另一个一维平行平板介质的简单解法
由米尔恩和爱丁顿独立给出
这个方法通常称为之微分近似法
尤其是当这种方法
应用到更复杂的几何结构的时候
对一维发射 吸收
各向同性散射系统微分辐射传递方程
计算零阶 一阶矩
然后对全角度积分
各阶强度矩定义式如下
即在-1到1的方向余弦μ取值范围内
用μ的不同阶次幂乘以I然后再积分
我们来看各阶矩的定义的含义
零阶矩实际上是
求解辐射强度在整个立体空间角的积分
这就是入射辐射G的定义式
很明显
一阶矩实际上是辐射热通量q的定义式
二阶矩的计算可能与辐射压力相关
我们来看辐射传递方程的零阶矩变换式
在RTE两边同时乘以2πμ的零次方
即2π并对μ作积分
这实际上是直接对RTE求积分
左边项变成了dI1比dτ
特别注意最后一项
积分Idμ从负1到正1的积分
本来与μ无关
所以对μ的积分可以移到外面
最后整理成了一个关于辐射强度的零阶
和一阶矩的方程
我们接着来看
辐射传递方程的一阶矩变换
第一项 方程左边的项
原来有个μ项
再乘一个μ项就变成了μ的平方项
最后变成了二阶矩的导数项
第二项和第四项分别含有μ的积分项
在-1到1之间积分的结果为0
第三项是I1
RTE的一阶矩变换式就简化成
dI2比dτ等于负的I1
与零阶矩变换式相组合
这里I0 I1 I2三个未知量
需要从两个方程中解出条件不够
需要补充额外的条件才能求解
假设一维系统的正向和反向辐射强度
都是各向同性的但有不同的取值
这个假设与舒斯特-史瓦西近似条件相同
我们可以将k阶矩写成两部分分别计算
简化成与I正和I负的关系式
容易知道I2等于三分之一I0
我们就提供了一个补充的条件
把I2等于三分之一I0
加进已经得到的两个矩量方程中
就得到新的三个方程组成的方程组
关于I0 I1 I2 的新方程中
带入G等于10 q等于I1
这就是用矩量表示的入射辐射和辐射通量
可将I0 I1 I2全部消去
我们得到仅仅含有G和q的方程式
这就是最终得到的仅含G和q的方程式
边界条件与前面的相同
我们将米尔恩-爱丁顿近似方程
和舒斯特-史瓦西近似方程放在一起
比较看看他们之间的异同点
第一个方程完全一样
注意这个相同的第一个方程
他实际上是一般情况下辐射热源
即辐射热通量的梯度的表达式
我们经常用到这个方程式
所谓辐射平衡条件
就是热源dq比dτ等于0
也就是4πIb等于G
第二个方程有点差别
一个是-3q一个是-4q
既然大家都是近似解
本身就允许存在误差
所以这两个方程都是对的
我们在学校里这么多年的学习
习惯于求得唯一的准确解
但是很多时候
我们并不能得到完全准确的解
那样会让我们付出太高的
不必要的代价
哲学上还会说
我们永远无法达到“绝对真理”
在实际中我们能够以最经济的代价
获得满足需要的近似解
这是最佳选择
辐射平衡条件下dq比dτ等于0
因此G等于4πIb
代入第二个方程
dG比dτ等于负3q
我们就得到q和Ib的关系式
q等于负的三分之四π
dIb比dτ
这和罗斯兰德扩散近似得到的结果完全相同
所谓殊途同归
米尔恩-爱丁顿近似又称为微分近似
我们来看一个用微分近似法求解的例子
考虑夹在两个温度分别为T1和T2
绝热黑体平行平板之间的灰体介质
其折射率n等于1
介质处于辐射平衡状态
吸收 发射但不散射辐射
使用微分近似法求解平板间的热通量
根据灰性 非散射和辐射平衡条件
由第一个方程我们可以得到q等于常数
既然q等于常数
由第二个方程积分
就可以得到G随光学厚度
线性变化的关系式
其中包含一个常数C
将所得到的G的表达式
代入上面两个边界条件方程中消去C
我们就得到热通量分布的表达式
将C的表达式代入G的表达式
得到T和T1以及q之间的关系式
前面我们刚得到q的计算式
代入刚才的等式
我们就得到无量纲温度分布的表达式
考虑光学薄的特殊条件
即τL和τ都趋于0
此时无量纲温度φ趋于二分之一
即介质温度t的四次方趋近于二分之一
t1和t2的四次方的和
与我们在上一次课中例4-1得到的结果一样
显示出辐射滑移或温度滑移的极端条件
再考虑光学厚的特殊条件
即τL趋于无穷大
当τ等于0时则φ趋于0
则介质温度t趋于t1
趋近于左边界温度
当τ等于τL时φ趋于1
则介质温度t趋于t2
即趋近于右边界温度
因此米尔恩-爱丁顿近似解
正确地给出了光学厚介质
靠近边界处的温度变化趋势
我们在前面讲述的光学厚介质的
罗斯兰德扩散近似方程时说过
罗斯兰德扩散近似方程
不适用于介质边界附近区域
当τ等于二分之一τL时
φ趋于二分之一
则介质温度t的四次方
趋近于二分之一t1和t2的四次方的和
即介质温度的四次方趋近于左 右两边界
温度的四次方的平均值
因此米尔恩-爱丁顿近似解
给出了介质整个区域的温度的分布
无论介质是薄是厚
还是不薄不厚
考虑光学厚的特殊条件下的以上结果
可以整理得到介质温度分布的表达式如下
与光学厚条件下
罗斯兰德扩散近似方程的比较
我还想多说几句
米尔恩-爱丁顿近似
是在给定边界和介质辐射特性的条件下
求解出介质的温度分布
而罗斯兰德扩散近似方程
是在温度分布条件下
给出内部热通量的分布
米尔恩-爱丁顿近似解在辐射平衡条件下
得到的热通量计算式
与罗斯兰德扩散近似方程完全相同
通过米尔恩-爱丁顿近似解
可在边界附近得到的正确的温度分布
进而得到正确的热通量分布
例4-2 3说明
仅靠罗斯兰德扩散近似方程
在光学厚介质的边界附近区域
不能得到正确的分析结果
关于米尔恩-爱丁顿近似法的发展
我最后说明几点
像舒斯特-史瓦西近似法一样
米尔恩-爱丁顿近似法
也可扩展到更高阶
以及更加复杂的几何形状的条件下
米尔恩-爱丁顿近似法
就是人们熟知的矩量法人们已经证明
这个方法与球谐函数法等价
球谐函数法使用
作为方向余弦的函数的球谐函数
并利用其正交特性
对辐射传递方程进行求解
本课程暂不考虑讲授球谐函数法
有兴趣的可参阅有关教材进行学习