欢迎走进复变函数课堂
这一节我们给大家介绍一下
复数的表示方法
之前按照定义
我们知道任何一个复数z
都可以写成形如x+iy的形式
那么这种表示
我们称之为代数表示
根据复数域和复平面
是一一对应的这样一个关系
那么当z=x+iy的时候
我们可以看到
用集坐标的方法
z又可以用它的长度用r
就是模长
然后它的辐角如果是θ
这时候
这个x可以用r乘以cosθ
y用r*sinθ来表示
于是我们就可以把
这里的x和y
换成了rcosθ
以及rsinθ
得到这样一组表示
也就是第一块代表的是z的模长
中间这一块实部
用的是cos辐角
虚部是sin辐角
大家注意这个方式叫三角表示
而这个格式
第一项一定是cos
第二项是sin
当然了
利用欧拉公式
我们可以把这个三角表示
转换为指数形式的表示
也就是第三种表示
大家看一下
z可以写成z的模长
乘以e的iθ
这个θ是辐角
当然这里要求z是非零的
所以我们得到了它的代数表示
三角表示
以及指数形式的表示方法
当然这三种方法
是可以相互转换的
要根据不同问题
采取不同的表示方法
下面我们来看一下
当z是非零复数的时候
我们把z的主值用argz来表示
那么这时候
有这样一个三角公式
也就是tanθ/2
是等于sinθ
比上1+cosθ
我们把这两边同时乘以r
就可以得到rsinθ是y
r就用√x^2+y^2
然后这个rcosθ正好是x
用这个来表示
于是我们解出
这个主值argz也就是θ
正好是2倍的arctan y/x
再加√x^2+y^2
这个是主值的另外一种求法
第二个方面
如果考察两个复数的相等
在指数式的表达式里面
有这么一个判定条件
也就是当且仅当
对应的模长相等
且对应的辐角之间相差
2π的整数倍
下面我们来看几个特殊的表达式
就是说i实际上它的模长是1
所以这里
就直接可以写成e的πi/2
因为这个辐角主值是π/2
然后这里的-i
恰好是e的-πi/2
e正好是e的0i
或者是2kπi
而-1是e的πi
大家注意
这几个式子
是我们后续会经常用到的
乘除运算比较方便
下面我们来看一个例子
就是说让我们把给定的复数
求出具体的模长 辐角
以及三角表达式啊
指数表达式
当然了
这个复数本身是代数式
首先模长
是实部的平方加虚部的平方
它的算术方根
这个很容易求出来
然后再算辐角的时候
需要注意它和argtany/x
之间的关系
一四象限就是argtany/x
第三象限是减掉π
第二象限是加上π
然后中间在实轴虚轴上
我们再具体分析
在这个题目中
由于这里的2-2i
是落在第四象限
所以它的辐角主值
就是acgtany/x
也就是这个argtan-1
是-π/4
然后我们直接把它的三角形式
写出来
也就相当于是用模长
2倍的根号2
乘以它的辐角的主值或者是
因为这是周期函数嘛
2kπi
2kπ可以不加
乘以它的主值cos
加上i倍的这个sin
这是三角式
当然了也可以直接利用欧拉公式
写成指数式就可以了
第二个小题
-3+4i
它的模长很容易算出来是5
勾股定理
然后它的辐角大家注意
主值由于-3+4i
是落在了第二象限
所以这个辐角的主值是
argtany/x
要加上一个π
这需要注意的
那么这个结论就是
π减掉arctan4/3
然后整个辐角就用主值
加上2π的整数倍就可以了
然后我们看一下
它的三角形式
就是对应的模长
乘以cos辐角主值
加i倍的sin辐角主值
指数形式就用
把这个角代进来就可以了
这是具体的两个例子
下面来看一个稍微抽象一点的
把这样一个复数
化成指数形式
当然指数形式
往往是也需要求模长
需要求辐角
然后用三角式或者指数式都可以
所以一定要先注意
模长 辐角以及三角式的表达式
大家来看一下
我们利用这个正常的三角公式
也就是1-cosφ
实际上这是我们实数中的2倍的
sinφ/2^2
然后这个sinφ
可以看成sin2倍的φ/2
用2倍角公式
就这样一个结果
这时候我们把2倍的sin
φ/2提取出来
后面剩下的是这项
需要注意的是
由于我们题设的φ
是介于0到π之间的
所以sinφ就是大于零的
就是这边2倍的sinφ/2
正好是那个复数它的一个模长
右边这个式子
不是三角式
因为这里是sin这是cos
我们下面需要利用
这个三角公式
把这里的换成
sinφ/2换成cos
这里的cos换成sin
同时两者相同的角度
就得到这个结果
这个是三角形式
我们只需要把
2倍的sinφ/2
作为它的模长
π/2减φ
作为辐角
代入指数形式
就求出了题设的这个结果
当然这里我们求出
这个复数它的辐角主值
是1/2π减掉φ
这节里面
我们重点给大家介绍了
复数的表示方法
由复数域和复平面
建立了一一对应关系
我们把复平面上的复数
用点或者用向量来表示
就得到了这个复数的模长
复数的辐角
以及具体的求法
同时
我们又给出了复数的几种表达式
第一种表示
就是最基本的
最基本的代数表达式
也是我们的定义
第二种
是三角形式
第三种是指数形式
当然我们还有向量的形式等等
当然这些表达式
各有不同的用途
比方说代数表达式
在理论上我们考察极限的时候
考察导数的时候
考察连续以及积分的时候
是比较常用的
而三角式和指数式
在我们考虑
比方说两个复数相等
解方程
以及乘除运算
乘方运算或者开方运算
用三角式和指数式比较方便
而向量表示
是比较重要的
在几何意义包括模长辐角
以及我们的平行四边形法则等等
还有后续的几何应用上
都是非常方便的
好 这一节就上到这里