수학을 쉽고 즐겁게. 펀펀 수학에 이보영 선생님입니다. 반갑습니다. 우리 친구들 중에서요. 선생님한테 간혹 가다 이런 질문 하는 학생들이 많아요. '선생님, 응용문제는요.
선생님은 수학 선생님이니까 잘 푸는 것 아닐까요? 저는 도대체 응용문제들을 풀기가 어려워요. 조금만 어려워지면 문제 풀기 너무 어렵습니다.' 라는 친구들 있거든요.
수학은요. 일단 하나의 문제를 가지고 어려움을 만났을 때는요. 일단 문제를 곰곰이 읽어보면서 고민을 해봐야 되겠죠. 이것저것 시행착오를 두려워하지 말고 고민해보는 것 가장 중요합니다.
그다음에 해야 될 것은요. 혹시 내가 이 문제를 푸는데 있어서요. 빠진 재료가 있지는 않을까? 다시 한 번 개념을 훑어보면서요. 내가 이 안에서 적용시킬 만한 개념이 뭐가 있을까 찾아보는 겁니다.
그래서 반복해서 고민하다보면요. 여러분이 조금 더 가까이 답에 근접해서 해결해나갈 수 있거든요. '선생님 저는 도저히 안 되겠어요.' 할 때는 선생님의 설명을 듣는 겁니다.
오늘 준비된 레벨3라든가 실생활 문제 같은 경우에 그렇죠. '조금이라도 난이도가 높아졌을 때 저는 하기가 어렵습니다.' 할 때는요. 선생님 설명을 일단 잘 듣고 이해하셔야 됩니다.
가장 중요한 것은 이해인데 어떤 학생들은 정말 열심히 받아 적는 학생들 있어요. 받아 적는 것은요. 우리가 다시 보기를 통해서든 두 번 세 번 반복하면서요. 얼마든지 할 수 있는 기회가 있습니다.
그러니까 일단 적음으로써 내가 다 이해했다고 생각하시면 안 되고요. 그 시간에 집중해서 다시 한 번 그 응용문제들을요. 꼭 이해하시기 바랍니다. 적는 것은 그다음 일이에요.
아셨죠? 그리고 내 손으로 풀어본다면 그런 것들을 반복함으로써 여러분 내공이 차곡차곡 쌓여서요. 여러분도 이제 조금 더 난이도가 있는 문제들을 풀 수 있을 만한 힘을 기르게 되는 거예요.
아셨죠? 오늘 준비되어 있는 것은요. 바로 수준별 문제들입니다. 수준별 문제와 함께 한번 차곡차곡 난이도 올려보도록 할게요. 그럼 칠판으로 자리 옮겨봅니다. 하나, 둘, 셋 뿅!
그러면요. 레벨1에 있는 문제들은 여러분이 직접 한번 해결해보도록 하세요. 레벨1에 있는 것은 앞에 선생님과 중간점검을 통해서도 해봤었고요. 또 각각의 대표유형들을 통해서도 여러분이 충분히 학습을 하셨기 때문에요.
레벨1 문제를 한 번 더 풀어봄으로써 점검하실 수가 있습니다. 선생님과는요. 레벨2에 있는 문제들 중에서도 중요 문제 위주로 한번 선별해서 같이 먼저 살펴보도록 할게요. 첫 번째 문제는 8번 문제입니다.
함수인 것을 모두 고르라고 그랬죠. 함수라는 것은요. x의 값을 하나 짠 정하고 나면 그에 따른 y값도 하나로 짠하고 나와야 돼요. 오직 하나로만 나와야 하죠. 첫 번째, 한 변의 길이가 xcm인 정삼각형의 둘레의 길이라고 했죠.
그러면 x가 1이면 둘레는 3, x가 2면 둘레는 6. 바로 이렇게 되겠죠. 정삼각형이니까요. y는 한 변의 길이에다가 3배만 해주면 되거든요. x값 하나에 y값이 하나로 정해지니 ㄱ은 함수가 맞습니다.
그렇죠? 이번에 두 번째는요. 자연수 x와 서로소인 자연수 y라고 했습니다. 그럼 이것을 어떻게 해야 될까요? 선생님이 한번 숫자를 대입해볼게요. x에다가 3을 한번 넣어봤어요.
그럼 3과 서로소인 자연수를 한번 찾아볼까요? 서로소라는 것은 최대공약수가 1뿐인 두 수를 보고 서로소라고 하죠. 그러면 3과 최대공약수가 1뿐인 두 수는요. 3과 1도 돼요. 3과 2도 되고요. 3과 4도 됩니다.
3하고 5도 서로소예요. 3하고 7도 서로소고요. x값 달랑 하나만 줬는데요. y값이 너무 많이 나오죠. 이것은 함수가 아닌 겁니다. 일단은 ㄱ이 함수라는 것을 찾았어요. ㄴ은 확실히 아니고요.
다음 보기 볼게요. 다음 보기는요. 지면의 온도가 20도이고 그리고 지상에서 100m 올라갈 때마다 온도는 0.6도씩 낮아질 때 높이 xm와 온도 y 그랬죠. 온도는요. 점점 낮아집니다. 그럼 식으로 나타내면 20도를 기준으로 해서요.
올라갈수록 낮아지니까 낮아지는 만큼 빼줘야 되겠죠. 이것을 식으로 쓸 때 여러분이 주의해야 될 게 있는데요. 여기 보이는 100m 올라갈 때마다 온도가 0.6도씩 내려간다고 했어요.
그래서 여기서 주의해야 되는 게 100m당 0.6도씩 내려가는 거예요. 그럼 내가 23m 올라가면 어떻게 할까? 그럼 갑자기 여러분이 '앗!' 이런 생각이 드시겠죠. 왜? 우리는 1m당 몇 도 내려가는지 알려주는 게 제일 좋거든요.
따라서 1m당은요. 0.006도씩 내려가게 되는 겁니다. 100으로 나눠보면 알 수가 있죠. 그렇죠? 1m당 0.006도씩이면요. 2m면 여기 2배, 3m면 3배만큼 내려가겠죠. xm라고 하면요. 0.006x만큼 내려가는 겁니다.
식은 이렇게 세울 수가 있어요. 그렇죠? x값 하나면 그에 따른 y값도 하나로 정해집니다. 그래서 ㄱ과 ㄷ이 함수가 되는데요. 번호로 확인해보면요. 번호는 ㄱ, ㄷ이라고 나와 있는 바로 3번이 정답이 되겠습니다.
첫 번째는 함수를 한번 찾아봤어요. 이번에는 두 번째 9번 문제 봅니다. 9번에서는요. x의 값이 잘 보세요. x가 2보다 작거나 같다가 아니에요. 절댓값 x가 2보다 작거나 같은 정수입니다. 다행히도 정수라고 딱 주었죠.
그러면 절댓값이 2보다 작거나 같다. 그런 정수라고 그러면 일단 절댓값 x가 될 수 있는 수를 한번 구해보세요. 첫 번째로 절댓값 x가 될 수 있는 정수는요. 그러면 2보다 작거나 같은 정수니까요.
0이나 1이나 2까지 나올 수 있죠. 절댓값으로 음수는 나올 수 없잖아요. 그렇죠? 이것이므로 그러면 x로 가능한 것은요. 절댓값이 0인 x는요. 바로 0입니다. 절댓값이 1이려면요. 절댓값이 1인 수는 +1도 있고요.
또 -1도 있어요. 절댓값이 2인 수는요. +2도 있고요. -2도 있습니다. 됐죠. 그러면 선생님이 이것을 크기 순서대로 한번 나타내볼까요? -2, -1, 0, 1, 2. 총 x가 될 수 있는 것은요. 5가지입니다.
그러면 그에 따른 y의 값을 한번 구해볼게요. y는 -x라고 했었잖아요. y는 -x이므로 y에다가 x값들을 한 번씩 다 대입해보면요. x가 -2면 y는 2, x가 -1이면 y는 1, x가 0이면 0, x가 1이면 y는 -1, x가 2면 y는 -2.
어때요? 결국에는 x값과 y값이 서로 똑같습니다. 그렇죠? 물론 -2를 넣었을 때 2가 나온다. 바로 이렇게 부호가 서로 반대되어서 나오지만 나와 있는 x값의 종류나 y값의 종류는 똑같습니다.
그러면 바로 이런 정수들을 표현해놓은 보기는 바로 몇 번에 있습니까? 절댓값 y가 2보다 작거나 같은 정수. 바로 x의 범위와 똑같이 나와 있는 5번 있죠. 바로 5번이 정답이 되는 겁니다. 됐죠.
그래서 9번에 함숫값에 대한 문제 풀어봤어요. 다음 문제 한번 살펴볼까요? 다음 문제는 11번입니다. 함수의 식이 아직 미완성이에요. 대신에 어떤 조건을 줬죠. f(3)이 -6이라는 조건을 통해서 a값은 알 수가 있겠네요.
먼저 첫 번째 f(3)입니다. x 자리에 3을 대입하면 3분의 a가 되죠. 바로 이 값이 -6이 되어야 된다고 하니까 양변에 3 곱해보면 a값 알 수 있죠. a는 -18입니다. 그렇죠? 그럼 이제 f(x)가 무엇인지는 알아냈어요.
f(x)는 바로 x분의 -18이라는 거예요. 그럼 여기에서 f(2)는 얼마인가요? x 자리에다 2를 대입해보면 -2분의 18로 -9고요. 다음에 f(-6)은 어때요? x 자리에 -6을 대입하니까 결과는 -, -는 +, +가 되어서 3이 됩니다. 됐죠.
그런데 문제에서 원한 것은 뭐예요? f(2)-f(-6). -9-3입니다. 그래서 결과는 -12다. 따라서 정답은 몇 번이 된다? 1번이 정답이 됩니다. -12. 지금 정답 1번에 들어 있죠. 이렇게 해서 함수식을 완성해서 함숫값까지 연결해봤어요.
이번에 다음 문제 볼게요. 다음 문제 13번입니다. 13번에서는요. x값을 완전히 알려주지는 않았어요. 3보다 크거나 같고 a보다 작거나 같습니다. 그렇죠? 함수 y는 3분의 5x의 함숫값이요.
y보다 크거나 같고 20보다 작거나 같습니다. 물론 이 안에 있는 반드시 정수라는 것은 아니에요. 정수일지 아닐지 정확하게는 몰라요. 그렇죠? 이럴 때 a의 값을 구하라고 그랬죠.
그러면 선생님이 앞에서 유형별 문제 풀 때도 한번 알려드렸었는데요. 이렇게 범위로 나와 있을 때는 x값이 주어져 있어요. 그럼 x값의 양끝 값을 정해서 대입해보면 y값의 범위의 양끝 값과 같이 나온다고 했죠.
그러면 먼저 x가 3이면 x중에 제일 작을 수 있는 게 사실 3이잖아요. x가 3이면 y는 3분의 5에다가 3 곱하니까 바로 5가 됩니다. 그렇죠? x중에 제일 큰 게 a이면 우리 y는요. 3분의 5×a. 3분의 5a가 되는데요.
그게 얼마일까요? 보세요. y값 중에 5라는 것은 하나 구했잖아요. y값 중에.
그렇죠? y가 함숫값이 5보다 크거나 같고 20보다 작거나 같다 했는데 한쪽 끝값이 5가 나왔다면 다른 쪽 끝값을 대입했을 때는 함숫값이 20이 나와야 된다는 이야기죠. 그렇죠. 따라서 여기가 20이어야 되겠구나 라는 이야기예요.
그러면 이 안에서 3분의 5a가 20이 되려면 a는 얼마여야 되죠? 바로 12가 되어야겠죠. 따라서 정답은 4번이 되어야 합니다. 됐죠. 물론 항상 3을 대입했을 때 5, a 대입했을 때 20 이런 것은 아니에요.
오히려 반대로 나올 때도 있어요. 여기 식이 -가 포함되어 있다면요. 3을 대입했을 때는 반대로 이렇게 나올 수도 있거든요.
어쨌거나 양쪽 끝값을, x값의 양쪽 끝값을 대입하면 바로 반대쪽에서 y값도 역시 끝값이 하나씩은 차례로 나온다는 것. 그것만 기억하시면 되겠습니다. 아셨죠? 다음 문제는 14번 문제로 갈게요.
14번 문제가 오늘 하는 문제 중에서 의외로 레벨2임에도 불구하고 가장 많은 질문이 나오는 문제입니다. 14번에서 보니까요. 함수 f(x)에 대해서 일단은 함수의 형태가 조금 낯설죠. -3분의 4x. f(-3분의 4x)가요.
2x+6일 때 f(6)의 값을 구하라고 그랬어요. 우리는 지금까지 언제나 항상 'f(x)는' 바로 이런 식을 살펴봤었단 말이에요. 그렇죠? 그러니까 f(x)는 뭐일 때 f(3)을 구하라고 하면 x 대신에 3 들어갔네.
그럼 x 대신에 3 대입해봐야지. 바로 이렇게 생각했었단 말이에요. 그렇죠? 그 기본 원리에 일단은 충실하세요. 보세요. 예를 들어서 f(x)가 y는 f(x)와 같다. 바로 이런 함수식에서 f(a)의 값을 구하라는 말은요.
지금 x 대신해서 a가 들어간 거예요. 항상 x에 a를 넣으라는 게 아니라 여기 x에서 a로 바뀌었잖아요. x를 a로 교체를 했구나. 그럼 x 대신에 a를 넣겠다는 이야기거든요. 그렇죠? 이 의미를 알았어요.
누구 대신에 뭐가 들어가는지. 그러면 이 안에서 보세요. 지금 주어진 식이요. f(-3분의 4x)입니다. 그리고 f(6)을 구하래요. 지금 뭐가 바뀌었느냐하면요. -3분의 4x 자리에 6이 들어가 있단 말이에요.
그렇죠? 이것은 x에다 6을 넣으라는 뜻이 전혀 아닙니다. f 괄호 안에 있는 것 대신 얘랑 얘랑 바꿔서 나왔단 말이에요. 즉 -3분의 4x에 6을 대신해서 넣었구나. 이 자리에 6을 대신해서.
즉 -3분의 4x가 6이 되는 순간을 먼저 찾는 거예요. 됐죠. 이 자리에 6이 들어가면 그 값이 얼마일까요? 이것은 도대체 언제 6이 될까요? 얘가 6이 되려면요. x는 거꾸로 -3분의 4로 나눠봐야 알 수 있겠죠.
-3분의 4로 나눴더니요. x는 -2분의 9가 됐습니다. 이 f 괄호 안에 6이라는 숫자가 들어가려면요. x 자리에는 누가 들어가야 된다? 바로 -2분의 9가 들어가야 된다는 이야기예요. 됐죠.
그러면 x 자리에 -2분의 9를 넣어보세요. 그러면 x가 -2분의 9이면 -3분의 4×. x 자리에 얼마가 되죠? -2분의 9가 됩니다. 됐죠? 그럼 2×. 2x+6이잖아요. x 자리에 -2분의 9를 넣어요. +6.
됐나요? 바로 이것을 통해서 여기서는 얘가 6이라는 것 알았잖아요. f(6)의 값을 알 수가 있다는 겁니다. 됐죠? f(6)의 값 얼마예요? 얘는 약분하고 나면 -9고요. -9에다 6을 더하니까 결과는 -3이다. 됐죠.
따라서 14번의 정답은 몇 번이다? 바로 2번이다. 됐죠. 여기다가 많은 학생들이요. 자꾸 x 자리에 6을 넣는 경우가 있어요. 여러분이 생각하는 것처럼 x 자리에 만약에 6을 넣게 되잖아요.
그러면 우리가 알아낸 값은 f(6)이 아니라 바로 f(-8)이 됩니다. f(-8)은 -12+6이라고 해서 -6이라고 구하는 학생들 있었어요. 내가 구하고 싶은 것과는 전혀 상관없는 값이 나오는 거다.
그래서 x 자리에 6 넣겠다는 게 아니라 -3분의 4x 대신에 6이 들어가려니까 x가 -2분의 9가 되어야 되더라. x 자리에 -2분의 9를 대입한 겁니다. 아셨죠? 이렇게 해서 일단은 우리가 알았던 기본 원리에 충실한 것.
그것을 보고 개념이라고 하는 겁니다. 아셨죠? 이것은 내가 알던 거랑 다르게 생겼네? 그러면 어디로 돌아가요? 개념으로 돌아가서 이것의 의미가 뭐였더라? x 대신해서 a이가 들어갔구나. f(x)에서 f(a)다. x 대신 a구나.
이것 대신 저것이구나. 바로 이런 의미였다는 개념을 찾아보시는 거죠. 14번 문제 풀었으니까요. 이번에는 16번으로 갑니다. 이번에는 함숫값 줬어요. x의 값을 준 게 아니라 함수의 값을 줬어요.
그러면 그때 x값을 각각 알아봐야 되겠죠. 그러면 함숫값이 -1, 3, 7이라고 했으니까 각각의 y에다 -1, 3, 7을 대입하시면 돼요. 3분의 2x-3분의 1이 -1이었으면 좋겠어요. 이렇게 되기 위해서는요.
일단은 x는 얼마가 나오죠? 바로 -1이 되어야 되겠죠. -1이 됩니다. -3분의 1 우변으로 이항하니까요. 우변이 -3분의 2가 됐어요. 그러기 위해서는 x가 -1이면 되겠죠. 이번에 3분의 2x-3분의 1이 3이 됐으면 좋겠어요.
그러려면 상수 우변으로 이항하면 우변이 3분의 10 됩니다. 3분의 10 되려면 x가 5면 되겠죠. 다음에 하나 더. 3분의 2x-3분의 1이 7이 되려면요. 상수 우변으로 이항했을 때 우변은 3분의 22가 되거든요.
22 되기 위해서 x는 11면 되겠다. 됐죠? 그럼 여기 나와 있는 x값들의 합을 구하라고 그랬어요. 이렇게 더하면 16이죠. 16에다 -1 더하니까 결과는 15다. 정답은 바로 4번이 되겠네요. 됐죠.
이렇게 해서 함숫값이 주어졌을 때 그때의 x값을 구하는 문제 풀어봤습니다. 아셨죠? 이것 거꾸로 해서 습관처럼 자꾸 함숫값이 나왔는데 x값에다 대입하시면 안돼요. 이번에는요. 다음 문제 18번 문제로 갑니다.
18번 문제에서는요. 두 점이 각각 x축, y축 위에 있어요. 축 위에 있는 점이에요. 축 위에 있다는 것은 분명히 둘 중에 하나의 좌표는 0이라는 이야기입니다. 그렇죠? x축 위에 존재하려면요.
y좌표가 0이어야 된다는 뜻이고요. 다음에 y축 위에 존재하려면 바로 x좌표가 0이어야 한다는 이야기죠. 따라서 x축 위에 있다. y좌표가 0이다. 그러면 첫 번째 a는 2가 되겠네요.
그렇죠? 이번에 두 번째 y축 위에 있다고 하면 x좌표인 2b-4가 0이면 되죠. 따라서 b가 2면 되겠다. 그렇죠? 그러면 이때 a와 b의 합을 구하라고 그랬으니까 정답은 a+b해서 4. 5번이 정답이 됩니다.
이렇게 해서 축 위에 있는 점에 대해서 알아봤습니다. 이번에는요. 19번 가서 우리 사분면에 대한 문제 볼게요. 19번 문제는요. 몇 사분면 위의 점인가? 그랬죠.
사분면하면 일단은 여러분이 제일 먼저 뭐를 떠올려야 돼요? 좌표평면을요. x축, y축을 그려서 4개의 구역으로 나눠서 각각 이름 붙여줘야 되죠. 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면.
그리고 부호를 봐야 되겠죠. 제1사분면은 +, +. 제2사분면은 -, +. 제3사분면은 왼쪽 아래 -, -. 4사분면은 오른쪽 아래 +, -. 됐나요? 일단 사분면에 대한 부호는 알았어요. 그러고 나서 문제로 갑니다.
a, b 둘이 곱하면 양수라는 것을 보니까 +, +로 같은 부호든지 아니면 -, -로 같은 부호면 돼요. 그런데 둘이 더해서 음수라는 것 보니까 +, +는 아닌 거예요. 양수, 양수 더하면 당연히 양수 나와야 되잖아요.
결국에 a와 b는 각각 -, -라는 이야기입니다. 됐죠. a도 음수, b도 음수. 그런데요. a를 제곱하면 음수를 두 번 곱하면 짝수 번 곱했으니까 부호는 +가 되죠. b의 세제곱은 음수를 세 번 곱했어요.
홀수 번 곱했으니까 부호는 -가 되죠. 결국에는 +, -라는 이야기예요. +, -의 부호를 가지고 있는 것은 바로 어느 사분면입니까? 바로 제4사분면. 정답은 4번이 되어야겠죠. 19번의 정답은 4번입니다. 다음 문제 이어볼게요.
다음 문제는 21번입니다. 축에 대칭인 점. 그러면 A(1, 3)과 x축에서 대칭인 점을 B라고 했어요. 그러면 x축 대칭하면 누가 바뀌어요? y의 부호가 바뀐다고 했죠. 그럼 B부터 구해보면 (1, 3)에서 y의 부호를 바꿔보세요.
(1, -3). 다음에 점 (1, 3)에 대하여 B, 그다음 점 B와 y축 대칭입니다. 점 B를 가지고요. 다시 한 번 y축 대칭을 하겠다는 거예요. 그러면 y축 대칭 한다는 것은 누가 바뀌어요? x의 부호가 바뀐다는 이야기죠.
따라서 (-1, -3)이 되는 거예요. 점 C의 좌표를 구했습니다. 아니면 이렇게 간단하게 생각하셔도 돼요. A를 지금 x축 대칭했죠. 그것을 가지고 다시 y축 대칭했잖아요.
그럼 결국에는 A를 x축 대칭도 한번 하고 y축 대칭도 한번 했다는 이야기죠. 결국에는 A와 C는 서로 원점대칭 관계에 있어요. 바로 얘는 A와 원점대칭입니다.
그러니까 A랑 각 좌표의 절댓값은 같되 부호는 완전 반대로 나와야 된다는 이야기죠. (-1, -3). 그래서 나온 거예요. 그럼 C의 좌표는 바로 1번에 있네요. 21번의 정답은 1번이 됩니다.
이번에는 다음 문제 22번 문제 보세요. 이제는요. 우리 점을 가지고 대칭인 점들을 찍고 그때에 그 점들을 이어 만든 도형으로 넓이를 구해볼 건데요. 일단은 각각의 점의 좌표를 먼저 알아야 되겠죠.
x축 대칭인 점을 B 그랬어요. B 그러면 y의 부호가 바뀌어서 (-3, 2). 됐죠? 점 A와 원점대칭인 점을 C. 점 A를 기준으로 원점대칭 한 게 C예요. 그럼 부호를 다 바꿔서 (3, 2) 이렇게 되겠죠.
A, B, C의 부호를 다 알았어요. 이제 우리는 여기다가 뭐만 하면 돼요? 그렇죠. 일단 좌표평면에 점을 찍어서 어떤 도형인지부터 알아봐야 되겠죠. A는 (-3, -2)가 됐습니다. 그럼 여기다가 점 A를 찍었어요.
B는요. (-3, 2). 그렇죠. 일단 x축 대칭이니까 반대로 여기에 와서 점이 찍히게 되겠죠. B점의 좌표 찍혔어요. C는요. 원점대칭입니다. (3, 2). 여기에 와서 점 C가 찍혔어요. 그러면 점들을 이어서 삼각형을 만들어주세요.
됐죠? 그러면 이때 B, C 서로 지금 높이가 똑같아요. 즉 y좌표가 똑같고요. A와 B는요. x좌표가 똑같아요. 즉 각각이 하나는 x축에 대해서 평행이고 하나는 y축에 대해서 평행이니까 밑변, 높이를 손쉽게 알 수가 있겠죠.
그렇죠? 그러면 밑변 길이 한번 알아볼게요. 밑변 길이 이렇게 해보면 -3부터 3까지니까 밑변이 6이에요. 높이는 -2부터 2까지니까 높이는 4입니다. 따라서 넓이는 6×4. 그리고 2분의 1 해줘서 얼마예요? 바로 12가 됐어요.
정답은 4번이 됐습니다. 됐죠? 이렇게 우리가 대칭인 점을 이용해서요. 도형의 넓이를 구해봤습니다. 그럼 이번에는 또 다른 도형도 한번 만들어볼 건데요. 23번입니다. A와 B에 대해서요.
x축에 대하여 대칭인 점을 각각 C, D라고 했어요. 그랬을 때 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 구하라는 겁니다. 물론 우리가 바로 대칭인 점을 찍을 수도 있고요. 점의 좌표를 알아볼 수도 있어요.
먼저 점 C를 한번 알아보면요. C는 여기 보이는 점 A에 대해 x축 대칭인 점입니다. x축 대칭이면 y의 부호를 바꾸고. 다음에 D는요. 점 B에 대해서 x축 대칭이니까 또 다시 한 번 y의 부호를 바꿔요.
다른 것은 그대로 있어야 되겠죠. 이것을 가지고 A, B, C, D 직접 한번 좌표평면에다 나타내어서 도형을 그려보도록 합시다. 점 A는 (3, 4). 하나, 둘, 셋, 넷. 4가 됐어요. (3, 4). 여기다가 점 A 찍었습니다.
다음 점 B는요. (-2, 2). 됐죠. (-2, 2). B 찍었어요. 이번에는요. C는요. 점 A에 대해서 대칭이니까 하나, 둘, 셋, 넷. 밑으로 4칸 내려와서 여기다가 C를 찍었어요.
D는요. 점 B에 대해서 대칭이니까 여기 (-2, -2)에다 점을 찍습니다. 됐죠. 그러면 B와 D는요. x좌표가 똑같아요. A와 C도 x좌표 똑같아요. 그렇죠? 이렇게 도형을 그려보니까요. 바로 이 도형은 사다리꼴이고요.
윗변과 아랫변이요. y축과 평행한 상태입니다. 그러니까 윗변, 아랫변, 높이 길이 다 알 수 있겠죠. 윗변 길이 한번 알아보면 2부터 -2까지니까 4. 다음에 아랫변 길이 알아보면요. 4부터 -4까지니까 아랫변의 길이는 8.
다음에 높이 볼까요? 높이는 바로 이것. -2부터요. 3까지 입니다. 높이가 바로 5가 되는 거죠. 그러면 우리 사다리꼴의 넓이 구해보면 윗변+아랫변. 그리고 높이는 5.
그리고 2분의 1 해주니까 넓이가 얼마 됐어요? 바로 30이 됐습니다. 정답은 5번이 되는 거예요. 됐죠. 이렇게 해서요. 우리 레벨2에 있는 실력 높이기 문제들을 쭉 한번 풀어봤습니다. 그러면 우리 레벨3 가기 전에요.
잠깐 한숨 돌리고 가보도록 할게요. 우리 펀펀 친구들의 칭찬 받을 만한 사연, 칭찬 미션 함께 봅니다.
오늘의 칭찬 주인공은요. 이상혁 학생입니다. '저는 수학을 아주 좋아하지는 않는데요. 제일 좋아하는 것은 게임을 만드는 겁니다. 게임 만들다보니까요. 수학적인 계산이 필요하더라고요.'
우와, 상혁이는 게임을 만드는 일을 하는군요. '선생님의 쏙쏙 들어오는 강의 들으면서요. 수학 공부도 하고 또 게임을 만드는데도 활용하는 일석이조의 공부를 하고 있어요. 칭찬해주세요.' 라고 했네요.
상혁이 아주 멋진데요. 수학으로 게임 만드는 데까지 도움이 된다고 하니까요. 실생활에서 아주 유용한 예를 찾은 것 같습니다. 상혁이 지금처럼 열심히 해서요. 정말 멋진 게임 만들면 선생님이 그 게임 열심히 할게요.
사실 상혁이를 통해서 선생님도 새로운 사실을 알았어요. 게임을 만드는 일. 어떻게 하면 게임을 만들 수 있을까요? 만드는 일을 하는데도 수학적인 계산이 필요하다는 것. 상혁이는요.
직접 공부하면서 상혁이의 꿈을 이룰 수 있기를 선생님이 응원합니다. 여러분도요. 수학을 그냥 어렵고 힘들다고만 생각하지 마시고요. 내가 실생활에 이용할 수 있는 과목이라는 것 아셨으면 좋겠어요.
여러분의 칭찬 사연 기다리고 있습니다. EBS TV 중학 수학 1학년 강좌 바로 수강후기 게시판에 '칭찬해주세요.' 라는 제목으로 올려주시면 됩니다. 선생님이 많은 사연 기다리고 있을 게요.
이제 우리 남아 있는 레벨3와 실생활 문제 같이 한번 살펴보도록 하죠. 레벨3 첫 번째 문제는요. 바로 함수에서 주는 명령어가 조금 바뀌었습니다. 지금까지는요. 함수의 식을 f(x)는 2x, f(x)는 3x 바로 이런 식으로 줬었다면요.
이번에는 f(x)는 하고요. 여기 쓰일 x랑 120이랑 최대공약수를 쓰라는 이야기예요. 그렇다면 첫 번째 예로 들어서 봤을 때 f(6)은 그러면 6과 120의 최대공약수를 쓰라는 의미구나.
6하고 120의 최대공약수 어떻게 구하면 돼요? 6, 120 하고 둘을 동시에 나눠떨어뜨릴 수 있는 6으로 나눠보면요. 결국에는 이것이 최대공약수가 되죠. 최대공약수가 바로 6인 겁니다.
그렇죠? 첫 번째 맞았네요. 그렇죠? 다음에 두 번째는 어떻습니까? f(100)이라는 이야기는요. 100하고 120의 최대공약수를 구하라는 이야기예요. 100과 120의 최대공약수하면 역시 20 맞았죠.
다음에 3번에서는요. 여기 x 자리에 150이 들어갔죠. 그럼 150하고 여기 쓰여 있는 120하고 최대공약수를 구하라는 이야기예요. 150과 120의 최대공약수는요. 이 두 수를 동시에 나누어떨어뜨릴 수 있는 수 30이 있네요.
더 이상은 안 되죠. 둘을 동시에 나누어떨어뜨릴 수 있는 수는 1밖에 없죠. 그러니까 결국에는 30이 최대공약수인데 여기는 이게 잘못 나왔죠. 40이 아니라 30이어야 됩니다. 일단은 3번이 정답이 됐어요.
다음 4번에서는요. 120과 180의 최대공약수를 구하여라. 60 맞습니다. 5번에서는요. 120과 200의 최대공약수를 구하여라. 역시 40 맞았죠. 따라서 정답은 3번이다. 이렇게 이야기할 수 있네요.
됐죠? 우리가 f(x)를요. 반드시 어떤 식으로 줘야 되는 게 아니라 지금 여기 주어진 명령어처럼 어떤 미션을 주면요. 그 미션에 따라서 그대로 우리는 그 미션을 수행해주기만 하면 되죠.
이번에는요. 25번 문제 보겠습니다. 25번. x의 값을 주고요. 다음에 y값의 범위가 -3보다 크거나 같고 8보다 작거나 같을 때 이중에서 함수가 아닌 것은? 그랬어요.
함수라는 것은 x의 값을 정했을 때 그에 따른 y값이 하나로 똑똑똑 떨어져야 비로소 함수가 된다고 했죠. 그런데 물론 이 값들을 다 집어넣으면 우리가 y값을 구할 수 있기는 해요.
그런데 y값이 나올 수 있는 범위를 정해줬기 때문에 이 안에 있는 게 아니면 함수가 안 되는 거예요. 예를 들면 그런 거죠. 선생님이 함수를 첫 시간에 설명할 때 자판기에 빗대어서 설명을 했었잖아요.
여기다가 넣으면 커피도 나오고 라면도 나오고 이럴 수 있는 자판기를 발명을 했다고 했을 때 내가 돈을 넣었을 때 그 금액에 상응하는 어떤 물건이 나와야 된단 말이에요. 그런데 이 자판기 속에 초콜릿은 없어요.
그런데 결과로 초콜릿이 나왔다. 그럴 수는 없는 거잖아요. 없는데 나올 수는 없는 거란 말이에요. 그렇죠? 따라서 내가 함숫값을 구했을 때 그 함숫값이 주어진 y의 범위 안에 다 포함되어 있어야 한다는 이야기입니다.
즉 자판기의 메뉴 안에 있는 것 중에 함숫값이 나와야 한다는 거예요. 그러면 우리 1번 같은 경우에 x값을 하나씩 대입해보면요. x에다 -1 대입하면 3배해서 -3. 1 대입하면 3. 2 대입하면 6. 3 대입하면 9.
어때요? -3, 3, 6, 9. 바로 이렇게 되어 있죠. 이러면요. 우리는 이 안에서 뭐가 없어요? 바로 9가 없습니다. 9가 존재하지를 않습니다. 그렇죠? 따라서 이 안에서 1번은 단번에 함수가 될 수 없는 거예요.
누구 때문에? 9 때문에. 이것은 이 안에 있는 메뉴가 아닙니다. y는 저 안에서 반드시 나와야 한다는 거예요. 됐죠? 그럼 두 번째 있는 것은요. x에다가 -1을 대입하면 5분의 3. x에다 1을 대입하면 -5분의 3.
x에다 2를 대입하면 -5분의 6. 다음에 x에다 3을 대입하면 -5분의 9 이렇게 나왔어요. 그러면 여기에 있는 수들은요. 함숫값들은 저 y 안에 포함되어 있는 수죠. 그러니까 함수 맞습니다. x에다 -1 대입해보면요.
이번에 y는 -3. x가 1일 때는 3. x가 2일 때는 2분의 3. 그리고 x가 3일 때는 3분의 3해서 1이 되죠. 이것 역시 y 안에 포함되어 있습니다. 모든 함숫값들이 y 안에 들어 있어요. 다음 4번에서는요. x에다 -1 대입하면 4.
x에다 1 대입하면 2. x에다 2 대입하면 1. 그리고 x에다 3 대입하면 0. 4, 2, 1, 0 모두 다 y 안에 포함되어 있죠. 그렇죠. 이번에는요. 5번에서 볼게요. x에다 -1 대입해봤더니요.
그럼 -2분의 3과 2분의 1을 더하라는 거니까 결과가 -1입니다. 그렇죠? 다음에 x에다 1을 대입해보세요. 2분의 3과 2분의 1을 더해주니까 결과가 2분의 4로 2가 됩니다. 그렇죠? 다음에 x에다 2 대입 한번 해볼까요?
x에다 2 대입하면 4분의 3에다 4분의 2를 더하게 되네요. 4분의 5가 되겠다는 거죠. 다음에 여기다 3 대입해보세요. 3 대입하면 짠짠 약분되어서 2분의 1과 2분의 1을 더하게 되니까 1이 나옵니다.
어때요? 여기에 나온 함숫값들도요. 모두 다 y값 안에 현재 포함이 되어 있습니다. 따라서 이 안에 함수가 되지 않는 것은 바로 1번이라는 거예요. 됐죠. 그래서 많은 학생들이요.
바로 이 문제를 보면서 이 안에서 내가 볼 때는 다 함숫값이 나오는데 왜 함수가 아니지? 고민하는 것은요. 바로 y값 안에 포함되지 않기 때문입니다. 아셨죠? 다음에는요. 우리 26번 문제로 가봐야 되겠죠.
26번 문제 보겠습니다. 26번에서는요. f(n)은 자연수 n을 3으로 나눈 나머지라고 그랬어요. 이 미션을 그대로 따라주기만 하면 돼요. f(1)은 1을 3으로 나눠보세요. 안 나눠지죠. 물론 몫은 0이죠. 그렇지만 나머지는 1입니다.
그렇죠? f(5)는요. 5를 3으로 나눠보세요. 몫이 1이고 나머지가 2입니다. 그 나머지를 쓰라는 거예요. f(8)은 3으로 나눠보세요, 8을. 몫이 2고 나머지도 2죠. 이렇게 함숫값을 알아냈어요.
그러면 f(1)과 f(5)와 다음에 f(8) 더하고 빼라고 했으니까 결과는 1이 되겠죠. 그래서 정답은 바로 4번이 되겠습니다. 됐나요? 이렇게 해서 26번까지 풀어봤고요. 이제 다음 문제 27번 봅니다. 27번에서는요.
다음에 주어진 영수와 민아의 대화를 읽고요. 1, 2에 들어갈 알맞은 값을 각각 구하라고 했습니다. '나는 반비례 함수야.' 그랬더니 '아하, 너는 f(x)는 x분의 a구나.' 라고 대답했어요.
'그래. 그리고 x는 3일 때 함숫값 4를 갖지.' 라는 것은 x에다 3을 대입하니까 바로 그 값이 4겠구나 라는 이야기입니다. 그러면 x에다 3을 대입해보세요. 3분의 a가 4가 되려면요.
양변에 3을 곱해서 a는 12면 되죠. 그럼 첫 번째 a가 12이지? 바로 이렇게 나왔습니다. 다음 대화 볼게요.
'맞아. 그럼 x값이 각각 주어졌을 때 우리가 y는 x분의 12라는 것은 일단 알아냈으니까 함숫값을 모두 구해봐.' 라고 그랬습니다. x가 -2면, x에다 -2를 대입하면요. -6 되죠. -1을 대입하면 -12입니다.
1 대입하니까 12가 되죠. 2 대입하면 6이고요. x에다 3 대입하면 바로 4가 됩니다. 그렇죠? 이렇게 해서 함숫값들을 하나하나 구할 수가 있었어요. 됐나요? 이렇게 해서 실생활 탐구 문제 하나 풀어봤고요.
다음 마지막 실생활 탐구 문제 한번 보겠습니다. 28번 문제 보세요. 일단 카드 보기 전에요. 문제를 한번 확인해보죠. 2장의 카드가 있어요. 함수 카드인데요.
순서에 따라 함숫값을 구하고 어떤 카드를 선택했을 때 함숫값이 더 클지를 구하는 겁니다. 그러면 카드와 내용 함께 확인해보도록 할게요. 확인합니다. 2가지 함수 카드가 있는 거예요.
먼저 2가지 함수 카드를 가지고요. 선택한 카드의 함수에 대해서 제일 먼저는 4를 대입하는 겁니다. 제일 먼저 해야 되는 것은 뭐예요? x에다 4를 대입해요. 그러면 함숫값 a가 구해집니다.
다음에 두 번째. 여기서 구한 a를 구하고요. 다음에 두 번째 단계 보도록 할게요. 두 번째 단계는 선택한 카드의 함수에 대해서 x는 a일 때의 함숫값 b를 구하여라. 이번에 x에다 a를 넣으라는 거죠.
그러면 함숫값으로 b를 구할 수 있다는 거예요. 다음 3단계에서 해야 되는 것은요. 3단계. 다른 1장의, 지금 선택한 카드 말고 다른 함수에 대해서 x가 b일 때의 함숫값을 구하라는 거죠. 그러면 2가지를 사실 다 해봐야 돼요.
먼저 첫 번째 A라는 카드를 선택했다고 해볼게요. 그럼 시키는 대로요. 제일 먼저 x에다가 4를 대입해보세요. x에다 4를 대입했더니 -2×4에다 1을 더해서 결과는 -7이 되죠. 이 함숫값이 a입니다.
다음에 두 번째로 해야 되는 것이요. 바로 함숫값 a를 -7로 나눈 것을 다시 한 번 대입하라는 거예요. x에다 -7을 넣어보라는 겁니다. 그럼 -2에다 -7을 곱하고 1을 더하니까 결과가 15가 됐겠죠.
다음 마지막으로요. 이제 다른 카드로 넘어가서 x에다 15를 넣어보라는 겁니다. 다른 카드로 넘어가니까요. 바로 x 자리에 15를 대입하면 약분해서 5분의 8이다. 이렇게 나오죠.
그러면 두 번째, B를 먼저 선택했으면 어떻게 될까요? 제일 처음에 x에다 4를 대입해보면 4분의 24로 6이 됐습니다. 그럼 2단계에서 시키는 대로 다시 한 번 x 자리에 6을 대입하면요. 6분의 24로 4가 됩니다.
이렇게 나온 것을 다른 카드에다 가서 4를 대입하라는 이야기예요. x에다 4 대입했더니 결국에는 -7이 나오죠. 그러니까 우리는 둘 중에 비교했을 때 함숫값이 누가 더 크게 나오는 거예요?
맨 처음에 A를 선택했을 때가 더 크게 나오는 거예요. 그래서 처음에는 A 카드를 선택하는 것이 맞습니다. 이렇게 해서요. 선생님과 지금 레벨3까지, 그리고 실생활 문제까지 함께 풀어봤습니다.
그러면요. 조금 더 난이도가 있었던 레벨3는 다시 한 번 여러분이 꼭 반복해야 하는 것 알고 계시죠? 그럼 여러분의 다짐 한번 확인해보도록 할까요? 오늘의 게시판 숙제 확인합니다.
오늘은요. 여러분이 다시 한 번 내가 꼭 풀어보겠다는 선서로 마무리하도록 할게요. 다시 한 번 마음 속에 꼭 다짐하시고요. 그리고 이 다짐을 한번 적어보면서 나한테 자꾸 주문을 거시는 거예요.
오늘 수업은 여기까지 하도록 하겠습니다. 이제 우리 함수에 대해서 알아봤으니까요. 직접 함수의 그래프를 다음 시간부터는 그려볼 거거든요. 개념 편으로 다시 준비해주시고요. 다음 시간 개념편에서는요.
함수의 그래프에 대해서 함께 알아봅니다. 오늘 수업은 여기까지. 수고하셨습니다.