42,246 --> 00:03:44,891
我们经常用到这个方程式

71
00:03:44,891 --> 00:03:46,937
所谓辐射平衡条件

72
00:03:46,937 --> 00:03:49,848
就是热源dq比dτ等于0

73
00:03:49,848 --> 00:03:52,364
也就是4πIb等于G

74
00:03:52,364 --> 00:03:54,331
第二个方程有点差别

75
00:03:54,331 --> 00:03:56,983
一个是-3q一个是-4q

76
00:03:56,983 --> 00:03:58,861
既然大家都是近似解

77
00:03:58,861 --> 00:04:00,971
本身就允许存在误差

78
00:04:00,971 --> 00:04:03,008
所以这两个方程都是对的

79
00:04:03,008 --> 00:04:05,984
我们在学校里这么多年的学习

80
00:04:05,984 --> 00:04:07,974
习惯于求得唯一的准确解

81
00:04:07,974 --> 00:04:09,590
但是很多时候

82
00:04:09,590 --> 00:04:12,188
我们并不能得到完全准确的解

83
00:04:12,188 --> 00:04:14,671
那样会让我们付出太高的

84
00:04:14,671 --> 00:04:15,898
不必要的代价

85
00:04:15,898 --> 00:04:17,486
哲学上还会说

86
00:04:17,486 --> 00:04:19,973
我们永远无法达到“绝对真理”

87
00:04:19,973 --> 00:04:23,628
在实际中我们能够以最经济的代价

88
00:04:23,628 --> 00:04:25,547
获得满足需要的近似解

89
00:04:25,547 --> 00:04:26,827
这是最佳选择

90
00:04:26,827 --> 00:04:30,378
辐射平衡条件下dq比dτ等于0

91
00:04:30,378 --> 00:04:32,852
因此G等于4πIb

92
00:04:32,852 --> 00:04:34,425
代入第二个方程

93
00:04:34,425 --> 00:04:37,854
dG比dτ等于负3q

94
00:04:37,854 --> 00:04:40,663
我们就得到q和Ib的关系式

95
00:04:40,663 --> 00:04:43,533
q等于负的三分之四π

96
00:04:43,533 --> 00:04:45,008
dIb比dτ

97
00:04:45,008 --> 00:04:49,453
这和罗斯兰德扩散近似得到的结果完全相同

98
00:04:49,453 --> 00:04:51,027
所谓殊途同归

99
00:04:51,027 --> 00:04:54,002
米尔恩-爱丁顿近似又称为微分近似

100
00:04:54,002 --> 00:04:57,651
我们来看一个用微分近似法求解的例子

101
00:04:57,651 --> 00:05:00,769
考虑夹在两个温度分别为T1和T2

102
00:05:00,769 --> 00:05:04,242
绝热黑体平行平板之间的灰体介质

103
00:05:04,242 --> 00:05:06,142
其折射率n等于1

104
00:05:06,142 --> 00:05:08,656
介质处于辐射平衡状态

105
00:05:08,656 --> 00:05:11,421
吸收 发射但不散射辐射

106
00:05:11,421 --> 00:05:15,301
使用微分近似法求解平板间的热通量

107
00:05:15,301 --> 00:05:19,085
根据灰性 非散射和辐射平衡条件

108
00:05:19,085 --> 00:05:22,253
由第一个方程我们可以得到q等于常数

109
00:05:22,253 --> 00:05:24,134
既然q等于常数

110
00:05:24,134 --> 00:05:25,657
由第二个方程积分

111
00:05:25,657 --> 00:05:28,383
就可以得到G随光学厚度

112
00:05:28,383 --> 00:05:30,024
线性变化的关系式

113
00:05:30,024 --> 00:05:32,096
其中包含一个常数C

114
00:05:32,096 --> 00:05:34,334
将所得到的G的表达式

115
00:05:34,334 --> 00:05:38,857
代入上面两个边界条件方程中消去C

116
00:05:38,857 --> 00:05:41,388
我们就得到热通量分布的表达式

117
00:05:41,388 --> 00:05:44,403
将C的表达式代入G的表达式

118
00:05:44,403 --> 00:05:47,828
得到T和T1以及q之间的关系式

119
00:05:47,828 --> 00:05:50,165
前面我们刚得到q的计算式

120
00:05:50,165 --> 00:05:51,660
代入刚才的等式

121
00:05:51,660 --> 00:05:54,577
我们就得到无量纲温度分布的表达式

122
00:05:54,577 --> 00:05:57,043
考虑光学薄的特殊条件

123
00:05:57,043 --> 00:05:59,774
即τL和τ都趋于0

124
00:05:59,774 --> 00:06:04,100
此时无量纲温度φ趋于二分之一

125
00:06:04,100 --> 00:06:08,725
即介质温度t的四次方趋近于二分之一

126
00:06:08,725 --> 00:06:11,348
t1和t2的四次方的和

127
00:06:11,348 --> 00:06:15,670
与我们在上一次课中例4-1得到的结果一样

128
00:06:15,670 --> 00:06:19,773
显示出辐射滑移或温度滑移的极端条件

129
00:06:19,773 --> 00:06:22,063
再考虑光学厚的特殊条件

130
00:06:22,063 --> 00:06:24,231
即τL趋于无穷大

131
00:06:24,231 --> 00:06:28,092
当τ等于0时则φ趋于0

132
00:06:28,092 --> 00:06:31,253
则介质温度t趋于t1

133
00:06:31,253 --> 00:06:33,184
趋近于左边界温度

134
00:06:33,184 --> 00:06:37,171
当τ等于τL时φ趋于1

135
00:06:37,171 --> 00:06:39,900
则介质温度t趋于t2

136
00:06:39,900 --> 00:06:42,222
即趋近于右边界温度

137
00:06:42,222 --> 00:06:44,904
因此米尔恩-爱丁顿近似解

138
00:06:44,904 --> 00:06:47,151
正确地给出了光学厚介质

139
00:06:47,151 --> 00:06:49,861
靠近边界处的温度变化趋势

140
00:06:49,861 --> 00:06:52,251
我们在前面讲述的光学厚介质的

141
00:06:52,251 --> 00:06:54,624
罗斯兰德扩散近似方程时说过

142
00:06:54,624 --> 00:06:56,612
罗斯兰德扩散近似方程

143
00:06:56,612 --> 00:06:59,519
不适用于介质边界附近区域

144
00:06:59,519 --> 00:07:02,215
当τ等于二分之一τL时

145
00:07:02,215 --> 00:07:04,088
φ趋于二分之一

146
00:07:04,088 --> 00:07:05,974
则介质温度t的四次方

147
00:07:05,974 --> 00:07:09,881
趋近于二分之一t1和t2的四次方的和

148
00:07:09,881 --> 00:07:13,455
即介质温度的四次方趋近于左 右两边界

149
00:07:13,455 --> 00:07:15,182
温度的四次方的平均值

150
00:07:15,182 --> 00:07:17,804
因此米尔恩-爱丁顿近似解

151
00:07:17,804 --> 00:07:20,667
给出了介质整个区域的温度的分布

152
00:07:20,667 --> 00:07:23,054
无论介质是薄是厚

153
00:07:23,054 --> 00:07:25,038
还是不薄不厚

154
00:07:25,038 --> 00:07:28,131
考虑光学厚的特殊条件下的以上结果

155
00:07:28,131 --> 00:07:31,743
可以整理得到介质温度分布的表达式如下

156
00:07:31,743 --> 00:07:33,803
与光学厚条件下

157
00:07:33,803 --> 00:07:36,087
罗斯兰德扩散近似方程的比较

158
00:07:36,087 --> 00:07:37,647
我还想多说几句

159
00:07:37,647 --> 00:07:39,403
米尔恩-爱丁顿近似

160
00:07:39,403 --> 00:07:43,047
是在给定边界和介质辐射特性的条件下

161
00:07:43,047 --> 00:07:45,017
求解出介质的温度分布

162
00:07:45,017 --> 00:07:47,227
而罗斯兰德扩散近似方程

163
00:07:47,227 --> 00:07:49,438
是在温度分布条件下

164
00:07:49,438 --> 00:07:51,933
给出内部热通量的分布

165
00:07:51,933 --> 00:07:55,845
米尔恩-爱丁顿近似解在辐射平衡条件下

166
00:07:55,845 --> 00:07:57,692
得到的热通量计算式

167
00:07:57,692 --> 00:08:00,424
与罗斯兰德扩散近似方程完全相同

168
00:08:00,424 --> 00:08:03,607
通过米尔恩-爱丁顿近似解

169
00:08:03,607 --> 00:08:06,627
可在边界附近得到的正确的温度分布

170
00:08:06,627 --> 00:08:09,260
进而得到正确的热通量分布

171
00:08:09,260 --> 00:08:11,688
例4-2 3说明

172
00:08:11,688 --> 00:08:14,378
仅靠罗斯兰德扩散近似方程

173
00:08:14,378 --> 00:08:17,003
在光学厚介质的边界附近区域

174
00:08:17,003 --> 00:08:19,008
不能得到正确的分析结果

175
00:08:19,008 --> 00:08:21,625
关于米尔恩-爱丁顿近似法的发展

176
00:08:21,625 --> 00:08:23,175
我最后说明几点

177
00:08:23,175 --> 00:08:25,806
像舒斯特-史瓦西近似法一样

178
00:08:25,806 --> 00:08:27,590
米尔恩-爱丁顿近似法

179
00:08:27,590 --> 00:08:29,612
也可扩展到更高阶

180
00:08:29,612 --> 00:08:32,657
以及更加复杂的几何形状的条件下

181
00:08:32,657 --> 00:08:35,072
米尔恩-爱丁顿近似法

182
00:08:35,072 --> 00:08:38,282
就是人们熟知的矩量法人们已经证明

183
00:08:38,282 --> 00:08:41,396
这个方法与球谐函数法等价

184
00:08:41,396 --> 00:08:43,810
球谐函数法使用

185
00:08:43,810 --> 00:08:46,654
作为方向余弦的函数的球谐函数

186
00:08:46,654 --> 00:08:48,731
并利用其正交特性

187
00:08:48,731 --> 00:08:50,907
对辐射传递方程进行求解

188
00:08:50,907 --> 00:08:54,864
本课程暂不考虑讲授球谐函数法

189
00:08:54,864 --> 00:08:58,167
有兴趣的可参阅有关教材进行学习

190
00:08:58,167 --> 00:08:58,167