[翻譯 by littlecanargie (RG)] 我要給出一個令你震驚的結果
[翻譯 by littlecanargie (RG)] (令我震驚？)
令你震驚的結果
我要寫下一個加總的式子，來看看它的答案是多少
1...
1... 加2...
1... 加2... 加3...
1... 加2... 加3... 加4...
加等等等...
包括所有的自然數
一直加到無窮大
Brady，你覺得這個式子的答案是多少？
(我認為它會趨近於無窮大)
嗯，這樣才合理，是吧？
這個加總的答案非比尋常：
-1/12
這實在太驚人了
我是在剛念弦論 [註1] 的時候第一次看到這個結果
更古怪的是
這個結果在許多物理領域都用得到
這是一本有名的弦論教科書，Joseph Polchinski 寫的
你可以看到，在蠻前面的部分，第22頁
這裡有個陳述式
n是基數，把所有整數..自然數相加到無窮大等於 -1/12
我們現在要用不牽涉黎曼 Zeta 函數 [註2] 的方式來證明它
我們要用一個蠻簡單的方式來證明
為什麼所有自然數的加總的確是 -1/12
為了達到目的，我們需採取數個步驟
我們要來觀察一系列的加總
第一個要看的加總，我把它叫作S1
等於 1-1+1-1+1-1... 以此類推
這是我們第一個要看的式子
第二個要看的是 1-2+3-4... 以此類推
依照這個模式不斷寫下去
當然，第三個是我們真正有興趣的式子
也就是 1+2+3+4... 以此類推
所以我們要來求這三個加總的值
第一個算式的求值很容易
我們需要指定一個值給它
這個答案很明顯
如果你在任何一項終止這個算式
停在奇數項的話，會得到 1
停在偶數項的話，會得到 0
這很明顯，理所當然吧！
那麼，我們要把這個無限項的加總指定成多少？
它應該是停在奇數項還是偶數項？
我們不得而知
所以... 我們就把兩個數取平均
因此答案是 1/2
順帶一提，還有其他方法可以證明這個總和等於 1/2
如果你想要的話，我們可以作作看，但是...
(不用了，我們之前已經作過了，我會在這裡放一個連結)
(你之後就會在這邊看到連結)
好的，所以這等於 1/2
但我覺得，這對我們來說其實很直觀
你算出來不是 0 就是 1，那就取平均
所以把這個數 (1/2) 指定為這個總和的值十分自然
我們一旦知道這點，就輕舟已過萬重山了
從這點出發，就能得出我們想要的任何結果
下一步是求這個
我現在要取兩倍的 S2
我要把它跟自己相加
所以 2 乘以 S2 等於...
我在這裡就直接把它寫出來，寫兩次
1-2+3-4 ... 以此類推
我現在讓它跟自己相加，但是要稍加移位
所以是 +1-2+3-4... 以此類推
OK？我拿了兩個 S2 然後互加
但是我用了一個特別巧妙的方法
我把這個式子往旁邊推了一下
這樣你就看得出來結果是什麼了
把這個跟這個合在一起就變成 1
1加空白等於1
-2加1？-1！
3減2等於1
-4加3等於-1
以此類推，這個模式會一直重複出現
等等！我們又回到一開始的那個總和了
我知道它的答案是... 1/2
OK？
所以我知道這個總和... 把它除以2之後得到... 1/4
所以現在我知道這個總和，也就是第二個總和
正負號不斷變換的這個
其實等於 1/4
這是我的第二個驚人結果
現在我已經握有證明「-1/12」 這個瘋狂結果的所有工具了
OK，我們動手吧！
我要把這個式子減掉這個式子
嗯，我要把S減掉S2
我們同樣把它寫出來
我要把S寫下來，也就是 1+2+3+4+5 ...以此類推
然後我要減掉 S2，所以是減號...
我在這裡加個括弧，表示我要減掉這整坨東西
1-2+3-4 ... 以此類推
OK，1 減 1是多少？
(0！)
沒錯，是 0！所以這項就沒有了
2 減掉 -2 是... 4
3 減 3 ... 0
4 減掉 -4 是... 8
以此類推
下一項的話，5 會相消
6 會變成 12，然後一直依這樣的規則繼續下去
現在你可以看得出來，我們快成功了，對吧！
看看我得到的式子：4+8+12...
如果我把 4 提出來
變成 4 乘以 ( 1+2+3... )
這就是我要求的總和
所以現在我們有 4 倍的這個東西
也就是 4 乘以 S ，S 是我們要求的總和
現在我們只要解這個方程式，因為我知道 S2 等於多少
所以我現在得到 S 減掉...
我知道 S2 是多少，S2 等於 1/4
等於 4S
OK，把 S 移到另一邊，得到 -1/4 = 3S
也就是 S = -1/12
這真是太驚人了...我愛死它了...太驚人了
(Toby，如果我拿出計算機按 1+2+3+4+5...)
(然後就坐在這裡一直按到萬物的盡頭)
(最後按下了等於鍵)
(我會得到 -1/12 嗎？)
你說的「萬物的盡頭」是什麼意思？
你沒辦法按到「萬物的盡頭」，是吧？
重點是，我知道這整個看起來很像 在玩弄數學戲法
但是事實上，它不是！
我來告訴你 為什麼我們知道它不是
[Tony 是 Nottingham 大學的物理學家] 我知道你認為我太常提到物理
[Tony 是 Nottingham 大學的物理學家] 但是我們知道的原因就是來自物理
[Tony 是 Nottingham 大學的物理學家] 因為這類的加總會在物理出現
[Tony 是 Nottingham 大學的物理學家] 而在物理領域不可能出現無窮大的答案
它非常驚人...很驚人...它就是...
我曾想為這個結果找個直覺的解釋
但是我沒有辦法...
顯然一定要經過一連串的數學戲法，才能看得出來
然後你要相信自然界中，不可能量到「無窮大」的物理量
把這兩者合併在一起，我想就能解釋這個問題
它顯然違反直覺
它違反直覺的原因在於：
直覺上你會想在序列的某處停下來
一旦你停下來，你的直覺就會把這個結果完全否定
(如果我從 1+2+3+4+5 一直加到 Googolplex [註3] 呢？)
你會得到一個很大的數
你不會得到像「-1/12」的結果
一定要加到無窮大啊，Brady！
它是負的
我把這些正數加起來，加到無窮大，結果得到...
-1/12
「12」這個數字在許多領域都扮演角色
[翻譯 by littlecanargie (RG)] 舉例來說，如我剛剛所提到
[翻譯 by littlecanargie (RG)] 弦論裡面26維的臨界維度就從這個算式求出來的