欢迎来到复变函数课堂
今天我们给大家介绍了一下
复数的模长和辐角
在上一讲中
我们已经把复数集 复平面以及有序数组R2
还有平面上的所有向量的全体
这四个对象给它视为同一个对象不加区别
那么有了复平面的概念
实际上我们就可以把复数
用向量来去表示
所以在复平面上我们把z等于a+bi
表示成这样一个向量OP
这时候大家看到OP
当P是非0的时候
它有长度的概念也有角度的概念
从集坐标的角度来考虑
我们就可以定义
这个复数的长度或者叫模长
或者称为大小长度以及绝对值
也就是向量OP的长度
当然了它用直角坐标来写的话
正好就是a的平方加b的平方开根号
那么这个以后我们就把它记成z的绝对值
或者叫z的模长当然了模长是非复的
其次我们还可以定义
它的辐角也就是让x轴的正向
正向和OP向量它的夹角
这个记为复数z的辐角
当然这里有个前提z不等于0的时候才有意义
一般记成Argz
大家需要注意
在这里写的是大写的Argz
也就是比方这个是1+i
这时候你可以取π/4
也可以取π/4
加上2π的整数倍
所以这是一个多值的函数
需要注意的是
0这个复数它的模长为0
但是0没有辐角
比较特殊的一个复数等于0
只需要验证它的模长是0就可以了这是等价的
但是一旦涉及到辐角的概念
z一定不能是0
第二个方面
对于平面上的任何一个非0复数
它一定有唯一的模长
但是它的辐角是无穷多个
也就是给定一个角
再加上2π的整数倍
我们把满足角度大于-π到+π
这样一个左开右闭区间上的一个辐角值
称之为大写的Argz的主值
记为小写的argz
有时候也用小写的argz代表特定的辐角
于是我们就可以导出
大写的Argz
实际上是argz与2π的整数倍之和
构成的一个集合
所以这是一个多值的函数
第三个方面考虑z的共轭
由于它和z是关于x轴对称的
所以z共轭的辐角
和z的辐角之间
是互为相反数的
另外一方面如果我们把z
乘以一个大于0的实数α
其辐角是不变的
最特殊的一个结论是
这样一个结果
也就是z共轭的大写的辐角
是等于z大写辐角的相反数
这个意思是说
左边集合中任给一个源
在右边一定存在唯一的一个源与之对应
反过来也是这样的
下面我们来看一下
如果考察在辐角和模长的意义下
两个复数相等
它的判定条件也就是z1和z2
如果是非0的时候它们相等
当且仅当对应的模长相等
辐角相等那么尤其注意
z如果是0的时候
我们就不用辐角
z等于0当且仅当z的模长为0
下面我们来看一下
辐角的具体求法
对于复平面上任意给定一个点
也就是一个复数z等于x+iy
我们知道这里的arctany比上x
它的范围是介于负π/2
到π/2之间
那么在这边是相当于从-π/2到π/2
在这边和这边
大家根据这个符号
可以确定它的范围
在这边根据符号可以确定具体的值
我们来看如果x大于0
也就是在右半平面
这时候考虑当y大于0时
我们考虑第一象限或者y小于0
第四象限
那么这时候由于Arctany/x
和辐角的范围是一致的
所以直接取arctany/x
第二种情况
就是如果我们考虑的是x等于0
就是整个虚轴上
那么y如果大于0时
这个辐角是π/2
y小于0就是-π/2
第三种情况考虑左半平面
来看一下第二和第三象限
当x是小于0的
y如果大于0的时候
这边由于arctan y/x
这是负的所以它是一个0
-π/2到0之间的这个值
但是实际上 这里和这个辐角主值和它
相差一个π
所以我们需要在这个arctany/x后面加上π
而第三象限
这时候arctan y/x是介于0到π/2
而我们规定的辐角主值
是-π/2到
是-π到-π/2的
所以我们需要在这个地方
减上一个π 就是这样一个结果
最后如果考察y等于0
就是实轴上
我们看一下在正半轴是0
负半轴取的是π
这是关于argz主值的求法
下面我们来看一下模长
所具有的一些性质
首先就是任意复数模长非复的
而且z和z的共轭模长是一样的
都是实部的平方加虚部的平方开根号
其次就是z和z的共轭
它的乘积是模长的平方
第三个我们来看一下
这个重要的模长关系式
就是z1加减z2的模长平方
是等于z1的模长平方
加z2的模长平方
再加减2倍的z1乘z2的共轭的实部
或者2倍的z1共轭乘z2的实部
这个我们待会儿再证明
由这个式子
我们很容易推出第四个结果
也就是说如果写成z1+z2的模长平方
再加z1-z2的模长平方
那么这时候
这里一个正的一个是负的
一加正好抵消掉
变成2倍的z1模长平方加z2模长平方
这个几何意义很明显
是平行四边形对角线的平方和
正好是相邻两边平方和的2倍
或者叫四边的平方和
下面我们给第三个等式做一下证明
证明方法
直接代入就可以了
也就是模长平方是等于一个复数
乘以它的共轭
然后我们根据先运算再共轭
等于先共轭再运算
按照多效式展开
得到这样一组结果
而这里z1乘z1的共轭是z1的模长方
z2乘以z2的共轭是z2的模长平方
这个式子正好是我们刚才的例题
已经学过的一个例题
也就是说它两个之和是2倍的
z1乘z2的共轭的实部
或者是z1共轭乘以z2的实部
这样一个结果那么这样的话
就证明了第三个等式
下面来看一下模长的不等式
也就是说
对于给定的复数z等于x加iy
在直角三角形中OZ这个模长是R
xy是两个直角边 这个是斜边
所以直角边的边长不会超过斜边
就得到了实部虚部的模长
不能超过z的模长
也就是实部虚部的绝对值
不能超过z的模长
另外一方面
两个直角边的和
要大于等于第三边
所以具有这样一个结果
这是很直观的
下面我们来看一下
利用z1z2的具体代数表达式
代入以后
很容易证明这个结果
就是说乘积和除法运算再取模长
和先取模长再运算
结果是一样的
第三个方面
大家看一下这个三角不等式
也就是说
如果考察在这样一个三角形中
这是z1向量
这个代表的是z2向量
那么这个向量
代表的就是z1+z2
很显然两边之和要大于等于第三边
这就是z1的模长加z2的模长在这
要大于等于第三边
就是z1+z2的模长
这里是z1-z2也有
那么z1的模长减掉z2的模长
就是两边之差要小于等于第三边
就得到这个不等式的左边
当然这里我们用z1-z2的模长
代表z1-z2这样一个向量它的距离
或者是两点之间的距离
当然这里我们用z1-z2的模长
代表点z1到z2的距离
当然它也可以表示z1-z2
这个向量的模长
这是一个概念
下面我们把这个不等式
给大家证明一下
一方面是刚才讲的
三角形的三边之间的关系
另一方面
我们还可以利用代数的方法
来去证明
比方说我们来证明这个式子
你把z1和z2这个相应的关系式
代到这里面
我们知道z1+z2的这个模长平方
是这样的有这个式子
这是刚才的三式
然后再利用实部绝对值不能超过模长
就这个式子就可以得到下面这个结果
当然这个结果正好两边把平方去掉
是我们要证的这样一个式子
这也是可以的
一种是几何意义的证法
一种是代数的方法
一般情况下我们可以把这里的
这个复数的个数从两个
推广到有限个
这个证明方法
就用数学归纳法是比较容易做的
留作一个习题
大家自己操作一下
下面我们来看一个例子
假定α和β是两个复数
如果α乘以β等于0
结论是α和β中间至少有一个为0
这个就是实数中的一个结论
可以完全推广到复数域中来
这个证明是利用z等于0
当且仅当z的模长为0就可以了
首先由于α乘以β是0
所以我们就可以推出
这两个乘积的模长
也就等于两个模长乘积是0
根据实数的运算规律
两个数的乘积为0
至少有一个为0
所以容易推出
α的模长或者是β的模长等于0
于是我们就推出
α等于0或者β为0就证完了
所以这个是实数的结论
可以直接搬到复数中来的一个例子
当然我们讲实数的大小不能比较
还有很多复化之后不一致的
到后续再给大家介绍
相应的作业
请大家参考一下课程的平台
这一节课就上到这里