John Geanakoplos, Financial Theory (Yale University: Open Yale Courses), http://oyc.yale.edu (Accessed Jan 27, 2012). License: Creative Commons BY-NC-SA
我们已经学习过确定性的情况 -=THE LAST FANTASY=- 荣誉出品 本字幕仅供学习交流，严禁用于商业途径
在确定性上下了很大功夫 -=TLF字幕组=- 翻译：揽星 校对：关张赵马黄
现在我想转到不确定的情况
事情变得更有趣，并可能发生意外
我会讲到这些
我们开始上课
目前我们已经考虑过确定性的情况
有了不确定性，事情变得更有趣
我想帮你们回忆一些数理统计的基本知识
相信你们都知道
我们处理的是随机变量，有不确定的结果
但概率是已经定义好的
我们这门课不会涉及到
人们不知道事情发生概率的情况
席勒认为我们活在一个
人们知道未来会怎样的世界
听到一个好消息，每个人都变得异常乐观
听到一个坏消息，每个人又变得异常悲观
这种情绪摇摆能影响整个经济
我不会讨论这个
这很难量化，并且我不确定这有没有
他认为的那么重要
我们要处理的情况是，很多事情可能发生
但你知道它们发生的概率
很多事情都可能会出问题
我需要你们知道一些术语
我们上次讲过，我举个例子
我们要和世界的状态打交道，自然的状态
这是莱布尼茨的观点
所以我们举一个最简单的例子
50%的概率得到1，50%的概率得到-1
这就是个随机变量
可能是你投资的表现
一半的时间你会获得一美元
一半的时间你会损失一美元
这是X，我们定义X的期望值
我写作X杠
上升发生的概率
就直接写作(1/2)*1+(1/2)*(-1)=0
然后我定义X的方差，同期望值的差的
平方和的期望值是多少？
衡量不确定程度的
一般来说，你平均预期会得到0
所以不确定性是用同0的距离来衡量的
但我们要将其平方
(1/2)*(1-X杠)^2+(1/2)*(-1-X杠)^2
=(1/2)*1+(1/2)*1，也等于1
所以方差就是1
X的标准差是X方差的平方根
等于1的平方根，也等于1
我们经常会用X的期望值
表示情况有多好
而标准差表示不确定的程度
人们不喜欢它——很快我们就会
谈到人们不喜欢不确定性
而这个是衡量他们喜欢程度的
回报平均来说很大 这里的不大，但可以很大
而衡量不确定性的方式是标准差
你会看到我用标准差而不是方差的原因
这使得图像更漂亮，而且如果你把X翻倍
期望值也会翻倍，显然，因为你把
其中所有的项都翻倍了
方差，你最后会把2平方
如果你把X翻倍，这些项和平均值也都翻倍
所以最后的方差乘4了
而标准差则还是乘2
大小改变只是使这两个数字大小改变
而对方差会产生平方的效果
所以我们用这两个数字
现在可以顺便再举一例，0.9*3
叫做Y，0.1*负的什么
这里用1/3吧，这里用-3
那么Y的期望值是多少？
Y的期望值等于
整个写出来，是0.9*(1/3)+0.1*-3
等于0.3-0.3等于0
所以这个随机变量的期望值
和那个随机变量的期望值一样
Y的方差
是0.9*(1/3-0)^2+0.1*(-3-0)^2
等于0.9*1/9+0.1*9=0.1+0.9
等于1，和另一个一样
这里这个随机变量和那个
看起来很不同，所以显然标准差
和期望值不能完全描绘事物
这个和那个很不同，标准差
和期望值却一样
我们等下会讲到
这两个变量的区别
还有一样我想讲的
是X和Y的协方差
我们可以看看这些变量的结果
我把这个写在哪里呢？
写在这里吧
我们可以在一张图中看这些变量的结果
像这样，这里是X这里是Y
X可以是1，而Y是1/3
X可以是1，而Y是-3
这是个结果，这也是个结果
X还可以是-1.而Y是1/3或-3
看这里，是4个结果
如果你只看X，有50%的概率在这里或这里
如果你只看Y，有90%的概率在上面
10%的概率在下面
这些叫做边际分布
而联合分布的话，我们要加入一个数字
如果你只看X
只看X，你会说这里是0
这里是1，这里是-1，你有50%的概率
在这里或这里，而Y——
我们这么画
对于Y你可以得到1/3或-3
概率分别是0.9和0.1
这是0。这就是开始那张图
你知道了X可能的值和Y可能的值
你不知道它们联合可能的值
如果它们在这条对角线上，意味着X高时
Y也很可能高，反之亦然
如果X低时，Y也低
所以如果在这条对角线上
它们是相关的
如果在这条对角线上
它们就是负相关的
总之，协方差就是
落在(1,1/3)的概率
*(1-X杠)*(1/3-Y杠)
我要按顺序来
+(-1,1/3)的概率*(-1-X杠)
*(1/3-Y杠)+…
抱歉我刚算了哪些？
我算了-1和1/3
已经算过了，所以这里是下面的
(-1,-3)的概率*(-1-X杠)*(-3-Y杠)
有序数组的概率
学生：那个是X杠还是Y杠？
教授：谢谢
我还没有写哪个点？
(1,-3)的概率*(1-X杠)*(-3-Y杠)
为什么协方差能说明相关性呢？
如果这里和这里的概率大
沿这条对角线，这一项权重就会很大
而另一项(-1,-3)，权重也会很大
所以在这条对角线上的
这项和这项会有很大的权重
你看这些项都会是正数
因为这是1-0和1/3-0，所以乘积是正数
这里是负数，-1-0
-3-0，负数乘以负数还是正数
如果你在这条对角线上
协方差会得到大的正数
如果在这条对角线上的话
这两处的概率高，但是它们都是负的
这是负数，这是负数，因为两项之一
高于平均值，另外一个低于平均值
这意味着是在这个方向上变动
协方差告诉你事物是
同方向还是反方向变动
这些是你必须知道的基本知识
还有其他一些
协方差同X是线性的关系
如果你把X翻倍，每一个变量X出现的地方
都是X减去X杠
X减去X杠，X减去X杠
X减去X杠，如果你把X翻倍，每项都翻倍了
所以它对X和Y是线性的，最后要记住的是
X的方差是它同自己的协方差
显然如果你代入X=Y，刚好得到方差公式
因为它们是线性的，所以X+Y的协方差
X+Y的方差，又一个公式
首先等于X+Y同它本身的协方差
然后根据线性
利用线性的特性
等于X同X的协方差，加上Y同Y的协方差
加上2乘以X同Y的协方差
因为是线性的，我可以按线性来做，对吗？
X+Y同X+Y的协方差是X+Y同X的协方差
加上X+Y同Y的协方差，然后再次使用线性
就得到了那个
这些基本上就是最重要的公式
现在，我要做三个小评论
非常迷人，也非常基本
这些有什么问题吗？
嗯？
教授：为什么给？再说一遍
学生：为什么你给(-1,-3)的概率加下划线
教授：(-1,-3)的概率
是这里这个结果
我们给它加下划线不是因为它更可能
而是因为这项会是正数
这是正数，这个也是
要点就是联合分布
不是由X或Y的分布单独决定的
即使我知道X的概率
也知道Y的概率
仍然不会知道这四个概率应该是多少
比如，可以有一个极端情况
X高的时候，Y也高——不会总是这样
因为两者为高的概率是不同的
X和Y的概率不能决定这四个联合概率
所以这四个点的概率可以是各种不同数字
总和则会和X的概率
和Y的概率一致
一种简单的证明办法是…
我要做哪些观察呢？
比如，我可以说，如果X高的概率是1/2
此时假定Y也高
那么其他40%的时间（0.9-0.5）Y可能…
当Y高时，X可能…
有种办法可以算出来
我把0.5写在这里，0.5，对吗？
40%的时间这会是——
这里有一个0.5，该怎么处理剩下的呢？
这个加上这个需要等于50%
有50%的概率X为1
当X等于1时，我可以让Y一直等于1/3
这意味着这里的概率是0
因为这里的概率是50% （0+0.5=0.5，X为1的总概率是0.5）
这个加上这个也应该是50%，X等于-1
那么有多少时间Y在下面这里呢？0.1
假设是这些概率，0.4 （0.9-0.5，Y为1/3的概率）
所以你看X杠——50%的时间X是1
50%的时间X是-1
现在，有多少时间Y是1/3，0.5+0.4
90%的时间，10%的时间Y是-3
这是这些点上概率的一种可能
满足X和Y分别的概率分布，但还有其他可能
一种你大概已经想到了
就是假设它们是完全独立的
刚才那种情况X的概率是这样
如果我知道X是1，Y一定是1/3
它们相互依赖
X某种程度上导致或决定了Y
X中有很多Y的信息
假设我让它们相互独立呢？
这里发生的和那里发生的完全无关
然后写下概率，不再是这些了
这里是0.45
(1/2)*0.9=0.45，然后你选择
X为-1，Y为1/3的概率也是0.45
然后这两处的概率都是0.05
这里，知道Y的结果好
不包含任何关于X的信息
X仍然还是等概率的好或坏
知道Y的结果不好，X也仍然
是等概率的好或坏
同样的，知道X的结果
不包含任何关于Y的信息
这边是0.9乘以0.5，这边也是0.9乘以0.5
黄色的是相互独立的，X=x且Y=y的概率
P(X=x,Y=y)等于P(X=x)乘以P(Y=y)
这是相互独立的情况
相互独立的时候，知道一个变量的情况
不会告诉你另一个变量的任何情况
但还是可以求联合分布
分别知道每个变量的分布不会告诉你
联合分布的情况，而协方差试图
考察它们是否相关
还是相互独立
相互独立的话协方差就是0
这很显然，因为X变量
和Y变量完全无关
因为协方差对于X是线性的，你可以让Y不变
X也是同样，你会得到总和为0的一些数
对于任何固定的Y，这些数字就是
X的期望值，不依赖于Y
在Y的每种取值下都是0
所以如果它们是独立的，协方差必然为0
所以，独立意味着X和Y互不相关
意味着协方差为0
他们可以正分布，就像上面那样
或者负分布，随便哪种
明白了么？你问的问题
那么这里能表明我们在不确定情况下行为的
关键问题是什么呢？
你会发现，期望值是好的
而标准差是不好的
如果我们用这个变量，我们会发现
X和Y都在这里，都在这里
它们的标准差都是1
期望值是0，横轴是标准差
所以X在这里，Y也一样
假设我把一半钱投入X
一半投入Y，如果我各投一半
那么每个都获得一半的回报
我用一半的赌注获得一半的回报
我的期望值呢？
期望值显然等于(1/2)X杠+(1/2)Y杠
也等于0
所以还是一样
期望值没有变 但(1/2)X和(1/2)Y的方差呢？
根据上面那个公式——我要算这个公式
这边和这边系数都是(1/2)
这边也一样
(1/2)X同(1/2)X的协方差
(1/2)Y同(1/2)Y的协方差 加上(1/2)X同(1/2)Y的协方差
但(1/2)X同(1/2)X的协方差只是什么？
是(1/2)X的方差，从这边方差的定义
可以看到
如果你把X翻倍，会把方差
变为4倍，因为都是平方计算
所以这是1/4乘以X的方差
这个，(1/2)Y同(1/2)Y的协方差
是1/4乘以Y的方差
如果这两个变量是独立的，协方差是0
所以在这个例子中，这两个变量
如果是橙色这个分布
变量相互独立，我可以投资X
标准差和期望值，期望值为0
标准差为1，投资Y也同样
标准差一样，或者各投入一半资金
看起来各投入一半资金完全是浪费时间
毕竟它们的标准差相同，但其实不是的
如果它们是独立的，你就极大地减少了
你的标准差
因为如果它们是独立的，协方差是0
所以这个加上这个，X的方差等于
Y的方差，这就是X或Y方差的一半了
太令人震惊了
所以标准差，那个的平方根
是1/根号2了
所以各投入一半资金，若它们相互独立
就得到这个结果
这是(1/2)X+(1/2)Y的标准差，X和Y独立
你从这个点到了这个点
减少了自己的标准差，而没影响期望值
首先学到的对这个的应用
这就是数学，数学家们当然很久之前
就明白这个，但意识到这个
在经济学中的应用就不那么显然了
不过莎士比亚知道
这是分散化（投资）
别把你所有的，把你的
投资分散到不同的水域中
莎士比亚，安图尼欧在
每片海上都有不同的船，而不是把所有船
都放在同一片海上，把它们放在不同海上
他假设它们是相互独立的
所以预期结果是一样的，假设他
出售货物的路线都一样长
预期结果一样，每个水域都一样危险
但是他极大地减少了他的方差
因为有很多海洋，很多船
这个数字不断下降
所以关键是找到独立的风险
这是数学知识，在经济学中有广泛的应用
第二件事是什么？
第二件事是如果你把一组风险加起来
我就简单说一下
如果你把一组风险加起来
讲这个之前，先把这个概括一下
如果你有N个平均值和方差相同的独立风险
期望值表示为X杠，方差表示为σ^2
我们说他们都有期望值E和方差σ^2
每个都是这样
那么——每个都有标准差
它们都是相同的
像X和Y期望值都为0，标准差都为1
假设我有20个这样的变量 每个投入1/20的钱
我的期望值会怎样呢？
每个里面1/N美元意味着我的期望值会怎样？
如果期望值等于…
每个期望值都为E
我把资金平均分配，每个投资期望值相同
结果的期望值还是E
就像这样，把我一半钱投入Y
一半投入X，不论X如何变化
Y在这里
X在这里
一半钱在X中一半钱在Y中，会给我
相同的期望值
如果我有12个像这样相互独立的项目
期望值仍相同，但我的标准差
我的标准差会怎么样？
方差会——标准差会怎么样？
学生：会变小
教授：变小多少？
方差会怎么样？
N个相同但独立的投资中
每个投入1/N美元，我的方差会是？
方差会等于1/N乘以σ^2
为什么？
因为每个投资会有1/N美元在里面
所以它的方差会是1/N的平方乘以σ^2
有N个这样的项
所以是N乘以1/N的平方
就是1/N，这表明标准差
——我把它叫做标准差
是1/根号N乘以σ
这就是一般化的情况
之前是1/根号2，如果是N个投资
而不是2个，结果就是1/根号N
这些是非常有用的公式
会不断出现
我们再讲一遍，让你能理解
如果我有两个独立的随机变量
我在其间平均投资
它们有相同的期望值
不一定是0，可以是正数
如果我分散投资，不会改变我的期望值
因为每一美元，不管怎么分的
投入的地方都具有相同的期望值
但因为它们是独立的
这个方向上的项会互相抵消
一个投资表现很好——对不起，是这个方向
这个方向上的值是好的，因为如果一个
投资表现好，对不起，表现不好
另一个表现就好
这里投资Y表现不好，X表现却很好
所以如果在这个方向上，就抵消了一些
不好的结果，因为一个好，一个不好
这样虽然你的期望值还一样
但方差减少了
实际上如果你能只取
这个方向上的点，情况会更好
只要有部分在这个方向上，就减少了风险
如果它们是独立的，风险减少得有多快？
你通过均分来减少风险，因为方差是平方的
你的一半资金在一个里，另一半在另一个里
意味着第一个方差变为1/4
第二个方差也变为1/4
一共有两个，所以总方差是之前的一半
如果有10个，每个投入1/10资金
方差会变为1/100，一共有10个
就是10个1/100，方差的1/N
如果你用标准差，就是1/根号N
这就是你的不确定性和风险降低的速度
下节课你会更具体的看到
这是你们大部分人都知道的东西
还有一件事，如果你把一组
独立的随机变量加总
我会非常简单的说一下
你得到一个正态分布的随机变量
正态分布的随机变量，以及相应的
期望值和标准差
我说的是是什么意思？
我不想讲得太精确，因为如果你之前见过
见过证明，就知道关于这个的一切
如果没有，就有太多精妙的东西要吸收
正态分布的随机变量是钟形曲线
就像这样
这是期望值为0的钟形曲线
就是这样的钟形曲线
它的特别之处就是有特定的公式
是负X^2的指数形式的
它有特定的公式，你知道就知道了
如果不知道，书上有
我们不会用到具体的公式
看上去就是这样
横轴是X的结果，纵轴是概率
结果的概率，或者说结果的频率
X越大，这是平均值，等于0
——我假设平均值是0
非常大的X，极不可能发生
非常小的X，也极不可能发生
X越接近平均值，就越可能发生
有趣的是，如果你把这个随机变量反复相加
它的结果只有1和-1，对吧？
而这个是完全不同的结果
1/3和-3，他们是分开的、离散的结果
如果把这些加到一起，比如25个1和10个-1
得到15
这里你可以——得不出这个结果
对不起，这个例子不好
如果加30次，18个1和12个-1
结果就是6，你在这里也可以得到6
但用30个结果的话，你可以…
所有30个可能都是1
可以使你得到接近的结果
因为这些结果是分开的
一旦你把它们加起来，会得到
不同于1和-1的数字
而这些加起来——用1/3和-3的
正确组合——你就可以复制结果
比如要得到1，可以用3个1/3
就复制出了1
总之，令人惊讶的是如果你把一组
相互独立的随机变量加起来
就能得到像那样的正态分布
因为这个随机变量有一样的平均值和标准差
你把同样数目的这个随机变量加起来
结果会得到几乎同样的分布
极限情况下，足够多的这个随机变量加起来
会和这个随机变量加起来形状完全一样
这是第二个令人惊讶的数学事实
第三个是，我们会用到
正态分布由平均值和标准差决定
它的公式中只有这两个参数
这些数，则叫做瘦尾
这些概率很快趋近于0，所以你不会
预期有很多偏离的、戏剧性的事情发生
在现实世界中，它们确实发生了
我们会看到许多经典经济学是建立在
正态分布基础上的，所以你不会看到——
你不会预期任何巨大的异常发生
建立在这种假设基础上貌似很自然
因为把独立变量加起来
就会得到正态分布
这些变量看起来是独立的，得到的就该
是正态分布呀，然而实际却不是
有太多的异常值
这些就是基本的数学背景
有什么问题吗？
我假定你们都知道，现在开始讲经济学
我想这就是你所需要知道的所有背景知识
我想再讲一件事，也许算背景知识
但一直在经济学中使用
叫做迭代期望
如果我告诉你这些变量
像上面这样相关，像橙色的部分
如果我告诉你，X中包含了
很多Y的信息
比如，我告诉你X…
对不起，白色的部分才是相关的
如果我告诉你X是1，这意味着Y一定是
好的结果1/3，因为X是1时-3不会发生
X等于1时唯一能发生的是
Y等于1/3，所以知道了X
会彻底改变你对Y的预期
条件期望，我以前应该说过
条件期望就意味着使用信息中更新的概率
来重新计算期望值
你可能在高中时就学过
所以我假定你知道怎么算
在这个例子里，如果我告诉你，比如X是1
这意味着只有这两个结果是可能的
意味着白色情况下只有两个可能结果
概率分别是0.5和0
如果我告诉你X是1
条件概率加起来必须是1
所以你要把概率同比例增加（以使和为1）
所以你知道Y一定是上面的好结果
如果我告诉你Y的坏结果发生了
那么概率是——这个0使问题太简单了
假设我告诉你Y的好结果发生了
在白色的例子中
X得到好结果的概率是多少？
如果我告诉你在白色的例子中Y是1/3
那么在此条件下，X是1的概率是多少？
学生：5/9
教授：对，5/9
因为现在概率是——情况简化为0.4和0.5
所以是5/9
这个我认为你们都能——
这很直观，解释起来太麻烦了
我相信你们知道怎么做
总之，条件期望
迭代期望就是这样
显然的想法，但对我们来说极其有用
如果你问我扬基队击败道奇队
赢得世界职业棒球赛的概率
假设决赛是这两个队
扬基队击败道奇队
发生的概率是多少？
你认为概率会是多少？
如果第一战后再来问我的观点
显然如果扬基队赢了第一场
这个期望值会变高，我的观点会变
如果道奇队赢得第一场，期望值则会降低
我会有不同的观点
你还可以问另一个问题
你预期的观点是什么？
迭代期望法则是
X的期望值必须等于已知若干信息情况下
X的预期期望值
这是我的想法
扬基队有70%的概率赢
如果扬基队赢下第一场
我会认为概率升到80%
如果道奇队赢下第一场
我会认为概率降到65%
已知这些信息后，我的观点平均起来 （注意是按概率加权平均，不是简单平均）
应该和开始无信息时一样
这是常识，我不会费力去证明
这个极其重要
不只是X的期望值
在有了新的认识后，可以预见
你的观点会变，但你的观点平均起来
应该一直和原来一样
这是最后的背景知识
现在来看一个简单应用
实际上，对于那个问题
假设在进行职棒赛
扬基队对阵道奇队
假设扬基队有60%的概率赢得一场比赛
我写在这里
扬基队有60%的概率赢得一场比赛
它赢得三场制的职棒赛的概率是多少？
你怎么算出来？
一个幼稚的、简单的办法是
都有什么情况会发生？
如果扬基队获胜，用“上”表示
如果输掉，用“下”表示
概率分别是0.6和0.4
扬基队可能再次获胜，60%的概率
我们有两场比赛扬基队获胜了
或者扬基队输掉，40%的概率
扬基队可能输或赢
60%和40%，仅比赛了两场
扬基队可能会赢第三场
这场已经不必比了，因为它们已经
赢下了三场制的系列赛，即使比也没关系
40%，可以上或下
扬基队在一胜一负后，可能赢
概率是60%，也可能输
在一负一胜后，可以再赢或输
一负一胜后他们可能输，概率分别是
40%和60%，最后是这两种情况
分别是60%和40%
这看起来像一棵树
你可以想象8种长度为3的可能路径
每条路径都代表了具体的胜负情况
要计算扬基队最终获胜的概率，你要
——这种情况下扬基队获胜
他们在这里已经获胜了 如果继续比第三场也没关系
这两处都是获胜
他们两胜一负
这里他们胜了一场，两胜一负，他们获胜
这里是负、胜、胜
他们赢得职棒赛
这里是负、胜、负
他们输掉职棒赛
这是负、胜——这是胜、负、负
还是输掉了职棒赛
这里是负、负，他们输掉了职棒赛
这些是所有可能的结果
你可以计算每条路径的概率
共有8种，然后把概率
和结果相乘，就会得到
扬基队赢得职棒赛的概率，对吗？
大家都懂了吗？
还有一种更快方法，在计算机上
使用迭代期望法则
首先——这叫做“树”
我们一直会用到树
我不想正式定义“树”
就是从某种情况开始，各种事情会发生
每一期都会发生事情，所以你就写下
所有可能发生的事情
你写下所有可能发生的事情
就像树一样展开
描述树的话这就足够正式了，这就是一棵树
注意到树，可能发生的事情是呈指数增长的
要计算呈指数增长的东西是很可怕的
但他们经常把树重新组合
如果我问，在这个树中
这里的观点，结果是68%
我本该让你们猜的，68%左右
写在这里的观点必须是
这两个观点的平均
如果我把这个观点乘以0.6，这个观点
乘以0.4，就会等于0.68
这就是让计算更快的关键
而不必计算每个分支，那样太痛苦了
因为路径数是呈指数增长的
手算非常难
注意我们可以重新组合树
这两个节点本质上是一样的
扬基队一胜一负，或一负一胜
有什么区别？
这两种情况下他们都在同一点上
在职棒赛中是一样的
因为我们假设赢一场比赛的概率是
60%和40%，和之前比赛的结果独立
——你可能觉得你知道了一些信息
“哦，他们的投手投偏了
没能坚持下整场比赛”之类的信息
我不会考虑这些情况
不管发生什么，扬基队获胜的概率
都是(0.6,0.4)
在每一点上，你关注的就是谁赢了几场比赛
所以这两个节点基本相同
这三个节点也相同，因为结果都是
道奇队2:1领先，这里是扬基队2:1
这是扬基队3:0和0:3
重新组合的树含有相同的信息
就是这个，这个，这个，这样的树
这棵树只有1、2、3、4、5
1个节点，2个节点，3个节点，4个节点
随时间线性增长，而不是从1到
2，再到4，再到8的指数增长
我可以把一个很长的职棒赛写作一棵
有限的树，每个点概率都是0.6和0.4
现在我怎么解这个呢？
这里我知道扬基队赢了全部三场
这里赢了两场，这里一场
这里一场没赢
这些就是结果
不用一条条沿着这些
呈指数增长的路径，来计算每条路径
相应的概率，这很难计算
这是0.6*0.6*0.4，复杂的计算
我要用更简单的方法
我会说，如果扬基队已经赢了
两场比赛会怎么样？
我知道他们会获胜
所以这是1
系列赛已经结束了
如果道奇队赢了头两场比赛会怎么样？
我知道一切结束了
——我怎么得到这个的呢？
是0.6*1+0.4*1
就是1，道奇队是0.6*0+0.4*0，就是0
这是道奇队赢下两场比赛后我的观点
这是扬基队赢下两场比赛后我的观点
如果是一胜一负后我的观点是什么呢？
如果一胜一负，在这里我的观点是什么呢？
在第二场比赛后他们各赢一场
我不知道谁赢了第一场，但两场后是1:1
现在我会怎么想？
学生：0.6*1+0.4*0
教授：对，就是0.6
就是0.6*1+0.4*0
我认为的概率
还剩一场比赛，扬基队赢得职棒赛的概率
已知他们赢的可能是60%，所以是0.6
如果扬基队赢了第一场，我的观点会如何？
我的观点是什么？
学生：0.6*1+0.4*0.6
教授：这是0.6*1
得0.6，加上0.4*0.6，得0.24
所以这里是0.84。如果扬基队输了第一场
道奇队赢了，我的观点是什么？
我认为会发生什么？
这里我的观点是什么？
这是0.6*0.6，得0.36
0.4*0，因为连输两场比赛结束了
所以等于0.36
所以我已经求出了——不仅我求解的速度
比那种方法更快了，而且在过程中
还得到了一些有趣的数字
我知道了扬基队赢下第一场后我的观点了
我知道概率是0.84了
道奇队赢下第一场后我的观点是什么？
我会认为扬基队获胜的概率只有36%了
那么我最开始时的观点是什么？
结果是0.6*0.84（我有这种观点的概率）
加上0.4*0.36（我有那种观点的概率）
可能是0.504+0.144，是多少？
学生：0.648
教授：0.648，0.6*0.84得0.504
0.4*0.36得0.144，结果就是0.648
就是你说的
结果就是这个，我已经解出来了
这就是迭代期望方法，我们等下会
把这个变成一个有趣的理论
现在我用计算机来实现这个方法
让你们看看这有多明显，我是说，有多快
所以你可以解任何数量的——
无论多长的系列赛你都能立刻解出
我们还会用这种方法来为债券定价
我要做什么呢？这是个电子表格
我简单假设扬基队赢的概率是0.6
这是可以改变的
这是最简单的事
现在假设——我们说扬基队赢下
每场比赛的概率是0.6
我做了什么呢？
我在下面这里
给自己留了一些空间
我没有做太长的系列赛
每个单元格表示什么？
每个节点，比如这个
我读一下，它说的是——这是我
对于（扬基队）赢得职棒赛的观点
我在这里的观点是赢的概率
就是A2单元格的概率
是0.6，赢的概率乘以赢了以后
我的观点，加上输的概率
输的概率是1减那个数字0.6
已经固定在那里了的
乘以输了以后我的观点
和之前是一样的——但我只用写一次
只在这里写了一次，概率的公式
我在这里的观点是赢的概率
那是$A，$A$2，即0.6
是固定了的，乘以赢了以后我的观点
即右上单元格的值，加上1-$A$2
乘以右下单元格中我的观点
这个格子我想要多少就向下复制多少次
形成一列，然后再复制到所有行
所以每个单元格的公式都是一样的
都是第一个的复制品
所以这就是从未来的观点向前迭代
现在，怎么算3场比赛的职棒赛呢？
从这里开始
这是比赛1、2、3
我要做的就是把这上面所有单元格都写上1
输入1，向下复制，按ctrl下拉一直到这里
这就行了，我们得到了所有数字
为什么可以这样？
因为这里我的观点——记得我们得到的数字吗？
系列赛包括比赛1、2、3
如果在中线以上，就意味着扬基队
赢得过半比赛
你的回报是1
扬基队获胜的概率是1
你的观点会是什么呢？
如果已经赢得两场比赛，扬基队必然获胜
如果扬基队赢了第一场比赛呢？
记不记得我们得到的数字是1、0.6和0
所以这里是0.84
是1和0.6的加权平均
这里是0.36，是0.6和0的加权平均
然后我们得到中间的，0.648
那么如果我想进行7场的职棒赛呢？
我得先把这个改掉，如果是7场的职棒赛
我要——现在我要恢复以前的公式
把这些复制下来，粘贴到这里
回到开始的情况了
明白我在干什么吗？
比赛还没开始
这是第一场比赛、第二场比赛
第三场、第四场、第五场、第六场、第七场
每个单元格都表明我的观点是
这场比赛之后我观点的加权平均
如果我想进行7场比赛，只要把1写到这里
一定有更快的方法，但我不会
把这些1写到这里
向下复制，这就是所有的1，直到中线以上
现在我已从后向前解出了我的观点
得出扬基队赢得7场职棒赛的概率是71%
所以职棒赛越长，扬基队获胜的概率越高
如果他们在每场比赛中赢的概率较高的话
你马上就可以算出来
有什么问题吗？
这就是我们在债券定价中会不断使用的技巧
按迭代期望法则，逆向归纳
你关于很远将来会发生什么的观点
一定等于你在获得一定信息后
所持观点的加权平均
当然这都是在你知道最后结果之前
明白了这个道理，你就用这些信息
从后向前逐一推导
马上就能解出来，而用原始算法一条路径
一条路径地算，所花时间是呈指数增长的
现在，我要转到另一个应用
不是职棒赛了
来看一个更有趣的问题
我希望有足够时间讲完这个故事
更有趣的问题是这样的
假设我们的不确定性是另一种类型的
我们不是不知道职棒赛的结果
而是不知道我们不耐的程度
记住到目前为止我们学到的最重要的观点
我们还没学完不确定性
目前为止我们学到的最重要的观点是不耐
它是利率产生的原因
而利率是算出一切价值的关键
所以欧文·费雪极其注重不耐
既然现在我们在讲不确定性
让你的不耐也具有不确定性是很自然的
所以我想再多谈谈不耐
欧文·费雪的不耐是折现
实际上我想用更现实一点的词语
我们真的相信人们对未来进行折现吗？
一年用δ折现，二年用δ的平方
三年用δ的立方，四年用δ的四次方
人们真的认为每年的δ都比
上一年的更加不重要吗？
我的意思是，对这个的论证是你可能活不过…
还有，贫乏的想象力
想象力，贫乏的想象力
我们之前说过，贫乏的想象力和死亡
是对折现存在的两个论证
我来讲一个与此有些矛盾的故事
假设有人叫你整理房间，他们给了
你一个选择——以我儿子为例
假设我说：“整理你的房间，康斯坦丁”
我说今天做或者明天做，对他来说
有很大不同，今天做还是明天做
有很大不同
他会认为今天做是不可能的
明天的话我可以强迫他同意
显然今天和明天之间有很大的折现
但一年之后和一年零一天之后的区别呢？
你认为我儿子会认为它们之间有不同吗？
显然不会
如果我说：“康斯坦丁，你同意365天后
还是366天后整理？”对他来说基本没区别
也基本不存在权衡
其中一个比另一个价值高不了多少
当然，它们都不重要，但两者的比率
对他来说也毫不重要
这就叫做双曲折现
如果你用人或动物做试验
你让鸟做什么事，做的越多
得到奖励越快，它就会做得很多
以在下一分钟而不是两分钟得到奖励
但它在10分钟还是11分钟内做的
区别就非常小了
所以双曲折现比指数折现折现得少
这对环境来说意义重大
如果你认为人们进行指数折现
他们认为每年要折现95%
如果利率是5%，就相当于折现95%
明年的重要性只相当于今年的95%
后年的只相当于明年的95%
第三年只相当于第二年的95%
100年后，95%的100次方是非常小的数字了
所以今天做一些事，投入大量资源
来清理环境和帮助一百年后的人们
这是没有意义的，因为折现这么多
最后能有多大区别呢？
因为未来是如此的不重要
你不该现在投入资源去做
之后不会产生多少效果的事
所以在所有关于环境的报告中
超过半数是讲折现率应该是多少的
但他们从来没想过最明显的事
即，如果折现率是不确定的话会发生什么
所有这些都是确定的折现率
如果你让折现率不确定，会发生什么？
假设今天你用100%折现
可能下一期你会用200%折现
这些是利率
这里可能下降到50%
它可能会上升到400%或者再次下降到100%
或者会下降到25%
我想的就是这样的折现
δ=1/(1+r)，这是r、r0、r上、r下
可能折现率不确定，像这个图示这样
是几何随机游走
不断乘以或除以2
乘以或除以2，乘以或除以2
这看起来似乎折现很多
这些数字上升得很快
r越高，你就越不关心未来
所以问题是，如果你要未来某刻的一美元
人们愿意为之付出多少？
你今天知道未来只有现在的一半重要 （δ=1/(1+100%)=1/2）
我们假设这些概率都是50%
明天你可能认为未来只有2/3 （δ=1/(1+50%)=2/3）
明年只有今年2/3的重要性了
或者你认为未来只有今年1/3的重要性 （δ=1/(1+200%)=1/3）
明白这幅图的道理了吗？
两年之后你可能认为未来只有1/5的重要性 （δ=1/(1+400%)=1/5）
第三年只有第二年1/5的重要性
这里你可能认为第三年只有第二年一半重要 （δ=1/(1+100%)=1/2）
这里你可能认为它有第二年4/5的重要性 （δ=1/(1+25%)=4/5）
你不知道折现率会是多少
这个过程会有一个向高折现率的偏向
高折现率意味着未来不重要
这是金融中最著名的利率过程模型
叫做Ho-Lee利率模型
你认为现在的利率可能是4%
明年可能增加10%，或者减少10%
会不断如此上下波动
这就是利率的不确定性
如果我们认为利率如此重要
耐性如此重要，如果我们想加入不确定性
首先就要在利率中加入
金融中的Ho-Lee模型就是这样
没人想算三十年以后的
算什么？
假设你在第一年确定得到1美元
你愿意为第一年的1美元付出多少？
你的折现率是100%
你付出0.5美元
你愿意为第二年的1美元付出多少？
你知道现在的1美元 比一年后的1美元值钱多少
但你不知道两年后的
所以你必须逆向归纳
这里1美元确定值1美元
这里我愿意为它付出多少？
1/3美元（δ=1/(1+200%)=1/3）
这里我愿意为它付出多少？
折现率是2/3（δ=1/(1+50%)=2/3）
所以我会付2/3美元
回到这里我愿意为它付出多少？
我会付(1/2)*(1/3)+(1/2)*(2/3)美元 再用100%折现
是1/3+1/6，得1/2，乘以1/2，等于1/4
所以我会付1/4美元
所以任何时候我都可以算出D(t) 即我要付出的钱数
我一分钟内讲完
我现在会为时间t确定的1美元付出的钱数
这个数字，显然，会随着时间的增加而减少
我们知道怎样通过逆向归纳来计算
就是把1放得越来越往后
然后向前逆向归纳
就像职棒赛的例子，不管T有多大
我都可以做到，在计算机上
用我给你们的电子表格，马上就可以算出来
没人会去计算大于30的T
因为不会有超过30年的债券
所以计算大于30的T有什么意义呢？
而100年——基本没有金融工具
会持续100年，因为没人会这么做
假设你要计算1000年以内的每个T
在电脑上也可以很容易地计算
你甚至可以证明一个关于它形态的定理
在作业中我会让你们做几个
你会发现人们是有双曲性的
开始时折现非常大
最前面几个时期接近100%的折现率
但那之后，你会…总之，你在电脑上计算时
会看到结果是什么的
我们下节课会从随机利率开始
经济学中最重要的变量