안녕하세요? 오늘도 이렇게 재미난 수학 시간에 여러분과 만나게 된 것을 참 환영합니다. 선생님이 계속 확률 배우고 있는데요. 한번 여러분과 만나게 될 확률을 생각을 해 봤어요.
태양계 안에 지구라는 곳에서 생명체가 태어날 확률에다가 거기에다가 전 세계 여러 국가들 중에서 이 한국이라는 나라에 태어날 확률에다가.
또 지금 이렇게 EBS 방송을 통해서 여러분과 만나게 될 확률을 잘 계산은 안 되지만 무지하게 작을 것 같아요. 결국에 우리의 만남은요. 우연히 아니라 인연이라는 생각이 듭니다.
여러분, 선생님 많이 도와줄게요. 2학기에도 선생님 믿고 잘 따라와 주셨으면 좋겠어요. 작심3일도 10번만 하면 한 달이라는 말이 있습니다. 예전에 선생님 반 급훈이었어요.
오늘 작심3일 하고 3일 지나고 나서 다시 한 번 결심하는 겁니다. 이렇게 해서 공부해 나가기 시작하면요. 어느 샌가 이만큼 실력이 높아있는 여러분을 발견할 수 있을 거예요.
오늘도 확률의 계산 유형편입니다. 물론 풀어오셨겠죠? 오늘 배울 내용은요. 확률 계산 수준별 문제를 풀어보겠습니다. 레벨 1, 2는요. 아주 기본 문제로 구성이 되어 있어요.
하지만 이 문제들을 완전하게 탄탄하게 다지고 나서 레벨3랑 실생활 활용문제를 들어갈 텐데요. 도전하는 것도 습관입니다. 레벨3 실생활 활용 문제도요.
어렵다고 자꾸 기피하지 마시고요. 도전해 보세요. 잠시 후에 우리 같이 문제 풀도록 할게요.
여러분 준비 됐나요? 1번부터 풀도록 하겠습니다. 레벨1의 1번 문제입니다. 문제의 포인트 집어보겠습니다. 문제를 한번 보면 어떤 사건 A가 일어날 확률을 p라고 합니다. 그런데요.
일어나지 않을 확률이요. q라고 한데요. p와 q는 어떤 사이? 여사건의 사이입니다. 일어난다의 여사건은 일어나지 않는다죠. 여사건의 확률 간에 어떤 관계가 있었죠? 일어날 확률 p는요.
1-일어나지 않을 확률 q. 이런 관계에 있습니다. 마찬가지로요. q 역시 1-p라는 관계에 있어요. 이 둘을요. q랑 p를 다 좌변으로 넘기고 나면 p+q는 1이다.
이러한 관계식을 얻습니다. 셋 중에 뭐 나와 있는지 한번 골라 볼게요. 보면 2번이 비슷한 데 이거 잘못됐네. 바로 정답 2번이 나왔습니다. 나머지도 한번 살펴볼게요.
확률의 범위랑 여사건의 관계 사이의 관계식을 알고 있는가의 문제입니다. 1번 보면 확률은 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같다. 3번, 맞는 얘기고요.
3번 확률이 0면, 즉 일어날 확률이 0라는 것은 사건 A가 일어나지 않는다, 맞죠. 이번에는요. 4번 조금 헷갈릴 수 있습니다. q는요. 일어나지 않을 확률이에요.
일어나지 않을 확률이 0라는 것은 일어난다는 얘기죠. 따라서 사건 A는 반드시 일어난다, 맞는 얘기입니다. q는 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같다, 맞습니다. 모든 확률은요.
0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같습니다. 정답 2번 체크하시면 되겠습니다. 어쨌건 일어날 확률과 일어나지 않을 확률. 여사건에 관한 문제인데요. 다시 한 번 정리할게요.
여사건의 확률에서 이 ‘여’자는요. 남을 ‘여’자입니다. 뭐 생각하시면 되냐 하면 여집합 생각하라고 했어요. A의 여집합은 전체 집합 U에서 A라는 그 집합을 뺀 나머지에요. 그렇죠?
마찬가지로 확률로 넘어올게요. 확률로 넘어오기 전에 여사건이라고 하면, 그러면 전체 사건에서 그 A라는 사건을 뺀 나머지를 A의 여사건이라고 합니다.
그렇다면 확률로 넘어오면 여사건의 확률. 즉 A의 여사건의 확률은요. 전체 확률은 1이죠. 전체 사건이 일어날 확률. 그 1에서 A가 일어날 확률을 빼주면 되겠죠.
그래서 A 여사건의 확률은 1-A가 일어날 확률. A라는 사건이 일어날 확률이다. 1-P(A)라고 정리하시면 되겠습니다. 여사건의 확률 중요하다고 선생님이 여러 번 강조했어요.
선생님도 학교에 있는데 학교의 선생님들이 꼭 낸다고 보시면 됩니다. 어디에? 내신, 중간고사에 꼭 낸다고 별표 3개 선생님이 붙일게요. 꼭 냅니다. 이번에는 3번 보겠습니다. 3번은요.
우리 유형편 할 때 많이 연습했는데 연결어를 파악해라. 지금 2개의 사건이요. 어떤 연결어로 되어 있죠? 그렇지, ‘또는’부터 동그라미 치고 들어가는 겁니다.
‘또는’이 보이면 바로 동그라미 치세요. 문제 읽겠습니다. 주머니 속에 빨간 공 5개, 파란 공 3개, 노란 공 2개가 들어있다.
이 주머니에서 공 1개를 꺼낼 때 그 공이 빨간 공 또는 파란 공일 확률. ‘또는’ 보시면 어떻게 한다고 했죠? 확률의 그렇지, 합이다. 그러면 나는 빨간 공이 나올 확률.
빨간 공은요. 전체 5+3+2. 10개의 공이 들어 있죠. 그 중에 빨간 공 5개니까 뽑을 확률은 10분의 5에요. 이번에는 파란 공의 확률은 10개 중에 파란 공 3개입니다. 확률 10분의 3.
두 개의 확률을 더하면 빨간 공이 나오거나 또는 파란 공이 나올 확률이 됩니다. 따라서 얼마? 10분의 8. 약분하여 5분의 4. 정답 4번이라고 체크해 주시면 되겠네요. 연결어 파악하세요.
이 문제의 핵심은 연결어입니다. 정리하고 지나가겠습니다. 확률의 합이다 그러면 두 사건. 사건 A와 사건 B 사이에 등장하는 연결어는요. ‘또는, 거나’에요.
개념은 두 사건이 동시에 일어나지 않습니다. 이럴 때 A가 일어날 확률 P(A)와 B가 일어날 확률 P(B)를 더하면 됩니다. ‘또는, 거나’ 연결어 놓치지 말고 지나가도록 하세요.
그 다음에는 확률의 곱에 관한 문제 한번 보겠습니다. 나머지 2번, 3번 다 똑같이 2번, 3번, 4번 ‘또는’이에요. 여러분한테 맡기고요. 그 다음 문제 우리 7번 보겠습니다.
7번 보시면 이번에는 연결어 한번 여러분이 찾아보세요. 먼저 이 문제에서 연결어 뭐 보이죠? ‘모두’입니다. 처음부터 한번 볼게요.
A주머니에는 흰 공이 2개 있고 검은 공 3개가 들어있고, B주머니에는 흰 공 3개, 검은 공 4개가 들어 있다. A, B 주머니에서 각각 공을 1개씩 꺼낼 때 다음을 구하여라.
1번 두 주머니에서 모두 흰 공이 나온다고 해요, 모두. 그러면 ‘모두’라고 하면 뭐? 그렇지, ×죠. 일단 셈은 ×구나.
그러면 A주머니에서도 흰 공, B주머니에서도 흰 공이 나올 확률을 곱해주면 되는 거죠. 전체 일단 A주머니의 공의 수는 5개. 그 중에 흰 공 2개입니다.
따라서 흰 공을 뽑을 확률 5분의 2. B주머니에서도 흰 공이 나와야 해요. B주머니는요. 공이 7개에요. 그 중에서도 흰 공 3개입니다. 따라서 확률은 7분의 3이에요.
둘 다 모두 흰 공이 나와야 되니까 곱으로 계산을 하시면 7×5=35분에 2×3=6. 35분의 6으로 구하실 수 있습니다. 2번도 볼게요. 2번 문제에서는요.
문제를 보시면 알겠지만 연결어 없습니다. 이럴 때는 개념상으로 보는 거예요. ‘둘 다, 모두, 동시에’ 개념인지 아니면 ‘거나’의 개념인지 여러분이 판단을 하셔야 되는 거예요.
선생님이 같이 해 볼게요. A주머니에서는 흰 공, B주머니에서는 검은 공이 나올 확률을 구하여라. 일단 각각 확률을 먼저 구해 볼게요. A에서는 흰 공이 나온다.
그 확률은 5개 중에 흰 공 2개, 5분의 2이다. B주머니에서는 검은 공 7분의, 검은 공 4개 7분의 4이다. 그러면 A주머니에서는 흰 공이 나오고
그리고 B주머니에서 검은 공이 나온다는 얘기인지 아니면 ‘거나’. 흰 공이 나오거나 검은 공이 나오거나. 뭘까요? ‘그리고’죠. 따라서 곱으로 계산하시면 되는 거예요.
정답 35분의 8이라고 구해 주시면 되겠네요. 이런 식으로 확률의 곱 다시 한 번 정리하고 지나갈게요. 곱의 연결어는 뭐다?
사건 A와 B 사이에 ‘그리고, 모두, 연달아, 반복하여, 동시에’ 이런 개념이 들어가 있으면 두 확률을 어떻게 한다? 곱합니다. 연결어가 나와 있지 않더라도요.
개념으로 살피시는 거예요. 그러면 확률 합, 곱까지 됐고요. 우리 그 다음 13번 보겠습니다. 13번, 이번에는 이 문제의 포인트는 뭐라고 생각하세요?
문제에서 중요한 단어가 하나 등장을 합니다. 뭐? 그렇지, ‘적어도 1개는’. 적어도 나오면 여러분 뭐죠? 여사건으로 풉니다. 문제부터 먼저 읽고 여사건 한번 해 볼게요.
10개의 제품 가운데 4개의 불량품이 들어 있다. 차례로 2개의 제품을 꺼낼 때 적어도 1개는 불량품을 꺼낼 확률입니다. 단, 1번 꺼낸 제품은 다시 넣지 않습니다.
일단은 ‘적어도’라는 말이 등장을 했으니까 우리 여사건의 확률로 풉니다. 다시 정리할게요. 여사건의 확률 중에 적어도 A라는 말이 들어 있으면 어떻게 푼다?
적어도 사건 A가 일어날 확률은 1- 모두 사건 A가 아닐 확률 이렇게 풉니다. 이런 방법대로 한번 적용해서 풀어볼게요. 일단은 다시 넣지 않는 것도 여러분은 주목해서 봐 두세요.
적어도 1개가 불량품이어야 한다는 그 확률은요. 그러면 1- 저거 봅시다. 모두 불량품이 아닌 겁니다. 모두 불량품이 아니다. 즉 합격품이라는 얘기죠. 모두 합격품을 꺼낸다.
그 확률을 1에서 빼주면 되는 겁니다. 몇 개를 뽑냐면요. 2개를 뽑는데요. 그리고 꺼낸 것을 다시 넣지 않습니다. 그것만 주목하시면 돼요, 그 다음에는.
그럼 1- 10개의 제품 중에 4개가 불합격품이에요, 불량품. 합격품은 6개겠죠. 따라서 확률 10분의 6이에요. 그런데 다시 넣지 않습니다.
그러니까 전체 개수는 하나 꺼냈으니까 9개로 줄어들고요. 합격품 역시 하나 줄어들어서 그렇지, 9분의 5가 되는 거죠. 둘 다 모두 합격품일 확률을 구하여 1에서 빼서 계산을 합니다.
그러면 1-2×3=6, 2×5=10. 5 나누고 다시 3 나누고 나면 1-3분의 1. 즉 3분의 2라고 구할 수 있겠어요. 정답 5번 체크하시면 됩니다.
이렇게 여사건을 잘 활용하셔서 적어도 문제를 꼭 해결하시기 바랄 게요. 나머지 14번, 16번은요. 보시면 ‘또는’이 보입니다. ‘또는’ 연결어 동그라미 치세요, 지금.
그러고 나서 ‘또는’ 옆에 셈. 덧셈일까요, 곱셈일까요? 그렇지, 덧셈 체크 하세요. 그리고 15번은요. 모두 같은 공의 공이라는 말이 나와 있습니다. 같은 색의 공.
같은 색이면 둘 다 흰 공이거나 둘 다 검은 공입니다. 여러분, 이 ‘거나’ 부분은 +, ‘둘 다, 모두’는 ×. 이거 여러분한테 14, 16, 15번 여러분에게 숙제로 남길게요.
여러분 꼭 풀어보세요. 우리 18번 보겠습니다. 18번은요. 부등식 문제인데 이런 건 다른 방법이 없습니다. 하나하나씩 대입해 보는 게 가장 빠른 방법이에요. 문제 먼저 보겠습니다.
1개의 주사위를 2번 던져서 첫 번째 나온 눈의 수를 x, 두 번째 나온 눈의 수를 y라고 할 때 y분의 x가 2보다 작게 될 확률을 구하시오. 그러면 일단 주사위의 눈입니다.
가질 수 있는 x의 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6. y 역시 1, 2, 3, 4, 5, 6이죠. 하나씩 대입해 볼게요. 뭐부터? x부터. x가 1일 때요. y분의 1이 2보다 작게 되는 그런 y 한번 찾아보자고요.
그렇게 되는 y 한번 찾아보면 1, 2, 3, 4, 5, 6. 모두 2보다 작게 되죠. x가 2일 때도 찾아보겠습니다. x가 2일 때는요. y분에 2가 되고요. 그 값이 2보다 작게 되는 y 찾아볼게요.
이번에는 1은 안 되죠. 2가 나오니까. 2는 2보다 작지 않습니다. 따라서 2부터 반응하네요. 2, 3, 4, 5, 6 이렇게 찾으면 되고요. 이번에 x가 3일 때도 보겠습니다. y분에 3이고요.
그것이 2보다 작게 되는 y를 찾아볼게요. 이것도 역시 1 안 되죠, 3이니까. 2부터 가능하네요. 2, 3, 4, 5, 6을 대입했을 때 모두 2보다 작습니다. x가 4일 때도 보겠습니다.
y분에 4가 2보다 작게 되는 그런 y 찾자. 1, 2 안 되고요. 이번에는 그렇지, 3부터 가능하네요. 3, 4, 5, 6. 이제 얼마 안 남았습니다. x가 5일 때, 6일 때까지만 확인하면 됩니다.
x가 5일 때는요. y분에 5가 2보다 작게 되는 그 경우를 찾읍시다. 이번에도 1, 2 안 되는 거 보이시죠? 3부터 가능합니다. 3, 4, 5, 6. x가 6일 때는 y분에 6이 2보다 작아야 합니다.
그런 y는요. 이번에는 1, 2, 3까지 안 되고요. 4부터 가능하네요. 4, 5, 6 되겠습니다. 그러면 각각을 경우의 수를 따지면요.
x가 1일 때 6가지, x가 2일 때 y 5가지, x가 3일 때 y 5가지, x가 4일 때 4가지, x가 5일 때 4가지, x가 6일 때 3가지 해서 총 몇 가지가 나오냐. 10, 27. 총 27가지의 경우의 수가 나옵니다.
그런데 지금 주사위 2번 던졌죠. 전체 경우의 수는요. 36이에요. 그래서 총 경우의 수 36분에 이것을 만족하는, 이 부등식을 만족하는 경우의 수 27 해서 확률은 9×4=36. 9×3=27.
약분하여 4분의 3이라고 구해 주시면 돼요. 정답은 1번 체크하시면 되겠습니다, 1번. 조금 길었는데요. 하나하나씩 체크해 보는 게 가장 빠른 길입니다.
방정식, 부등식 문제 여러분 체크 한번 해 보세요. 이번에는 우리 20번 보겠습니다. 20번 문제를 먼저 읽어보면요. 각 면에 -1, 0, 1, 1 이렇게 적혀 있는 정사면체가 있습니다.
이 정사면체를 2번 던질 때 바닥에 다 보이지 않는 면에 적힌 숫자의 합이 0이 될 확률은. 일단은 2번 던진다 말고는 선생님 연결어 같은 거 보이지 않아요.
그렇죠, 이런 경우가 좀 어려운 문제에 해당됩니다. 연결어 보이지 않으면요. 우리가 그 경우를 어떻게 해봐라? 우리말로 각각의 경우를 이야기해 보는 거예요.
그럴 때 ‘또는, 거나’의 개념이 들어있는지, 아니면 ‘그리고, 모두’의 개념이 들어 있는지 파악을 하셔야 해요. 한번 해 볼게요. 일단 2번 던져서 그 합이 0가 나와야 돼요.
그러면 첫 번째 우리 -1이 나왔다고 하면 두 번째는 반드시 1이 나와야 돼요. 이렇거나 아니면 첫 번째 1이 나오고요. 두 번째 -1이 나오거나.
또는 첫 번째, 두 번째 둘 다 0이 나오는 이 3가지 경우가 바로 두 수의 합이 0가 되는 경우가 됩니다. 이거 말고 또 있나요? 없죠. 그리고 각각의 경우는 ‘또는, 거나’에요.
따라서 +해 주시면 되고요. 그 경우 안에서 첫 번째, 두 번째는 ‘반드시, 그리고, 연달아’의 개념이니까 ×로 계산하면 돼요. 전체 줄거리 확인하셨죠? 이제 적용해서 문제 풀겠습니다.
보세요. 첫 번째 -1, 두 번째 1이 나올 확률 구해 보겠습니다. 확률은요. 총 4개의 면 중에 -1 하나 있으니까 4분의 1이에요. 그 다음에 두 번째 1이 나올 확률은요. 4분의 2입니다.
1 2개 있으니까요. 이들 사이에는 곱이에요. 첫 번째 -1이 나왔으면 반드시 두 번째에 1이 나와야 하니까. 또는 이번에는 1-1이죠. 계산해 보면 마찬가지로 4분의 2×4분의 1입니다.
또는 0, 0이 나올 확률이죠. 0, 0 4분의 1×4분의 1. 이렇게 계산해 주시면 돼요. 분모 다 16이죠. 16분에 2+2+1이니까 16분의 5. 정답 5번 체크하실 수 있겠네요.
‘또는, 거나’ 우리말로 자꾸 표현해 보는 연습을 해 보세요. 다음은 우리 26번 볼게요. 26번 역시 여러분이 말로 표현해 봐야 되는 겁니다. 한번 문제부터 보겠습니다.
1에서 5까지 숫자가 각각 적힌 5장의 카드 중에서 차례로 2장을 뽑아서 두 자리의 정수를 만들려고 합니다.
첫 번째 나온 카드의 수를 십의 자리, 두 번째 나온 카드의 수를 일의 자리의 수로 할 때 이 정수가 홀수일 확률을 찾아라. 단, 첫 번째 꺼낸 카드는 다시 넣지 않는다.
일단 홀수가 돼야 하고요. 다시 넣지 않습니다. 이 포인트를 확인하고 그 다음 하겠습니다. 일단 두 자리의 정수를 만든 데요. 그럼 총 경우의 수부터 생각을 해 보는 거예요. 확률은요.
들어가고 들어가고 들어가면 우리 처음 시간에 배웠던 경우의 수를 잘 따져보면 됩니다. 두 자리의 정수를 만들 수 있는 경우의 수. 몇 가지죠? 지금 1부터 5까지 적힌 카드가 있습니다.
십의 자리 왼쪽에 있는 걸, 오른쪽에 있는 걸 일의 자리라고 봤을 때 십의 자리부터 뽑아 봅시다. 총 5개 경우의 수 나오죠. 뽑고 나면 다시 넣지 않는다고 했으니까 4개 남습니다.
연달아 뽑아야 하죠. 총 20가지 경우의 수가 나와요. 이건 전체 경우의 수에요, 전체 경우의 수. 우리는 홀수가 나와야 해요. 이번에는 홀수가 나올 경우의 수는요. 한번 볼게요.
일의 자리가 뭐가 돼야 할까요, 홀수가 나오려면? 그렇지, 1, 3, 5죠. 그러면 일의 자리가 1일 때 그럴 때 십의 자리, 1 미리 뽑아 놓는 거예요.
그럴 때 십은 나머지 2, 3, 4, 5 다 올 수 있죠, 4가지. 마찬가지입니다. 일의 자리 3 뽑아 놓으면요. 그러고 나면 마찬가지로 4가지.
일의 자리 5 뽑아 놓고 나면 십의 자리 올 수 있는 거 4가지 해서 총 12가지가 나와요. 그래서 전체 경우의 수 20분에 홀수가 나오는 경우의 수를 하면 홀수가 나올 확률이 됩니다.
4로 약분이 되죠. 4×5=20, 4×3=12 해서 5분의 3. 정답 5번 체크해 주시면 됩니다. 이렇게 경우의 수 따지는 연습 한번 해 보세요. 우리 그 다음에 28번 볼게요.
28번 역시 연결어는 없습니다. 문제를 잘 보시면 연결어는 없지만 ×인지 +인지 여러분이 판단을 하셔야 되는 문제에요. 이런 경우 굉장히 흥미진진한 경우죠.
농구시합 했어요. 문제 볼게요. 농구경기에서 A, B 두 팀의 현재 점수가 86대 87입니다. 그리고 86점을 얻은 A팀이 자유투 2개를 던지면 경기 끝 이런 상황이에요. 경기가 종료된다.
자유투를 던질 선수의 자유투 성공률이 80%라고 한데요. 그럴 때 A팀이 이길 확률입니다. 단, 자유투 1개는 1점이래요. 그러면 지금 이 상황을 한번 생각을 해 보는 거예요.
A팀이 이기려면 어떤 경우가 나와야 하는 거죠? 자유투 지금 2개 남은 상황이에요. 둘 다, 둘 다 성공해야죠. 하나만 성공하면 비기잖아요.
동점이 되니까 안 되고 이겨야 하니까 둘 다 모두 성공할 확률입니다. 그러면 그 사이에 연결어 뭐 지금 연결하고 있어요? 모두잖아요. 그러면 어떻게 한다? 각각의 확률을? 곱한다.
그러면 자유투 성공할 확률이 80%니까 넣는 확률이 10분의 8입니다. 그렇죠? 두 번째도 넣어야죠, 10분의 8. 이 부분을 곱해 주시면 되겠어요. 한번 계산해 볼게요. 2×4=8, 2×5=10.
약분할 거 약분하고 2×4=8, 2×5=10. 마찬가지로 25분의 4×4=16. 바로 위에 정답 4번 25분의 16 체크하시면 되겠네요. 어렵지 않죠.
문제를 파악하고 이 상황이 어떤 경우가 필요한지 따져보는 연습을 해 보게요. 30번 보겠습니다. 이 문제 역시 합, 곱이 섞여 있고요.
이것도 우리말로 자꾸 표현을 해서 어떤 경우인지 여러분이 파악을 해야 하는 문제입니다. 어느 부분에서 합을 써야 할지, 어느 부분에서 곱을 써야 할지
파악을 다시 한 번 선생님 따라서 해 보세요. 문제부터 읽겠습니다. A, B 두 사람이요. 주사위를 던져서 3의 배수 눈이 먼저 나오는 사람이 이기는 놀이를 하려고 한데요.
A부터 던져서 A, B, A, B 이런 순서로 모두 4회를 던질 때 4회 이내에 A가 이길 확률입니다. 4회 이내에 이겨야 해요. 그러고 A가 이겨야 합니다. 그럼 한번 해 볼게요.
어떤 경우가 필요한지 여러분 생각해 보세요. 3의 배수가 먼저 나오면 돼요, 일단. 주사위를 던져서. 첫 번째 A가 나와 버리면 되죠, 3의 배수가. 그러면 경기 끝입니다.
이렇게 되면 A가 이기는 거죠, 4회 이내에. 이렇거나, 1번. 아니면 A가 못 나왔어요. 그럼 B가 나오면 될까, 안 될까, 3의 배수가? 안 돼요. B가 나와 버리면 B가 이기는 경우잖아요.
우리는 A가 이기는 경우를 찾는 거니까 B 역시 3의 배수가 나오면 안 됩니다. 그러고 나서 A가 나와야 A가 이기는 경우가 되는 거죠. 이거 말고 또 있나요? 없습니다.
4회 이내, A, B, A, B 이 4회 이내에 이길 경우는요. 첫 번째 나오거나 아니면 세 번째 나오거나 이거예요. 그러면 각각의 확률을 구해 볼게요.
첫 번째, 처음 해서 A가 3의 배수가 나올 확률은요. 주사위 6개의 눈 중에 3의 배수 3과 6 2개 있습니다. 따라서 6분의 2에요, 확률은. 이번에 두 번째 거 계산해 볼게요.
A는 안 나와야 되니까 이거 계산하면 3분의 1이죠. 안 나올 확률은 그러면 3분의 2에요. 3의 배수가 안 나오고 B도 안 나오고 그러고 나서 다시 A가 던졌을 때 3의 배수가 나와야 합니다. 그렇죠?
이들 사이에는 연달아 일어나야 하니까 곱으로 계산을 하는 거예요. 그러면 1과 2의 값은 어떻게 어떤 셈을 사용해야 할까요? 확률은 50%에요. 덧셈 아니면 곱셈? 그렇지, 덧셈입니다.
1번의 경우이거나 2번이거나죠. ‘거나’의 개념이니까 각각의 확률을 더해 주시면 돼요. 1 확률 3분의 1이고요. 2번의 확률 계산해 보면 27분의 4라는 걸 쉽게 계산할 수 있어요.
그래서 3분의 1+27분의 4를 계산하시면 분모 27로 통분하면 3×9=27. 27분의 9죠. 9+4 하면 13 해서 27분의 13. 정답 5번 체크해 주시면 되겠습니다. 경우를 한번 꼭 따져 보세요.
우리 31번 하나 더 보겠습니다. 다음 그림은요. 부산 지역의 9월 한 달 동안 평균 기온을 조사하여 만든 것이래요. 그런데 일부가 찢어져서 보이지 않는다.
9월 중에 하루를 임의로 선택할 때 이날의 평균 기온이 18℃ 이상일 확률을 구하여라. 18℃ 이상일 확률입니다. 그런데 선생님, 여기 찢어져서 안 보이는데 선생님 어떻게 구해요?
18℃ 이상이면 어쨌건 이 셀에 있는 이 날짜들을 더해야 되겠죠. 그런데요. 우리 9월이라는 걸 알고 있습니다. 9월은요. 총 며칠이죠? 30일이에요. 30일 중에 이틀만 빼 놓고는요.
가만히 보면 다 18℃ 이상이에요. 그렇죠? 총 28일이 그렇다는 얘기입니다. 그러면 18℃ 이상일 확률은 어떻게 할까요? 그렇지, 30분의 28. 이거 써 주시면 돼요.
약분해서 15분에 14가 되겠네요. 정답 15분의 14라고 써 주시면 되겠습니다. 의외로 어렵지 않게 문제를 풀 수 있죠. 여기까지가 레벨 1, 2입니다. 우리 남아 있는 거 뭐 필요하다? 도전 정신.
우리 도전 정신 가지고 어려운 문제들 남아 있는 것 좀 풀어볼게요. 문제를 쭉 한번 훑어본 사람은 느낄 텐데 보면 우리가 그동안 파악했던 연결어들이 뚜렷하게 드러나 있지 않아요.
그러니까 좀 어려운 문제라는 생각이 들어요. ‘또는’이라든가 ‘적어도’라든가 ‘모두, 그리고’ 이런 말이 딱히 나와 있지 않습니다.
즉 이전에 다뤘던, 레벨2에서 다뤘던 연결어들이 나타나지 않았을 때. 즉 경우의 수를 구하는 그런 연습을 충분히 하셨으면 좋겠어요. 우리 33번부터 한번 볼게요.
33번 문제를 먼저 읽어보겠습니다. 차근차근 한번 보세요. 문제가 좀 길긴 한데 차근차근 읽겠습니다. 오른쪽 그림과 같이 정삼각형 A, B, C의 꼭짓점 A에 바둑돌이 놓여 있다.
주사위를 던져 나온 눈의 수만큼 삼각형의 변을 따라 오른쪽 그림과 같이 화살표 방향으로 바둑돌이 이동한다고 하자.
예를 들어 주사위를 던져서 4가 나오면 A에서 시작해서 B, C, A, B 이렇게 이동하여 B의 위치에 놓이게 된다. 주사위를 2번 던질 때 첫 번째는 이 바둑돌이 점 A에
두 번째는 이 바둑돌이 점 B에 놓일 확률을 찾아라 라고 했습니다. 어떻게 이동하는지 알겠죠? 우리 이거랑 비슷한 유형을 유형편에서도 한번 봤고요. 개념편에서도 한번 봤습니다.
A에서 시작해서 이렇게 반시계 방향으로 이동을 하는 건데요. 나온 눈의 수만큼 이동을 하는 거예요. 아까 얘기했죠. 여기에 있었는데 4 나오면 1, 2, 3, 4 이렇게 B에 놓으면 됩니다.
그러면 첫 번째는 A에 놓이게 될 확률을 먼저 찾아볼게요. A에 놓이게 될 확률. 그걸 P(A)라고 적어 볼게요. 지금 몇 번 던지냐면 2번 던지는데 첫 번째 A에 나와야 합니다.
그러면 일단 A에 오려면 1, 2, 3. 눈이 3 나왔을 때, 주사위 눈이. A에 올 수 있겠네요. 그 다음에 1, 2, 3 말고 4, 5, 6. 6의 눈이 나왔을 때도 A에 놓을 수 있습니다. 7, 8, 9.
9라는 눈은 없죠. 그러니까 눈이 3이 나오거나 6이 나오는 확률을 ‘거나’죠. 더해주면 되는 거죠. 따라서 P는 3의 눈이 나올 확률, 6분의 1이에요. 3의 눈이 나올 확률.
그리고 6의 눈이 나올 확률. 마찬가지로 6분의 1입니다. 더하면 6분의 2, 즉 3분의 1이라는 확률을 얻을 수 있어요. 이번에는 두 번째 던진 돌은요. B에 와야 한데요.
B에 놓일 확률을 P(B)라고 한번 적어 볼게요. 이번에는 마찬가지로 B에 놓일 확률 한번 찾아볼게요. 나올 수 있는 경우의 수를. 1 나왔을 때, 그랬을 때 B에 올 수 있죠.
1, 2, 3, 4. 4라는 눈이 나왔을 때 B에 올 수 있습니다. 그 다음에 5, 6, 7. 7이라는 눈은 없잖아요. 그러면 이것도 마찬가지로 1이 나오거나 아니면 4가 나오면 B라는 자리에 올 수 있어요.
1의 눈이 나올 확률은 6분의 1, 4의 눈이 나올 확률도 6분의 1입니다. 마찬가지로 확률 3분의 1 되겠네요. 그러면 첫 번째는 점 A에 오고 그리고, ‘그리고’죠.
두 번째 연달아서, 두 번째는 점 B에 놓인다. 이 둘 사이는요. ‘그리고’입니다. ‘거나’가 아니라. 첫 번째는 A에 오거나, 두 번째는 B에 오거나가 아니고요.
첫 번째는 A에 오고, 그리고 두 번째는 B에 오고. ‘고’의 개념이죠. 따라서 셈은 뭐다? 3분의 1과 3분의 1을 그렇지, 곱해줘야 한다. 정답 9분의 1 찾으시면 되겠습니다. 1번에 있네요.
정답 1번으로 체크하세요. 문제가 좀 길었지만요. 그다지 어려운 셈은 없습니다. 차근차근 문제 푸시면 돼요. 34번 보겠습니다. 34번도요. 여러분, 문제를 잘 파악을 하셔야 돼요.
이거 역시 연결어 드러나 있지 않은데요. 계산은 그렇게 어렵지 않습니다. 문제부터 한번 볼게요. A, B, C 3개의 방에는 오른쪽 그림과 같이 이동할 수 있는 문이 있다.
각 방에서 로봇이 어느 문이든 통과할 확률은 2분의 1로 모두 같다. 로봇이 A방을 출발해서 문을 3번 통과한 후 다시 A방에 있을 확률이 a고요.
A방을 출발해서 B방에, 똑같이 문을 3번 통과한 후 B방에 있을 확률을 b라고 놨습니다. 그랬을 때 a+b의 값을 구하여라. 이게 문제고요. ‘단’ 뒤에도 항상 조심해야죠.
같은 문을 여러 번 통과할 수 있데요. 그러면 a의 값, 즉 A에서 출발해서 다시 3번 통과해서 A에 올 이런 경우를 따져봐야 돼요. 특별한 방법이 없으면 무조건 경우를 따지는 겁니다.
문은 몇 번 통과? 3번입니다. 이걸 문이라고 합시다. 문은 3번 통과해야 돼요. 이렇게 통과해서 맨 마지막 종착역은 A에요. 그렇죠? 이렇게 될 확률을 a라고 했습니다. 그러면요.
문을 통과해야 되니까 가만히 보시면 여기랑 여기는 A가 놓일 수가 없습니다. A에서 A. 그럼 문 통과하지 않잖아요. 따라서 여기 놓일 수 있는 값은 B랑 C라는 걸 알 수 있어요.
그럼 B, C 배열하는 거. B, C 아니면 C, B 이렇게 됩니다. 그럼 문을 3번 통과해서 다시 A까지 올 경우의 수가 돼요. 그런데 각각의 확률은요. 문을 통과할 확률은 2분의 1이라고 했어요.
그러니까 여기서 확률 A에서 B까지 갈 확률 2분의 1. 다시 B에서 C까지 문 1번 통과하면 그 확률 2분의 1. 연달아서 가야죠, C에서 A까지. 따라서 그 확률은 8분의 1입니다. 됐나요?
그러면 A에서 C를 통과해서 다시 B, 다시 A까지 올 확률 역시 마찬가지로 8분의 1이 되겠죠. 각각의 문을 통과할 확률이 2분의 1이라고 했으니까. 문 3번 통과하면 되니까 확률 8분의 1입니다.
이거 말고는 없습니다. A에서 A로 이렇게 이렇게 통과하면 되잖아요, 아니죠. 나가니까 C가 되니까 여기 절대로 A가 올 수 없다는 그거, 이해하시겠죠? B, C 중에서 고르면 되는 겁니다.
이해가 되셨으면 A의 확률은요. 8분의 1과 8분의 1을 더해야 할까요, 곱해야 할까요? 이번에는 더하는 거죠. 이렇거나 또는 이러니까 더해서 총 확률은 8분의 2.
약분하여 4분의 1이구나 알 수 있어요. 이제는 B 해 볼게요. b의 값을 한번 구해 봅시다. 이번에는요. A에서 출발을 합니다. 문은 3번 통과를 해요, 마찬가지로.
문, 또 한 번 문, 통과해서 종착역이 이번에는 B입니다. 그러면 이번에 또 확인할 수 있겠죠. 여기에 B나 여기에 A는 올 수 없습니다. A에서 문을 통과해서 A다?
이런 경우는 없죠. 그러니까 여기는 A랑 B는 올 수 없어요. 그러면 올 수 있는 것은 B 제외한 여기는 A나 C가 올 수 있겠죠. 그렇죠?
그러면 여기는 A 제외한 C나 B 같은 게 올 수 있습니다. 그렇죠. 그러면 여기에 또 올 수 있는 거. A일 때 B, 이런 것도 있을 수 있겠네요. 이 3가지 말고는 없습니다.
잘 생각을 해 보시면. 뭐다? 여기에는 B 올 수 없고, 여기는 A 올 수 없어요. 그럼 바꿔서 B, A 이렇게 오거나 아니면 나머지 C하고 A 가지고 하는 겁니다. C하고 B 이렇게.
그럼 각각의 확률을 마찬가지로 구해 볼게요. 확률 역시 문을 통과할 확률은 2분의 1이니까 똑같이 2분의 1×2분의 1×2분의 1 해서 확률은 8분의 1입니다. 이거 역시 8분의 1이고요.
이 확률 역시 8분의 1입니다. 3가지 경우가 ‘거나’로 연결이 되어 있는 거죠. 따라서 각각의 확률을 이번에 더해 주면 8분의 3이라는 것을 알 수 있어요. 이번에 a+b 마무리 합시다, 이제.
a의 값은 8분의 2였고요. 4분의 1이었죠. B의 값은 8분의 3입니다. 더해서 최종 8분의 5라고 정리해 주시면 되겠네요. 각각의 문을 3번 통과하는 거, 그 경우를 좀 잘 따져보시면 될 것 같아요.
우리 마지막 35번 한번 보겠습니다. 어떤 모임의 회원은 남녀 합하여 16명이다. 이 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 차례로 뽑을 때
그럴 때 회장과 부회장이 모두 여자일 확률이 8분의 3이라고 합니다. 이 모임의 여자는 모두 몇 명인지 구하여라. 일단 뽑는 문제입니다. 우리 뽑는 문제 점검하고 갈게요.
경우의 수에서 제일 잘 나오는 문제가 뽑는 문제에요. 2명을 뽑는데, n명 중에 2명을 뽑는데 직책이 있어. 회장, 부회장 이렇게 직책이 있을 때는 경우의 수가 어떻게 된다 그랬죠?
그렇지, n×n-1. 차례로 2개만 뽑으면 돼요. n까지 뽑았으니까 n-1가지. 됐죠? 이번에는 동일한 직책입니다. n명 중에 2명을 뽑는데요.
동일한 직책, 급식위원 2명, 응원할 사람 2명 이런 식으로. 동일한 직책인 두 사람을 뽑는다고 했을 때는 어떻게?
그렇지, n×n-1을 먼저 한 다음에 이 안에 숨어 있는 순서를 없애는 거예요. 2명 줄 세우는 순서. 줄 세우는 경우의 수. 즉 2×1로 나누어서 구하면 됩니다. 이거 적용해서 문제 풀겠습니다.
지금 직책이 있나요, 없나요? 있어요. 회장 1명, 부회장 1명을 뽑습니다. 일단 전체 경우는요. 16×15에요. 전체 뽑을 수 있는 경우의 수는요.
전체 경우의 수는 대표 2명을 뽑는, 직책이 있으니까. 그런데 그 중에서 여자일 확률이 8분의 3이래요. 둘 다 모두 여자. 여자 몰라요. n명이라고 봅시다. n명 중에서 2명 뽑는다.
회장, 부회장. 마찬가지로 n×n-1이에요. 여기서 n은 뭐다? 단, n은 여학생 수에요. 여학생 수, 여자 수. 그러면 확률은요. 여학생이 나올 확률은요.
16×15분에 전체 경우의 수 분에 n×n-1입니다. 이게 8분의 3이 나왔데요. 그러면 이 등식을 충분히 사용을 하시는 거예요.
즉 분모를 16×15로 만들려면 어떻게 곱하면 되죠? 2 필요하고요. 또 15 필요하죠. 2×15. 분자에도 곱하면 됩니다. 그럼 분모 맞춰줬죠. 분자 봅시다. 15 너무 커요.
따라서 15를 좀 쪼갭시다. 뭐로 쪼개냐, 3×5=15. 이렇게 소인수분해 하세요. 그러고 나서 n×n-1. 즉 두 수의 차가 1이 나는 그 두 수를 찾는 겁니다, 분자에서. 뭐 보이나요?
3×3=9, 2×5=10 이렇게 보이죠. 즉 10×9를 찾아내면 돼요. 16×15분에. 따라서 n의 값은 얼마다? 10이라고 정리하시면 돼요. 그러면 여학생, 아니 여자죠.
여자는, 여자의 수는 10명이라고 해주시면 되겠네요. 우리 남은 문제, 실생활 탐구문제가 있는데요. 어렵지가 않습니다. 36번은 여사건, ‘적어도’ 나와 있죠.
동그라미 치시고 여사건 활용해서 금방 풀 수 있고요. 37번은 6강 개념편을 보시면 우리 수박 복불복 하면서 먼저 뽑는다고 유리한 것은 아니라고 했죠.
먼저 뽑으나 나중에 뽑으나 그 확률은 같습니다. 같다가 답이 되겠습니다. 이렇게 해서 우리 수준별 문제 풀어봤어요. 꼭 복습하시고요. 다음 시간 총정리 하면서 다시 만나겠습니다.
우리 9강에서는요. 1단원 확률단원 종합문제 풀이시간입니다. 꼭 문제 풀어오세요. 오늘도 수고 많으셨습니다.