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这次 我想说一个烧脑的话题
这期视频可能会让大家产生争议
原视频源于Youtube
我知道Youtube有着理性的讨论环境
所以我很期待
格兰迪级数
汤姆逊灯
我们想知道 某个数列的和
这个数列形式很简单
它从1开始
然后减掉1
然后再加1 然后再减1 然后再加1
然后再减1 然后再加1 然后再减1
按照规律 无止境地交替写下去
你懂的
所以 这个级数(数列求和)等于多少?
一种尝试方法是
如果我先将这些项相加
这里 这里...
可以发现 每个括号都是(1-1)
加上(1-1)
每个括号都等于0
所以你会得到每项都是0
所以这会等于0 对吧?
这是一种尝试得出的答案
问题是 还存在另一种答案
我们重新合并 这次换一种方法
像这样
插进加号，插进加号
所以我让1加上(-1+1)=0
加上 (-1+1)=0
等等等等...
每一个括号都是0
所以每个括号加起来也等于0
但，我在最前面有个1
所以这会等于1
现在我有两种不同的答案了
我得到0，如果我这样括号
我得到1，如果我括在不同的位置
然而，这里还有第三种答案
并且这是一个非常奇怪的答案
我们假设一个未知数S，并且我们要
尝试去找出S等于多少
这就是我们想知道的答案
我们来计算1减掉S，所以这等于1减掉这个无穷级数
我们来试试
我们将它写下来
加一、减一、加一、减一
我们将括号展开，这个减号会将
所有的正负颠倒，所以我们会得到1
减掉1、加1、减1、加1、减1
这是我将括号展开会发生的事
但是，我却得到我一开始的级数
就是那个加1减1交错的级数
所以我又得到了S
现在，我得到1-S=S，这没什么大不了
这没问题
大家都可以解出来
也就是说，如果我将S移项过来，我会得到
2S=1，然后你就可以发现
S=1/2
这是一个奇怪的答案
我得到了1/2
无止境的1与-1的和，给我们1/2
无止境的1与-1的和，给你1/2
当然，它可能等于1
也可能等于0
但，它也可能是1/2
第一个想出这个的人，是一个意大利人
他是个数学家，叫做Grandi
他在1703年发现这个
他是个和尚
也是个数学家
你知道，就是那类的人
然后，他将这个发表出来
他说，这个太奇怪了
它是0、它是1、它是1/2
这是怎么一回事？
接着，数学社群看了看
并说，这不可能是1/2吧，是吧？
你就是1跟0去组合
这实在太疯狂了
这不可能..
噢
等等
这似乎有点道理
它有可能是1/2
所以，这展开了一场长久的辩论
持续了差不多150年
直到19世纪，无穷级数的概念发展起来的时候
许多人认为，最佳的答案是1/2
我想要尝试去说明，为什么他们觉得
最佳的答案是1/2
而在那之后，我会展示另外一样
让你完全颠覆想象的东西
如果我们拿一些"好"的无穷和 - 因为有些好的
无穷和，也有一些"坏"的无穷和
其中一个好的是这个
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
而计算这个和的方式是 --
事实上，我要说明一种适当的计算方式
这种适当的方式就是，去计算"部分和"
我们会去依项次计算这些和
我们来写下这个数列
我从1开始
我将它写下来
如果我将前两项加起来，等于什么？
这等于1 + 1/2
等于 3/2
也可以说是1.5
现在我们将前三项加起来
1 + 1/2 + 1/4
计算一下
7/4
也就是1.75
如果我将前四项加起来
15/8，也就是1.875
继续下一组，你会得到63/32
1.96875
你可能会发现，它们越来越靠近2
如果我将它写成一般项，会得到
2 - 1/n
而你可以发现，当n越来越大，这项会越来越小
最后消失不见，所以你只会留下2
而数学家证实了
这个无穷级数等于2
但此方法并不适用于计算Grandi's级数
我们来看看”部分和“
第一个是1
然后你将前两项加起来
会得到0
将前三项加起来，又得到1
将前四项加起来，又回到0
就这样不停地在1与0之间交替
它们没有越来越接近某个值
所以这方法不适用于Grandi's级数
所以，我现在要说明第二个
计算和的方式
现在我要将这些部分和去做平均
就一直取平均下去
基本上是一样的
我现在先用这数列来作说明
将第一项写下
1
现在将前两项"部分和"加起来
1 + 1.5，并且取平均
将它们除以2
也就是1 + 3/2，并除以2来取平均
也就等于5/4
接下来，将前三项"部分和"平均起来
1 + 3/2 + 7/4，并且除以3
会得到，17/12
到这边，希望你了解这个想法
这个数列又再次地趋近于2
这只是另一个得到相同结果的方法
我又得到2了
事实上，这个一般项是，2减掉一团..
一团不重要的东西
看
就这样一团
但这团东西会越来越小
越来越小、越来越小
所以你又得到2了
这只是得到相同答案的另一个方法
但这个方法，却可以使用在Grandi's级数上面
我们来试试
我们一样来取”部分和“的平均
这一串是Grandi's级数的“部分和”
从1开始
如果我们将前两项平均，你会得到1+0
除以2，等于1/2
前三项，除以3，得到2/3
前四项
1+0+1+0
除以4
又是另一个1/2
前五项
你应该发现了
除以5
等于3/5
而如果你一直做下去
你会得到1/2，接着是1/2 + 1/2n
同样的，后面这团东西会越来越小
越来越小、越来越小
这数列会趋向1/2
所以，你在将这个数列往1/2去趋近
相较于第一个方法，这个方法比较有技术性
但这是另一种我们求"和"的方法
将”部分和“去平均
但这个却适用于Grandi's级数
它给我1/2
所以，发生了什么事？
这两种方法有什么区别？
第二个方法，会求出”和“，当“和“存在时。
所谓极限是，当你会趋近于某个值
Grandi's级数并不存在极限，因为它不会
越来越趋近某个值
但这个第二个方法所求出来的和
它几乎就是极限，但它不是
它是一个假极限
一个冒牌的极限
它拥有极限的所有特性
与极限的表现一样
它极度相似于极限， 以至于我们去计算它来当作极限就在这
但不同的是，你并不会趋近它
现在，脑力激荡来了
我们想象在现实生活中的场景
想象一盏灯
我们去开开关关这盏灯
你开灯
你关灯
现在，如果我照着Grandi's级数
看到1，我就开灯
看到-1，我就关灯
所以你开灯、关灯
实际上这个部分和，就是在告诉你，灯是开的还是关的
如果你得到1，就代表你的灯是开的
如果你得到0，就代表你的灯是关的
接下来，进行这个实验
开始计时1分钟后，你开灯
再经过半分钟，你关灯
再经过1/4分钟，你又开灯
再经过1/8分钟，你又关灯
你就这样开灯关灯交替，但你会越做越快
就这样交替了无穷次
但如果，我们将这些时间加起来
1分钟 + 1/2分钟 + 1/4分钟 + 1/8分钟 --
一直加下去
最后会得到，2分钟
这个刚刚有说明过
如果你记得那部有关Zero's悖论的影片
那并不只是趋近于2分钟
你可以完成并达到2分钟
所以在这两分钟内，你一直开灯、关灯
无穷多次，并且你可以完成。
在这两分钟过后，灯是开的还是关的？
如果Grandi's级数是0，这代表灯是关的
如果Grandi's级数是1，这代表灯是关的
如果Grandi's级数是1/2，这代表什么呢？
是代表一半开、一半关？
还是同时开、也同时关？
你觉得呢？
牠先出发了
牠先前进了100公尺
然后他们开始了竞赛
阿基里斯冲刺完这100公尺，赶上乌龟的所在地
但在这段时间内，乌龟已经往前进