前面的话我们概述了多光束干涉的一些问题
那么现在我来进行详细的推导
那么多光束干涉的时候
它的透射过来的光强
是跟什么样的参数什么样的关系
反射的光强是什么样等等等等
所以我们来看的话就是intensity formula
就是光强的公式到底是多少
那么这个问题来讲的话
我还是用重要的一个图
我们这个图的话是我们这一节最基本的一个图
我现在有两个反射表面
这两个反射表面的反射率比如说比较高的
当然也可以低
这个实际上这是一个
我们会发现我们前面所推导的
所谓的低反射率的形式
包含在我们现在更严格的推导中
多光束干涉
我现在有一个光强
这个光强的话有一个入射场
这个入射场的话我是用振幅来表示吧
入射场的振幅是A
那光强的话是A的平方
是正比于A的平方
那这一部分的光会有反射光和透射光
上下两个表面
这是比如说上表面有一部分光会反射
那么下表面的话
当然有一部分的光会透射过来
然后经过这个表面
再进行有一部分光再进一步的透射过来
这叫1'
这个反射光我叫反射光1
那当然经过这一部分的话
它还会有一部分光会透射过来
这叫反射的部分2
但是这一部分的话还会继续
因为我如果反射率
这个反射率是比较高的
那当然它还可以进一步的反射
在这个地方反射的话会再出来一部分光
又会出来这叫2'
这个地方又会有一部分光反射
称之为3
你可以想象这个地方的话
再画一个就不再画了
所以真正的一个光的干涉是这样
所以这也是为什么称之为多光束干涉
你考虑上下两个表面之间的多次反射
因此所造成的每次都有一部分的光透射
或者叫反射回去
整个的反射场整个的透射场
是所有这些光束的叠加
所以我们利用波的叠加原理
我们在考虑透射的时候要把1'2'3'这样的场全部加在一起
考虑到反射的时候要把1234所有的场给加在一起
所以这是我们的任务
那么首先来讲的话我们就要把
1'2'3'1234等等这些场的它的形式给写出来
我如果不知道这个场的具体形式
这个叠加没法做
实际上这个场的形式相对简单
比如说作为反射来讲1
作为1这束光
我们先考虑amplitude的话
我们两部分考虑
作为一个场来讲的话
一个波动的形式
一个是振幅的部分一个是位相的部分
我们首先考虑这个振幅的部分
振幅的部分是很简单的
作为光束1来讲的话
它的振幅就是r反射率
rp或者rs取决于入射光的偏振度是什么
总的来讲我就用r来表示叫做rA
那么我们再来看透射光1'
作为1'来讲的话
它的振幅到底有多少
1这要简单
这首先有一个t
这边的话又有一个t'
所以就是一个tt'而已
它的振幅就是tt'而已
那么作为2来讲
光束2
光束2来讲的话是t
有一个2'
再有一个t'
所以作为光束2来讲的话
首先是透射过来
在这个表面发生反射
这个表面反射我们称之为r'
然后到这一个t
当然这个地方的话
如果还记得的话r'是等于-r的现象
这是Stokes关系式
我们再讲Finel equation的时候讨论过的
所以这个地方是tr't'A
然后2'的话是什么
2'的话你会发现还是一样
到这个地方的话是t
这个地方有个r'
这个地方又有一个r'
然后到这个地方是个t'
所以是tt'
我们发现这地方多了一个r'的平方A
所以1'和2'之间
它们之间关系的话
多出这个r'的平方
那么下面的话我就直接写了
不再这样子
所以你会发现
很简单的一个关系式
作为反射光来讲的话
它们之间的振幅是这样子
作为透射光是这样
你会发现这个地方是等比的一个数列
它们的振幅来讲的话
是有一个r'的平方这样一个比例关系
所以你可以直接立刻就可以写出来4'5'等等等等
只不过是r'的6次方r'的8次方
这也是为什么因为它你可以看到
相邻的两级的话这个反射的话
它们的差别这个系数是r'的平方
所以当r'的平方小于小于1的时候
我可以忽略高阶的反射
那现在来讲的话r'比如说
r'平方接近于1了
那我这些高阶的反射我就必须要考虑进去了
所以这是amplitude的部分
那么还有一个部分的话是位相关系
那么位相关系我们来考虑相邻两束之间位相的关系
比如说我们考虑这两束光
这两束的位相差是多少
这两束的位相差其实很简单
一部分还是一样
我们来画一下
光束12位相差也可以类似计算出来
光束1'和2'之间的位相差是
不过是这段距离这是光束1多走了一部分
那光束2'多走的部分是这段距离
它们的位相差就是这段光程减掉这段光程
这一部分的话我们完全知道的
我们来定义一个位相差Δφ21
2和1之间的位相差
或者2和1之间的位相差
这是我们所熟知的那个关系式
就是等于k0ΔL
相邻的两个光束之间的光程差
等于这个光程差是两倍的
当然我会告诉你
我这个两个腔之间的介质
折射率是n
腔的厚度为h
2nhcosθt
这也是各个参数的物理含义
这是我们因为我们以前讨论是完全一样
所以这是相邻但是2和3之间也会有这样一个位相差
3和4之间也会有这样一个位相差
因此我把这个位相差都把它给考虑进去以后
我就可以把整个这个形式给写出来了
所以以后的话因为这个式子经常出现
我不写这个Δφ
我就管它叫称之为φ就好了
这是我的φ的定义式
我这个φ就是这个
好吧φ等于它
有了振幅有了两两之间的位相差
我这个波动的形式就可以写出来了
所以我来写的时候的话
作为反射的部分
它有这些的1234
我知道它的1234到底是什么
1的振幅是rA
那么我可以把这一部分的位相设为0
所以EI这个位相我称之为是0
那么它随时间的一个变化
频率的变化都是一样minus iωt
那么作为2来讲的话是tt'r'A
当然这也是这一部分
实际上随时间的变化是可以不写的
因为在强度的部分的话
这部分平方会消失掉的
但这个地方会多出来一个位相差
就是12之间的位相差
那么还有光束3那当然tt'r'^3Ae-iωt ei
3和2之间又有一个φ的位相差
3和1之间的位相差就是两倍的φ
所以你可以往下写下去
作为反射部分
这个就是各个的光场
这是123往下走
那么我们看透射一样
是tt'A
这一部分也有一个e-iωt
在考虑透射光的时候
我把光束1'作为它的位相我设为0
那么后面的话是tt'r'^2Ae-iωt eiφ
相邻的两个光束之间的位相差
然后是tt'r'^4Ae-iωt ei
3和1之间的位相差要再加一个φ
就是两倍的φ等等
你会发现这是我的反射场
这是我的透射场各自的贡献
那么下面的话波的叠加原理的话
我就把它加起来就好了
只不过在这个地方的话我在引用
再提示一下的话我这边有
我们以前所推导出来的Stock's关系式
tt'+r^2应该是等于1
然后r等于-r'
换句话说r'的平方也就等于r的平方
那我们来看一下
我的出射的场
我用出射的场用复数表示
我把这些叠加起来
当然可以来做这个r叠加
不过t的叠加更简单
这是一个简单的等比的一个数列
我立刻就会发现
因为等比数列的话我提出公有的tt'Ae-iωt
这就是光束1
其他的东西都是和光束1'这是1'
和它来进行对比
那么和它对比的话这个东西是多出一个r'^2eiφ
那么还有一个是r'^2
r'^2就是r^2
所以我这个地方就写r^2
少写一点 r^4ei2φ
这是一个等比数列
而等比的系数的话是r^2eiφ
所以我立刻就可以推出来了
这个东西利用等比数列的关系式
tt'Ae-iωt这是公有的
等比数列的关系式的话是
1减去等比的这个系数
所以1-r^2eiφ
这个就是我透射场的
复数的表达形式
知道了这个透射场的表达形式
那么光强我也可以计算出来
这个东西就是
具体的计算 取共轭乘在一起
具体的计算我忽略掉了
那么最终得到的这个关系式就是
tt'^2A^2
这个e-iφt就是我说的消失掉了
当然还有这一部分的乘积
这一部分的乘积会给出来我是1+r^4减去两倍的
它的group part
所以减掉一个2r^2cosφ
这个就是我们所得到的强度的关系式
就是这个样子
透射的光强和位相差
这个位相差受我的波长受折射率
受腔的长度h以及角度等等影响
所有这些装置的影响都包含在这个φ中
当然还受到一个的话是r^2的影响
当然tt'的话和r^2是这样的关系
所以我也可以给它重新再代进去 剩下的
这个东西就是(1-r^2)^2A^2
然后还是除上
只不过这一部分的话我稍微
给它重新写一下
这个微分的话这边1减去
这个就是(1-r^2)^2然后再加上一个
两倍的r^2
1-cosφ
只是把这个式子写成这样子的东西
然后的话它等于什么
1-r^2我可以给它除下来
这样子的话
等于一个A的平方
除上1+2r^2除上(1-r^2)^2
只不过1-cosφ的话通常的话
有的人也会给它表达成为sinφ/2的平方
再乘上个r
把这东西改成4
这样子一个表达式
当然A方的形式的话
A方是什么
A的平方代表入射这个光强
所以这个东西可以给它写成
进行了这些推导以后
我们知道了出射的强度
I是这样一个关系式
我在这个地方再写一下
It等于
A的平方就是I0
所以这个地方我写成I0
我把这个式子相对简化一点
除上一个底下这个东西的话
代表跟反射率相关的
我给它标定为一个新的一个系数
我管它叫做1+
底下这个东西我称之为F
sinφ/2的平方
这是我们推导出来的
透射的光强
和这个反射腔F我们说是和
再写一下
告诉大家的话和4倍的r平方
除上(1-r^2)^2
当然r^2也可以表示成R
所以有时候经常会写成这样的形式
1-R的平方
这有一个名词
这个名词叫做coefficient of Finesse
叫做精细度的常数
或者叫系数
一个术语 这个记不记住无所谓
这个F叫做coefficient of Finesse
它和我们后面要谈到的Finesse相关
但从这个地方可以看到的话一点很明显
如果R趋近于1的话
这个F将会是个很大的数
如果R逼近于1
这个F可以是成百上千甚至上万
这样一个大的数
所以对于R等于99%的时候
两个高反镜
就意味着我这个F的数值
是比较高的一个数值
那么φ我们再写
φ是非常重要的一个参数
我们在前面已经谈到了
这个地方的话可以再重新写一遍
是2k0nhcosθt
这是和我光的波长
腔的长度折射率等等等等
这是我们所推导过程中得到的I的关系式
那么下面的话我就要结合
我们推导出来的这个式子
来进行探讨多光束干涉与双光束干涉有什么不同
首先来看我们首先可以看到
我们以前所讨论的双光束干涉
只不过是我们现在这个多光束干涉的一个特例
那么当R比较小的时候我们会发现
我得到的这个形式
完完全全可以转化成为我们以前所熟悉的那个
双光束干涉的表达的形式
这边是透射那当然
如果你问我反射到底是什么我叫IR
我已经知道了透射的光强
那我自然很简单我的IR就是我的I0-It就好了
所以我不再写关于反射的这个光强
它的这个表达形式是什么
我写出来透射的光强
我的IR就等于我的I0
能量守恒嘛
能量有一部分透过来
那么剩下的就是反射回去的
反射过去的光强就知道了
那么我们首先考虑的话
一个special case的话是我
如果我的反射率很低的时候
我会发现我这个反射的光强就完完全全会退化到我
跟双光束干涉的情况是完全一致的
因为当我R小于小于1的时候的话
在这种情况下
我R小于小于1
那么这个东西的话就是F
按照这个式子就是4R
F约等于4R
那么我这边是一个1加上一个小的数
因为sinφ/2平方最大也是1
所以就是1加一个很小的数
所以我的It的话
在进行Taylor展开以后
我这个It的话可以近似的等于
我的一个I0
1加上一个很小的数等于
倒数1-Fsinφ/2平方
也就是等于I0乘上
我把这个式子的话写开
F约等于4R
sinφ/2平方又是和1-cosφ有关系
所以这个东西就是1-2R(1-cosφ)
那么这是我的在R小于小于1的时候
透射光的表达的形式
那我反射光来讲的话
就很简单了
这一看的话一减的话
2RI0(1-cosφ)
这个RI0相当于我以前的I1I2那个值
这个地方的RI0相当于我前面所讲的I1I2
这边的话光强的变化随着位相关系的变化的话
呈现一个cosφ的变化
所以这个东西的话就是我们的
double beam interference
双光束干涉
所得到的光强的分布形式
所以当R小于小于1的时候
这个说明确实我考虑双光束的话是有道理的
是合理的
当然在R大于大于1的时候
这个地方光强的分布就有意思了
所以我们着重讨论的话
sorry这个地方说错了
R不可能大于大于1
R趋近于1的时候
或者R比较大的时候
不可能有R>1的
能量守恒就破坏了
所以当R我们叫趋近于1
或者叫Rbig
这是我所谓big的含义
就是当我R接近于1的时候的话
那么这个时候我知道
我们已经讨论了
在这个时候Fbig
Fbig的话我实际上可以做一个图
当然这个地方的话
不用我电脑上MATLAB来显示的图
直接就把这个示意图给画出来
你会发现它的关系式
跟φ的关系式
不再是一个cosφ的一个形式
而是cosφ的话
因为sinφ/2平方就是cosφ
它要乘上大的一个数
这样子的话如果cosφ虽然变化一点点
但乘上一个大的数
这个变化可就是不一定小了
所以我们来看的话
它的光强变化的话t
这边的话我写的是φ
位相的变化
位相是这个东西
随着h的变化或者n的变化或者k的变化
位相会发生变化
那么我的位相发生变化
原来的话在双光束干涉的时候
R小于1的时候的话
它是整个是一个cos的一个形式
当然当F大的时候
随着位相改变的话是这样一个形式
它会变的尖锐起来
那么什么时候出射最大
这很简单
maximum在什么地方
看这个式子就好了
让这个sinφ/2的平方等于0就好了
那φ等于2mπ就好了
m可以等于123
这个时候的话这个值为0
在这种时候的话我的It
就是我前面所讲到的那个puzzle谜题
这个时候的话我最大的值的时候
这个地方理想的状况下
这就是我的I0
入射光线这个值是为0
我的It就等于我的I0
当然我的φ稍微变化一点以后
我整个的强度就会掉下来
因为F是一个比较大的值
那么这个是作为透射光
作为反射光部分的话我也可以画
但是这个地方请大家参考教材了
反射光I0减掉这个东西
所以我们着重讨论的话是透射光这一部分